WBJEE 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે જ્યારે $P(x)$ ને $(x-3)(x-5)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $ax+b$ છે.
$P(x) = (x-3)(x-5)Q(x) + (ax+b)$
આપેલ છે કે $P(3) = 10$ અને $P(5) = 6$.
સમીકરણમાં $x=3$ મૂકતા: $3a+b = 10$ $(i)$
સમીકરણમાં $x=5$ મૂકતા: $5a+b = 6$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(5a+b) - (3a+b) = 6 - 10$
$2a = -4 \Rightarrow a = -2$
સમીકરણ $(i)$ માં $a = -2$ મૂકતા:
$3(-2) + b = 10$
$-6 + b = 10 \Rightarrow b = 16$
આમ,શેષ $-2x+16$ છે.

(C) આપેલ છે,$\log _{0.2}(x-1) > \log _{0.04}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2^{2}}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \frac{1}{2} \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow 2 \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1)^{2} > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow (x-1)^{2} < x+5$
$[\because \log _{a} x > \log _{a} y \Rightarrow x < y, \text{ જો } 0 < a < 1]$
$\Rightarrow x^{2}-2x+1 < x+5$
$\Rightarrow x^{2}-3x-4 < 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$
$\Rightarrow x \in (-1, 4)$
વળી,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ અને $x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$.
$x \in (-1, 4)$ અને $x > 1$ ને જોડતા,આપણને $x \in (1, 4)$ મળે છે.

(D) આપણી પાસે છે,$\frac{5x^{2}-26x+5}{3x^{2}-10x+3} < 0$
અંશ અને છેદના અવયવો પાડતા:
$\frac{5x^{2}-25x-x+5}{3x^{2}-9x-x+3} < 0$
$\frac{5x(x-5)-1(x-5)}{3x(x-3)-1(x-3)} < 0$
$\frac{(x-5)(5x-1)}{(x-3)(3x-1)} < 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ (નિર્ણાયક બિંદુઓ) $x = \frac{1}{5}, \frac{1}{3}, 3, 5$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$ અને $(3, 5)$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
તેથી,$x \in (\frac{1}{5}, \frac{1}{3}) \cup (3, 5)$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}-px+1=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha+\beta=p$ અને $\alpha\beta=1$.
વળી,$\gamma$ એ $x^{2}+px+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\gamma^{2}+p\gamma+1=0$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma^{2}=-p\gamma-1$.
હવે,$(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = \alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) + \gamma^{2}$ ધ્યાનમાં લો.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = 1 + \gamma(p) + (-p\gamma-1)$.
$= 1 + p\gamma - p\gamma - 1 = 0$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $(2x+1)^{2} - px + q \neq 0$ છે,જે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે શૂન્ય નથી.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$4x^{2} + 4x + 1 - px + q \neq 0$
$4x^{2} + (4-p)x + (1+q) \neq 0$
કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^{2} + bx + c$ માટે,જો તે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે શૂન્ય ન હોય,તો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac < 0$
સહગુણકો $a = 4$,$b = (4-p)$,અને $c = (1+q)$ મૂકતા:
$(4-p)^{2} - 4(4)(1+q) < 0$
$16 - 8p + p^{2} - 16 - 16q < 0$
$p^{2} - 8p - 16q < 0$

(C) કારણ કે સહગુણકો $a, b, c, d$ વાસ્તવિક છે,તેથી સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ બીજ $z_1 = 2+i$ અને $z_3 = \sqrt{5}-2i$ છે.
તેથી,તેમના અનુબદ્ધ બીજ $z_2 = 2-i$ અને $z_4 = \sqrt{5}+2i$ પણ સમીકરણના બીજ હશે.
તમામ બીજનો ગુણાકાર $z_1 \times z_2 \times z_3 \times z_4$ દ્વારા મળે છે.
ગુણાકાર $= (2+i)(2-i) \times (\sqrt{5}-2i)(\sqrt{5}+2i)$.
નિત્યસમ $(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
ગુણાકાર $= (2^2+1^2) \times ((\sqrt{5})^2+2^2) = (4+1) \times (5+4) = 5 \times 9 = 45$.

(C) અસંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજ હંમેશા જોડીમાં અસંમેય હોતા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$ ધ્યાનમાં લો.
તેના બીજ $x = 1$ અને $x = \sqrt{2}$ છે.
અહીં,એક બીજ સંમેય છે અને એક અસંમેય છે.
આમ,એવું વિધાન કે આવા સમીકરણમાં શૂન્ય અથવા બે અસંમેય બીજ હોય તે ખોટું છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ હંમેશા ખોટો છે.

(B) આપણી પાસે છે,$|z| = \left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right|$
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| \leq \left|z-\frac{3}{z}\right| + \left|\frac{3}{z}\right|$
આપેલ છે કે $\left|z-\frac{3}{z}\right| = 2$,તેથી $|z| \leq 2 + \frac{3}{|z|}$
$|z|$ વડે ગુણતા (કારણ કે $|z| > 0$),આપણને મળે $|z|^2 \leq 2|z| + 3$
$|z|^2 - 2|z| - 3 \leq 0$
$(|z|-3)(|z|+1) \leq 0$
કારણ કે $|z| \geq 0$,તેથી $|z| \leq 3$
આમ,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $3$ છે.

(B) ધારો કે $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તેથી $1+i\sqrt{3} = 2\omega^2$ અને $1-i\sqrt{3} = 2\omega$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2\omega^2}{2\omega}\right)^{64} + \left(\frac{2\omega}{2\omega^2}\right)^{64} = (\omega)^{64} + \left(\frac{1}{\omega}\right)^{64}$
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{64} = (\omega^3)^{21} \cdot \omega = \omega$ અને $\frac{1}{\omega^{64}} = \omega^2$ થાય.
આમ,પદાવલિ $\omega + \omega^2$ બને છે.
નિત્યસમ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega + \omega^2 = -1$ મળે છે.

(A) '$PROBABILITY$' શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે,જેમાં $B$ બે વાર અને $I$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{11!}{2!2!}$.
બંને $B$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે બંને $B$ ને એક એકમ $(BB)$ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $10$ એકમો છે: $(BB), P, R, O, A, I, L, I, T, Y$.
$I$ બે વાર આવતું હોવાથી,$B$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{10!}{2!}$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\frac{10!}{2!}}{\frac{11!}{2!2!}} = \frac{10! \times 2! \times 2!}{2! \times 11!} = \frac{2}{11}$.

(B) આપેલ છે કે $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}$ એ ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ માંથી પસંદ કરેલી $15$ ભિન્ન સંખ્યાઓ છે.
ગણમાં બરાબર $15$ ભિન્ન સંખ્યાઓ હોવાથી અને આપણે $15$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરી રહ્યા છીએ,તેથી ગણ $\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}\}$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,કોઈ એક $x_{i}$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જ જોઈએ.
જો કોઈ $i \in \{1, 2, \ldots, 15\}$ માટે $x_{i} = 1$ હોય,તો પદ $(x_{i}-1) = (1-1) = 0$ થાય.
ગુણાકારમાં $0$ નો અવયવ હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $(x_{1}-1)(x_{2}-1) \ldots (x_{15}-1)$ નું મૂલ્ય $0$ થાય.

(A) $17!$ ની કિંમત $355687428096000$ છે.
આપેલ પદ $3556xy428096000$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ અને $y = 7$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $x + y = 8 + 7 = 15$ થાય.

(C) '$COCHIN$' શબ્દના અક્ષરો $C, C, H, I, N, O$ છે. મૂળાક્ષરોનો ક્રમ $C, C, H, I, N, O$ છે.
'$COCHIN$' પહેલા આવતા શબ્દો શોધવા માટે,આપણે શબ્દોને મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવીએ:
$1$. $C$ પછી $C$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $H, I, N, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$2$. $C$ પછી $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $C, I, N, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$3$. $C$ પછી $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $C, H, N, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$4$. $C$ પછી $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $C, H, I, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$5$. ત્યારપછીના શબ્દો $CO$ થી શરૂ થાય છે. પ્રથમ શબ્દ '$COCHIN$' છે.
'$COCHIN$' પહેલા આવતા કુલ શબ્દો = $24 + 24 + 24 + 24 = 96$.

(C) $n = p_1^{a} \times p_2^{b} \times \dots$ માટે ભાજકોની સંખ્યા $d(n) = (a+1)(b+1) \dots$ દ્વારા મળે છે. \\ $225 = 3^2 \times 5^2 \Rightarrow d(225) = (2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ \\ $1125 = 3^2 \times 5^3 \Rightarrow d(1125) = (2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$ \\ $640 = 2^7 \times 5^1 \Rightarrow d(640) = (7+1)(1+1) = 8 \times 2 = 16$ \\ શ્રેણી $9, 12, 16$ છે. \\ $GP$ માટે ચકાસણી: $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$. \\ સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$9, 12, 16$ એ $GP$ માં છે.

(D) $(3^{1/5} + 7^{1/3})^{100}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{100}C_{r} (3^{1/5})^{100-r} (7^{1/3})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{100-r}{5}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
વળી,$\frac{r}{3}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(5, 3) = 15$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 100$ આપેલ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 15, 30, 45, 60, 75, 90$ છે.
આવા $7$ મૂલ્યો છે,તેથી $7$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $100 + 1 = 101$ છે.
અસંમેય પદોની સંખ્યા = $\text{કુલ પદો} - \text{સંમેય પદો} = 101 - 7 = 94$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{4 \cos^{4} \theta + \sin^{2} 2 \theta} + 4 \cot \theta \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^{2}} + 2 \cot \theta \left[2 \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + 4 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta} + 2 \cot \theta \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)} + 2 \cot \theta (1 + \sin \theta)$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cot \theta \sin \theta$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
અહીં $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ હોવાથી,$\cos \theta < 0$,તેથી $|2 \cos \theta| = -2 \cos \theta$.
$= -2 \cos \theta + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
$= 2 \cot \theta$

(B) આપેલ છે,$\cot \frac{2x}{3} + \tan \frac{x}{3} = \operatorname{cosec} \frac{kx}{3}$.
ધારો કે $\theta = \frac{x}{3}$.
તેથી,$\cot 2\theta + \tan \theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
નિત્યસમ $\cot 2\theta = \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta \sin \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos(2\theta - \theta)}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{1}{\sin 2\theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\operatorname{cosec} 2\theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
તેથી,$k = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sin x - x)(\cos x - x^2) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin x = x$ અથવા $\cos x = x^2$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\sin x = x$,માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે.
બીજા ભાગ માટે,$\cos x = x^2$,આપણે $y = \cos x$ અને $y = x^2$ ના આલેખ જોઈએ.
$x = 0$ આગળ,$\cos(0) = 1$ અને $0^2 = 0$,તેથી આ ભાગ માટે $x=0$ ઉકેલ નથી.
જેમ જેમ $x$ એ $0$ થી $\pi$ તરફ જાય છે,$\cos x$ એ $1$ થી $-1$ સુધી ઘટે છે,અને $x^2$ એ $0$ થી $\pi^2$ સુધી વધે છે,તેથી અંતરાલ $(0, 1)$ માં બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
સંમિતિને કારણે,અંતરાલ $(-1, 0)$ માં પણ બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
આમ,$\cos x = x^2$ ના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.
પ્રથમ ભાગના $x = 0$ ઉકેલને ઉમેરતા,કુલ વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 2 = 3$ થાય છે.

(A) આપણે ગણ $\{x \in R: |\cos x| \geq \sin x\}$ નો અંતરાલ $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ સાથેનો છેદગણ શોધવાનો છે.
અંતરાલ $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ માં $y = |\cos x|$ અને $y = \sin x$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
$1$. અંતરાલ $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ માં,$\cos x \geq \sin x$ છે,તેથી $|\cos x| \geq \sin x$ સાચું છે.
$2$. અંતરાલ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ માં,$\sin x > \cos x$ છે,તેથી $|\cos x| < \sin x$ થાય.
$3$. અંતરાલ $\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ માં,$\cos x$ ઋણ છે,તેથી $|\cos x| = -\cos x$ થાય. આમ,$-\cos x \geq \sin x$ એટલે કે $\cos x + \sin x \leq 0$ થાય,જે $x \in \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ માટે સાચું છે.
આમ,ઉકેલ $\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $a \cos \theta + b \sin \theta = c$ છે.
અડધા ખૂણાના આદેશ $t = \tan(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $a(\frac{1-t^2}{1+t^2}) + b(\frac{2t}{1+t^2}) = c$.
આનું સાદું રૂપ $(c+a)t^2 - 2bt + (c-a) = 0$ થાય છે.
ધારો કે $t_1 = \tan(\alpha/2)$ અને $t_2 = \tan(\beta/2)$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
તેથી $t_1 + t_2 = \frac{2b}{c+a}$ અને $t_1 t_2 = \frac{c-a}{c+a}$.
જો $\alpha + \beta$ એ બીજ હોય,તો $\tan(\frac{\alpha+\beta}{2})$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
સૂત્ર $\tan(\frac{\alpha+\beta}{2}) = \frac{t_1+t_2}{1-t_1t_2} = \frac{b}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$t = b/a$ ને $(c+a)t^2 - 2bt + (c-a) = 0$ માં મૂકતા $(c-a)(a^2+b^2) = 0$ મળે.
તેથી $c=a$.

(A, C) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,વિધેય $f(x) = \cos x$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$(a)$ $\frac{\theta}{2} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{\theta}{2} > \cos \theta$ થાય. તેથી $(\cos \theta)^{1/2} \leq \cos \frac{\theta}{2}$ સાચું છે.
$(b)$ $\frac{3\theta}{4} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{3\theta}{4} > \cos \theta$ થાય. તેથી $(\cos \theta)^{3/4} < \cos \frac{3\theta}{4}$ થાય,જે ખોટું છે.
$(c)$ $\frac{5\theta}{6} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{5\theta}{6} > \cos \theta$ થાય. તેથી $\cos \frac{5\theta}{6} > (\cos \theta)^{5/6}$ સાચું છે.
$(d)$ $\frac{7\theta}{8} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{7\theta}{8} > \cos \theta$ થાય. તેથી $\cos \frac{7\theta}{8} > (\cos \theta)^{7/8}$ થાય,જે ખોટું છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
રેખા $x-2y+1=0$ થી અંતર $\sqrt{5}$ હોવાથી:
$\left|\frac{h-2k+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right| = \sqrt{5} \Rightarrow |h-2k+1| = 5$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ આપે છે: $h-2k+1 = 5$ અથવા $h-2k+1 = -5$.
રેખા $2x+3y-1=0$ થી અંતર $\sqrt{13}$ હોવાથી:
$\left|\frac{2h+3k-1}{\sqrt{2^2+3^2}}\right| = \sqrt{13} \Rightarrow |2h+3k-1| = 13$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ આપે છે: $2h+3k-1 = 13$ અથવા $2h+3k-1 = -13$.
દરેક સમાંતર રેખાઓની જોડી બીજી જોડીને $2 \times 2 = 4$ ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે.
આમ,આવા કુલ $4$ બિંદુઓ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^{2}-4y=4x-4a$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y-2)^{2}-4=4x-4a$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $(y-2)^{2}=4(x-(a-1))$ મળે.
આથી,શિરોબિંદુ $(a-1, 2)$ છે.
શિરોબિંદુ રેખાઓ $L_1: x+y-3=0$ અને $L_2: 2x+2y-1=0$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
તેથી,$(a-1+2-3)(2(a-1)+2(2)-1) < 0$.
$(a-2)(2a+1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,$a \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ (સમીકરણ $I$) અને $4x^{2} + y^{2} = 4$ (સમીકરણ $II$) છે.
સમીકરણ $II$ માંથી સમીકરણ $I$ બાદ કરતા:
$(4x^{2} + y^{2}) - (4x^{2} + 9y^{2}) = 4 - 1$
$-8y^{2} = 3$
$y^{2} = -\frac{3}{8}$
$y$ ની વાસ્તવિક કિંમતો માટે $y^{2}$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આથી,બંને શંકુચ્છેદો વાસ્તવિક સમતલમાં છેદતા નથી.
છેદબિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(A, B, C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y=44$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$16(x^{2}-2x)-3(y^{2}+4y)=44$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$16(x-1)^{2}-16-3(y+2)^{2}+12=44$ મળે.
$16(x-1)^{2}-3(y+2)^{2}=48$.
$48$ વડે ભાગતા,$\frac{(x-1)^{2}}{3}-\frac{(y+2)^{2}}{16}=1$ મળે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=3 \Rightarrow a=\sqrt{3}$ અને $b^{2}=16 \Rightarrow b=4$ મળે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $= 2a = 2\sqrt{3}$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે)
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે)
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે)
નિયામિકાનું સમીકરણ: $x-h = \pm \frac{a}{e}$ $\Rightarrow x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19/3}} = \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow x = 1 \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).

(B) રેખાનું સમીકરણ $(a-1)x - by + 4 = 0$ છે.
તેનો ઢાળ $m = \frac{a-1}{b}$ છે.
અતિવલય $xy = 1$ છે,તેથી $y = \frac{1}{x}$.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $x_0^2$ છે,જે હંમેશા ધન $(x_0^2 > 0)$ હોય છે.
આમ,$\frac{a-1}{b} > 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જો $(a-1 > 0 \text{ અને } b > 0)$ અથવા $(a-1 < 0 \text{ અને } b < 0)$ હોય.
આથી,$(a > 1, b > 0)$ અથવા $(a < 1, b < 0)$ મળે.
તેથી,શરતો $a > 1, b < 0$ અને $a < 1, b > 0$ સાચી નથી.

(B) ધારો કે $f(x) = \int_{2}^{x} 3 t^{2} dt$. જ્યારે $x \rightarrow 2$ હોય ત્યારે આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
$L$' Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} 3 t^{2} dt}{\frac{d}{dx} (x-2)}$
Leibniz Integral Rule મુજબ,$\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} 3 t^{2} dt = 3 x^{2}$.
તેથી,લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}}{1}$ બને છે.
$x = 2$ મૂકતા,આપણને $3 \times (2)^{2} = 3 \times 4 = 12$ મળે છે.

(B) સામાન્ય પદ $1 - \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = 1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{n^2+n-2}{n(n+1)} = \frac{(n+2)(n-1)}{n(n+1)}$ છે.
$x_n = \left[ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k+2)(k-1)}{k(k+1)} \right]^2$.
$x_n = \left[ \left( \prod_{k=2}^{n} \frac{k+2}{k+1} \right) \left( \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \right) \right]^2$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\prod_{k=2}^{n} \frac{k+2}{k+1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{n+2}{3}$.
$\prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$.
આમ,$x_n = \left( \frac{n+2}{3} \cdot \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{9} \left( \frac{n+2}{n} \right)^2 = \frac{1}{9} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^2$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા,$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{9} (1+0)^2 = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x e^{x}-b \log (1+x)}{x^{2}}=3$. લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને છેદ $0$ ને અનુલક્ષે છે,તેથી અંશ પણ $x \rightarrow 0$ માટે $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ.
$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a e^{x} + a x e^{x} - \frac{b}{1+x}}{2x} = 3$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$x=0$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ: $a(1) + a(0) - b = 0$ $\Rightarrow a - b = 0$ $\Rightarrow a = b$.
ફરીથી $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a e^{x} + a e^{x} + a x e^{x} + \frac{b}{(1+x)^{2}}}{2} = 3$.
$x=0$ મૂકતા: $\frac{a + a + 0 + b}{2} = 3 \Rightarrow 2a + b = 6$.
$a = b$ હોવાથી,$2a + a = 6$ $\Rightarrow 3a = 6$ $\Rightarrow a = 2$.
તેથી,$b = 2$.

(C) આપેલ છે કે,$f(0)=0$ અને $f'(0)=2$.
લિમિટ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=1}^{2015} f(kx)}{x}$ માટે $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]}{1}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} [f'(x) + 2f'(2x) + 3f'(3x) + \ldots + 2015f'(2015x)]$
$= f'(0) + 2f'(0) + 3f'(0) + \ldots + 2015f'(0)$
$= f'(0) [1 + 2 + 3 + \ldots + 2015]$
$= 2 \times \frac{2015(2015+1)}{2}$
$= 2015 \times 2016$.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ છે.
અહીં $n = 20$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12}$
$= \frac{400 - 1}{12}$
$= \frac{399}{12}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{133}{4}$.

(B) આપેલ છે,$a^{2} \cos^{2} A - b^{2} - c^{2} = 0$
$\Rightarrow a^{2} \cos^{2} A = b^{2} + c^{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$.
$b^{2} + c^{2} = a^{2} \cos^{2} A$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\cos A = \frac{a^{2} \cos^{2} A - a^{2}}{2bc} = \frac{-a^{2}(1 - \cos^{2} A)}{2bc} = \frac{-a^{2} \sin^{2} A}{2bc}$.
$a, b, c > 0$ અને $0 < A < \pi$ માટે $\sin^{2} A > 0$ હોવાથી,$\cos A < 0$ થાય.
તેથી,$A$ એ બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{\pi}{2} < A < \pi$.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે,અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a+b-c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\angle C = 90^{\circ}$ છે,કર્ણ $c$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2R = c$.
હવે,પદ $2(r+R) = 2r + 2R$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $2(\frac{a+b-c}{2}) + c$.
$= (a+b-c) + c = a+b$.
તેથી,$2(r+R) = a+b$.

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=21$ અને $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a+c$.
$a+c = 2b$ ને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2b + b = 21$ $\Rightarrow 3b = 21$ $\Rightarrow b = 7$.
કારણ કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી $a = 7-d$,$b = 7$,અને $c = 7+d$.
કારણ કે $a, b, c \in \mathbb{N}$,આપણી પાસે $a \geq 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $7-d \geq 1 \Rightarrow d \leq 6$.
વળી,શરત $a \leq b \leq c$ સૂચવે છે કે $7-d \leq 7 \leq 7+d$,જેનો અર્થ છે $d \geq 0$.
$d$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
દરેક $d$ માટે,આપણને ત્રિપુટી $(7-d, 7, 7+d)$ મળે છે:
જો $d=0: (7, 7, 7)$
જો $d=1: (6, 7, 8)$
જો $d=2: (5, 7, 9)$
જો $d=3: (4, 7, 10)$
જો $d=4: (3, 7, 11)$
જો $d=5: (2, 7, 12)$
જો $d=6: (1, 7, 13)$
આવી $7$ ત્રિપુટીઓ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ નીચે મુજબ છે:
$x - (t + \alpha) = 0$
$y + 16 = 0$
$-\alpha x + y = 0$
આ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -(t+\alpha) \\ 0 & 1 & 16 \\ -\alpha & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - 16) - 0 + (-(t + \alpha))(0 - (-\alpha)) = 0$
$-16 - (t + \alpha)(\alpha) = 0$
$-16 - t\alpha - \alpha^2 = 0$
$\alpha^2 + t\alpha + 16 = 0$
$\alpha$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D$ શૂન્ય અથવા તેનાથી મોટો હોવો જોઈએ:
$D = t^2 - 4(1)(16) \geq 0$
$t^2 - 64 \geq 0$
$t^2 \geq 64$
$t$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t \geq 8$.
આમ,$t$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત $8$ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta + \frac{2}{\sin 2 \theta}$.
ધારો કે $x = \sin \theta + \cos \theta$. તેથી $x^2 = 1 + \sin 2 \theta$,એટલે કે $\sin 2 \theta = x^2 - 1$.
$\theta \in (0, \pi / 2)$ હોવાથી,$x = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi / 4) \in (1, \sqrt{2}]$.
પદાવલિ $f(x) = x + \frac{2}{x^2 - 1}$ બને છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 1 - \frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$(x^2 - 1)^2 = 4x$.
$x = \sqrt{2}$ માટે,$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{2 - 1} = \sqrt{2} + 2$.
અંતરાલ $(1, \sqrt{2}]$ માં તપાસતા,જેમ $x$ એ $\sqrt{2}$ ની નજીક જાય છે તેમ વિધેય ઘટે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2 + \sqrt{2}$ છે.

(C) બિંદુ $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ પર આવેલું છે.
આપણને રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ આપેલી છે.
ઉગમબિંદુ ધરાવતો પ્રદેશ અસમતાઓ $x+y < 2$ અને $x-y < 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$x = 2 \cos \theta$ અને $y = 2 \sin \theta$ મૂકતા:
$1$) $2 \cos \theta + 2 \sin \theta < 2 \implies \cos \theta + \sin \theta < 1$.
$2$) $2 \cos \theta - 2 \sin \theta < 2 \implies \cos \theta - \sin \theta < 1$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,છાયાંકિત પ્રદેશ વર્તુળના તે ભાગને અનુરૂપ છે જ્યાં $x$-યામ $0$ કરતા નાનો છે (એટલે કે $\cos \theta < 0$),જે $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ માટે થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે અને $B$ એ ઘર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.60$,$P(B) = 0.30$,અને $P(A \cap B) = 0.20$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે પરિવાર પાસે કાર અથવા ઘર છે પણ બંને નથી,જે સંમિત તફાવત $P(A \Delta B)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સંમિત તફાવતનું સૂત્ર $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ છે.
પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.60 + 0.30 - 0.20 = 0.70$ ગણો.
હવે,$P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0.70 - 0.20 = 0.50$.
આમ,સંભાવના $0.5$ છે.

(C) દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે $a^{n} + b^{n} = c^{n} + d^{n}$ આપેલ છે.
$n = 1$ માટે,$a + b = c + d$ મળે છે.
$n = 2$ માટે,$a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ મળે છે.
આ શરતો પર્યાપ્ત છે કે જેથી ${a, b} = {c, d}$ થાય,જે આપેલ સમીકરણને તમામ $n$ માટે સંતોષે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\log_{e} x + ex = 0$ છે.
આને $\log_{e} x = -ex$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
ધારો કે $f(x) = \log_{e} x$ અને $g(x) = -ex$.
આપણે $f(x)$ અને $g(x)$ ના આલેખના છેદબિંદુ શોધીએ છીએ.
વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત વધતું વિધેય છે.
વિધેય $g(x) = -ex$ એ ઘટતું વિધેય છે.
આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બંને વક્રો માત્ર એક જ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,સમીકરણનો માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{a_{3} x^{4}}{4} + \frac{a_{2} x^{3}}{3} + \frac{a_{1} x^{2}}{2} + a_{0} x$.
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{a_{3}}{4} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{1}}{2} + a_{0} = 0$ (આપેલ છે).
$f(0) = f(1) = 0$ હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$f'(x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$.
આમ,સમીકરણ $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} = 0$ ને અંતરાલ $[0, 1]$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$ હોવાથી,$2 \sin ^{-1} 2a$ ની કિંમત $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$\Rightarrow -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{4}$
બધી બાજુ સાઈન લેતા:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq 2a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
જે $|a| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ ને સમાન છે.

(C) ધારો કે $f(x, y) = 2x^{2} + y^{2} + 2xy + 2x - 3y + 8$.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x, y) = (x+y+1)^{2} + (x-2)^{2} - 1$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $3$ મળે છે.

(C) અહીં સંબંધ $\rho$ ને $x \rho y \iff xy > 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે.
$(i)$ સ્વવાચક: જો $\rho$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $x \rho x$ સાચું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $x \cdot x > 0$ અથવા $x^2 > 0$. આ $x = 0$ માટે ખોટું છે કારણ કે $0^2 = 0 \ngtr 0$. તેથી,$\rho$ સ્વવાચક નથી.
(ii) સંમિત: જો $x \rho y$ હોય,તો $xy > 0$ થાય. ગુણાકારના ક્રમના નિયમ મુજબ $yx > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y \rho x$. તેથી,$\rho$ સંમિત છે.
(iii) પરંપરિત: ધારો કે $x \rho y$ અને $y \rho z$ છે. તો $xy > 0$ અને $yz > 0$ થાય. અહીં $y \neq 0$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $xy > 0$),તેથી $y^2 > 0$ થાય. અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $(xy)(yz) > 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^2(xz) > 0$ થાય. કારણ કે $y^2 > 0$,તેથી $xz > 0$ હોવું જ જોઈએ. આમ,$x \rho z$ થાય છે. તેથી,$\rho$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે.

(A) આપેલ છે કે $AB = B$ અને $BA = A$.
આપણે $A^{2} + B^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $A^{2} = A \cdot A$,$A = BA$ મૂકતા,આપણને $A^{2} = A(BA) = (AB)A$ મળે છે.
$AB = B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A^{2} = BA = A$ મળે છે.
તે જ રીતે,$B^{2} = B \cdot B$,$B = AB$ મૂકતા,આપણને $B^{2} = B(AB) = (BA)B$ મળે છે.
$BA = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $B^{2} = AB = B$ મળે છે.
તેથી,$A^{2} + B^{2} = A + B$.

(B) આપેલ છે કે $A U_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$,અને $A U_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
આને $A U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $U = [U_{1} U_{2} U_{3}]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A U = B$,જ્યાં $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$U = A^{-1} B$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,$U^{-1} = (A^{-1} B)^{-1} = B^{-1} A$.
પહેલા $A^{-1}$ શોધો. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ એ લોઅર ટ્રાયંગ્યુલર શ્રેણિક છે.
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે $B^{-1}$ શોધો. $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોવાથી,$|B| = 1(3-0) = 3$.
$B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$U^{-1} = B^{-1} A = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & -2/3 & 0 \\ -7/3 & -5/3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોનો સરવાળો = $(-1/3 - 2/3 + 0) + (-7/3 - 5/3 - 1) + (3 + 2 + 1) = -1 - 5 + 6 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x+1)(x-1) \end{vmatrix}$.
$R_2$ માંથી $x$ અને $R_3$ માંથી $x(x-1)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = x \cdot x(x-1) \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2 & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{vmatrix}$.
$C_3$ માંથી $(x+1)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 3 & x-2 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & x-2 & 1 \end{vmatrix}$.
અહીં બે હાર ($R_1$ અને $R_2$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$f(x) = 0$ દરેક $x$ માટે,જેનો અર્થ છે કે $f(100) = 0$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}\sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}\sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
$R_1$ માંથી $(\sin x + 2\cos x)$ સામાન્ય લેતા:
$(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos x & \sin x - \cos x & 0 \\ \cos x & 0 & \sin x - \cos x\end{array}\right|=0$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(\sin x + 2\cos x)(\sin x - \cos x)^2 = 0$.
આથી $\tan x = 1$ અથવા $\tan x = -2$ મળે.
અંતરાલ $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$\tan x = 1$ પરથી $x = \frac{\pi}{4}$ મળે.
$\tan x = -2$ આ અંતરાલમાં શક્ય નથી (કારણ કે $\tan x \in [-1, 1]$),તેથી માત્ર એક જ ઉકેલ $x = \frac{\pi}{4}$ છે.
આમ,ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1 \end{array}\right|$ છે.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$f(\theta) = 1(1 - (-\tan^2 \theta)) - \tan \theta(-\tan \theta - (-\tan \theta)) + 1(\tan^2 \theta - (-1))$
$f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(0) + 1(\tan^2 \theta + 1)$
$f(\theta) = (1 + \tan^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$.
અહીં $\theta \in [0, \pi/2)$ હોવાથી,$\tan \theta \in [0, \infty)$,તેથી $\sec^2 \theta \in [1, \infty)$ મળે.
આમ,$f(\theta) = 2 \sec^2 \theta \in [2, \infty)$ થાય.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}1+\omega & 0 & -\omega \\ 1+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2} \\ \omega+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$ છે.
એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મ $1+\omega+\omega^{2} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $1+\omega = -\omega^{2}$,$1+\omega^{2} = -\omega$,અને $\omega+\omega^{2} = -1$.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega & \omega & -\omega^{2} \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $R_{2} \to R_{2} - R_{3}$ કરતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega+1 & 0 & 0 \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
બીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = -\omega \left( (-\omega^{2})(0) - (-\omega)(-\omega+1) \right) = -\omega (\omega^{2} - \omega) = -\omega^{3} + \omega^{2} = -1 + \omega^{2}$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિક $A$ લખીએ:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લેતા:
$|A| = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) - 2(1 - (-2)) = 0$
$|A| = 2(-2\lambda - 1) + 1(\lambda - 1) - 2(3) = 0$
$-4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 6 = 0$
$-3\lambda - 9 = 0$
$-3\lambda = 9$
$\lambda = -3$
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $-3$ છે જેના માટે સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ છે કે,$\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{4}}{8}+\ldots\right)=\frac{\pi}{6}$.
$\sin ^{-1}$ વિધેયની અંદર રહેલી શ્રેણી એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{x}{2}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_{\infty} = \frac{x}{1 - (-\frac{x}{2})} = \frac{x}{1 + \frac{x}{2}} = \frac{2x}{2+x}$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\frac{2x}{2+x}\right) = \frac{\pi}{6}$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા,$\frac{2x}{2+x} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$4x = 2 + x$.
$3x = 2$,તેથી $x = \frac{2}{3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$
$x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$x > 1$ માટે $2 \tan ^{-1} x = \pi + \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{2(2)}{1-2^2} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{4}{-3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - \tan ^{-1} \frac{4}{3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - (\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{3}{4})$
$x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

(C) વિધેય $f(x) = \left[ \frac{1}{[x]} \right]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ $[x] \neq 0$ હોવો જોઈએ.
આમ,$[x] \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x < 0$ અથવા $x \geq 1$.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ છે.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = [1/1] = 1$.
$x \in [2, \infty)$ માટે,$[x] \geq 2$,તેથી $0 < 1/[x] \leq 0.5$,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = [1/[x]] = 0$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $f(x) = [1/(-1)] = -1$.
$x \in [-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $f(x) = [1/(-2)] = [-0.5] = -1$.
આમ,વિસ્તાર $\{-1, 0, 1\}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}$.
બંને બાજુ $(x^2+x+4)$ વડે ગુણતા,$y(x^2+x+4) = x^2-x+4$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$(y-1)x^2 + (y+1)x + (4y-4) = 0$ મળે.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$((y+1) - 4(y-1))((y+1) + 4(y-1)) \geq 0$.
$(y+1-4y+4)(y+1+4y-4) \geq 0$.
$(5-3y)(5y-3) \geq 0$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $(3y-5)(5y-3) \leq 0$.
બીજ $y = \frac{5}{3}$ અને $y = \frac{3}{5}$ છે.
આમ,વિસ્તાર $y \in [\frac{3}{5}, \frac{5}{3}]$ છે.

(D) અંતરાલ $I$ પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ જે માત્ર અસંમેય કિંમતો લે છે તે અચળ વિધેય હોવું જોઈએ.
જો $f(x)$ અચળ ન હોય,તો 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,તે જે બે કિંમતો ધારણ કરે છે તેની વચ્ચેની તમામ કિંમતો લેશે. સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ $\mathbb{R}$ માં ગીચ હોવાથી,કોઈપણ અચળ ન હોય તેવું સતત વિધેય સંમેય કિંમતો ધારણ કરશે જ.
આપેલ છે કે $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$,અને $f(x)$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે $f(x)=\sqrt{2}$,તમામ $x \in [-2,2]$ માટે.
તેથી,$f(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે $f(1)=1$ અને $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ જ્યાં $n \geq 2$.
ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$. તેથી $S_n = n(n+1) f(n)$.
$n \geq 2$ માટે,$S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$.
$S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ મૂકતા,આપણને મળે $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$.
$n$ વડે ભાગતા $(n \geq 2)$,આપણને મળે $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$.
$(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$.
$n=2$ માટે,$f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$.
$n=3$ માટે,$f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
સામાન્ય રીતે,$f(n) = \frac{1}{n}$.
તેથી,$f(500) = \frac{1}{500}$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે.
અહીં $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]}$ આપેલ છે.
જેમ $x \to 0$,તેમ $x^2$ એ ધન બાજુથી $0$ ની નજીક જાય છે,તેથી $-x^2$ એ ઋણ બાજુથી $0$ ની નજીક જાય છે (એટલે કે $-x^2 \in (-1, 0)$).
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[-x^2]$ ની કિંમત $x \to 0$ માટે $-1$ થશે.
આમ,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]} = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$.
કારણ કે $f(0) = \alpha$,સાતત્ય માટે $\alpha = \sin(1)$ હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે $f(2x - 1) = f(x)$.
કોઈપણ $x$ માટે,આપણે લખી શકીએ $f(x) = f(2x - 1) = f(2(2x - 1) - 1) = f(4x - 3) = f(2^n x - (2^n - 1))$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $2^n x - 2^n + 1 = 2^n(x - 1) + 1$ થાય.
જો $x \neq 1$ હોય,તો $2^n(x - 1) + 1 \rightarrow \pm \infty$ થાય.
$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવાથી,આપણે $x \rightarrow 1$ તરીકે લક્ષ લઈએ. ધારો કે $x_n$ એ એક શ્રેણી છે જે $x_n \rightarrow 1$ છે. તો $f(x_n) = f(2x_n - 1)$ થાય.
સંબંધનું પુનરાવર્તન કરતા,$f(x) = f(1)$ તમામ $x$ માટે મળે છે કારણ કે શ્રેણી $x_{n+1} = \frac{x_n + 1}{2}$ એ $1$ તરફ અભિસરે છે.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$f(x) = 1$ તમામ $x \in R$ માટે મળે છે.
આમ,$f(2) = 1$ અને $f$ એ અચળ વિધેય છે,જે દરેક જગ્યાએ સતત છે.

(D) વિધેય $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ એ $x = a$ આગળ સતત હોય જો અને માત્ર જો $g(a) = h(a)$ હોય.
અહીં,$g(x) = \sin |x|$ અને $h(x) = 0$ છે.
સાતત્ય માટે,આપણે $\sin |x| = 0$ ની જરૂર છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $|x| = n\pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે,જેનો અર્થ છે $x = n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કોઈપણ બિંદુ $x = k\pi$ (જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$) પર,$f(x) = \sin |k\pi| = 0$ થાય છે.
અન્ય કોઈપણ બિંદુ $x \neq k\pi$ માટે,$\sin |x| \neq 0$ છે,તેથી વિધેય અસતત છે કારણ કે સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓ માટેની કિંમતો સમાન નથી.
આમ,$f$ ફક્ત $x = k\pi$ પર જ સતત છે અને બાકીના દરેક બિંદુએ અસતત છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ અંતરનું સમીકરણ: $s = t^{2} + at - b + 17$.
કણ સ્થિર અવસ્થામાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $t = 5 \ s$ સમયે વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 0$ હોવો જોઈએ.
વેગની ગણતરી કરતા: $v = \frac{ds}{dt} = 2t + a$.
$t = 5$ સમયે $v = 0$ મૂકતા: $2(5) + a = 0 \implies 10 + a = 0 \implies a = -10$.
હવે,આપેલ છે કે $t = 5 \ s$ સમયે અંતર $s = 25$ છે:
$25 = (5)^{2} + a(5) - b + 17$.
$a = -10$ મૂકતા: $25 = 25 + (-10)(5) - b + 17$.
$25 = 25 - 50 - b + 17$.
$25 = -8 - b$.
$b = -8 - 25 = -33$.
આમ,$a = -10$ અને $b = -33$ મળે છે.

(A) છેદબિંદુઓ માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ: $e^{x^{2}} = e^{x^{2}} \sin x$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x^{2}} \neq 0$ હોવાથી,$e^{x^{2}}$ વડે ભાગતા આપણને $\sin x = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $f(x) = e^{x^{2}}$ અને $g(x) = e^{x^{2}} \sin x$.
$f(x)$ નું વિકલન $f'(x) = 2x e^{x^{2}}$ છે.
$g(x)$ નું વિકલન $g'(x) = 2x e^{x^{2}} \sin x + e^{x^{2}} \cos x$ છે.
છેદબિંદુ પર જ્યાં $\sin x = 1$ અને $\cos x = 0$ છે,ત્યાં આપણને મળે છે:
$f'(x) = 2x e^{x^{2}}$
$g'(x) = 2x e^{x^{2}}(1) + e^{x^{2}}(0) = 2x e^{x^{2}}$.
છેદબિંદુ પર $f'(x) = g'(x)$ હોવાથી,સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે,જ્યાં $f(a)=0$ અને $f(b)=0$ છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime}(c)=0$ થાય.
અહીં $f^{\prime}(a)=0$ અને $f^{\prime}(c)=0$ છે,અને $f^{\prime}$ એ $[a, c]$ પર સતત છે તથા $(a, c)$ પર વિકલનીય છે,તેથી આપણે અંતરાલ $[a, c]$ પર $f^{\prime}$ માટે રોલનું પ્રમેય લગાવી શકીએ છીએ.
તેથી,ઓછામાં ઓછું એક $k \in (a, c)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime \prime}(k)=0$ થાય.
કારણ કે $(a, c) \subset (a, b)$,તેથી કોઈક $x \in (a, b)$ માટે $f^{\prime \prime}(x)=0$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(x-2)}{\{(x-2)^{2}(x+3)^{7}\}^{1 / 3}} d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{(x-2)}{(x-2)^{2/3}(x+3)^{7/3}} d x = \int \frac{(x-2)^{1/3}}{(x+3)^{7/3}} d x$.
આને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$I = \int \frac{1}{(x+3)^{7/3} \cdot (x-2)^{-1/3}} d x = \int \frac{1}{(x-2)^2 \cdot \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{7/3}} d x$.
ધારો કે $t = \frac{x+3}{x-2}$. તો $dt = \frac{(x-2)(1) - (x+3)(1)}{(x-2)^2} dx = \frac{-5}{(x-2)^2} dx$.
તેથી,$\frac{dx}{(x-2)^2} = -\frac{1}{5} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = -\frac{1}{5} \int t^{-7/3} dt = -\frac{1}{5} \left[ \frac{t^{-4/3}}{-4/3} \right] + C$.
$I = -\frac{1}{5} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) t^{-4/3} + C = \frac{3}{20} t^{-4/3} + C$.
$t = \frac{x+3}{x-2}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{3}{20} \left( \frac{x+3}{x-2} \right)^{-4/3} + C = \frac{3}{20} \left( \frac{x-2}{x+3} \right)^{4/3} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \{x^2\} dx$.
કારણ કે $\{x^2\} = x^2 - [x^2]$,આપણે $[x^2]$ ના મૂલ્યોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$0 \le x < 1$ માટે,$[x^2] = 0$.
$1 \le x < \sqrt{2}$ માટે,$[x^2] = 1$.
$\sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$ માટે,$[x^2] = 2$.
આમ,$I = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2 - 1) dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 2) dx$.
$I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{\sqrt{2}} + \left[ \frac{x^3}{3} - 2x \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}$.
$I = \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + \left( (\frac{2\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2}) - (\frac{1}{3} - 1) \right) + \left( (\frac{3\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3}) - (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}) \right)$.
$I = \frac{1}{3} + (-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}) + (-\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3})$.
$I = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{2}}{3} = 1 - \sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3} + 1$.

(A) આપેલ છે કે,$f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$.
વિકલન માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = f(x)$.
આ એક પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ચલને અલગ કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|f(x)| = x + C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = k e^{x}$ જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0$.
$f(0) = k e^{0} = k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k = 0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = 0 \cdot e^{x} = 0$ દરેક $x \in R$ માટે.
આમ,$f(\log_{e} 5) = 0$.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}}$ છે.
આ સરવાળાને $\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r} - \sqrt{n}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n}} \right)$.
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{\frac{r}{n}} - \frac{1}{n} \right)$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \sqrt{x}$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx - \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$.
$L = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} - 0 = \frac{2}{3} (1)^{3/2} = \frac{2}{3}$.

(A) આપણી પાસે વક્ર $y=x^{3}$ અને બિંદુ $A(1,1)$ છે.
પ્રથમ,આપણે વક્રના સમીકરણનું વિકલન કરીને $A(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
$x=1$ આગળ,ઢાળ $m = 3(1)^{2} = 3$ છે.
$(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-1 = 3(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x-2$ થાય છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $y=0$ હોય,તેથી $3x-2=0$,જે આપણને $x = \frac{2}{3}$ આપે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વક્ર $y=x^{3}$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાંથી $x=\frac{2}{3}$ થી $x=1$ સુધીની સ્પર્શક રેખા $y=3x-2$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાનું છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x \right]_{2/3}^{1}$
$= \left( \frac{1}{4} - 0 \right) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આ પ્રદેશ $y=|x|$ અને $y=-|x|+2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x| = -|x| + 2$ લો,જે $2|x| = 2$ આપે છે,તેથી $|x| = 1$,એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x=1$ માટે,$y=1$. $x=-1$ માટે,$y=1$.
ઘેરાયેલા પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(1,1)$,$(0,2)$,અને $(-1,1)$ છે.
આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$C(1,1)$,$B(0,2)$,અને $A(-1,1)$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $(0,0)$ અને $(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(A) આપેલ છે,$y = e^{-x} \cos 2x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લેતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x}(-2 \sin 2x) + \cos 2x(-e^{-x}) = -2e^{-x} \sin 2x - y$.
પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{dy}{dx} + y = -2e^{-x} \sin 2x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -2[e^{-x}(2 \cos 2x) + \sin 2x(-e^{-x})] = -4(e^{-x} \cos 2x) + 2(e^{-x} \sin 2x)$.
$y = e^{-x} \cos 2x$ અને $-2e^{-x} \sin 2x = \frac{dy}{dx} + y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - (\frac{dy}{dx} + y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - \frac{dy}{dx} - y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 5y = 0$.

(A, B, D) ધારો કે $f(x)=\cos x$ અને $g(x)=\sin x$. $f(x)$ અને $g(x)$ નો રોન્સકિયન (Wronskian) ધ્યાનમાં લો.
$W = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \neq 0$.
રોન્સકિયન શૂન્ય ન હોવાથી,વિધેયો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સામાન્ય ઉકેલ $y = A \cos x + B \sin x$ છે.
$(a)$ $A \cos x + B \sin x$ એ સામાન્ય ઉકેલ છે,તેથી તે સાચું છે.
$(b)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) = A(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{A}{\sqrt{2}} \sin x$. આ $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ ના સ્વરૂપમાં છે,તેથી તે સાચું છે.
$(c)$ $A \cos x \sin x = \frac{A}{2} \sin(2x)$,જે $A \cos x + B \sin x$ ના સ્વરૂપમાં નથી,તેથી તે ખોટું છે.
$(d)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) + B \sin(x - \frac{\pi}{4}) = A(\frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{2}}) + B(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}}) = \cos x(\frac{A-B}{\sqrt{2}}) + \sin x(\frac{B-A}{\sqrt{2}})$. આ $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ ના સ્વરૂપમાં છે,તેથી તે સાચું છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = -(3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = x^3(1 + y^2) - 3x^2(\tan^{-1} y)(1 + y^2)$.
બંને બાજુ $(1 + y^2)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = x^3 - 3x^2 \tan^{-1} y$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} + 3x^2 \tan^{-1} y = x^3$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dt}{dx} + 3x^2 t = x^3$.
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3x^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3}$.

(A) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = -2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{d} = \lambda\hat{j}+\hat{k}$ છે.
જો ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}), (\vec{d}-\vec{a})] = 0$.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{b}-\vec{a} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (\lambda-1)\hat{j} + 0\hat{k}$
નિશ્ચાયક દ્વારા અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & \lambda-1 & 0 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$3(0 - (-2)(\lambda-1)) = 0$
$3(2(\lambda-1)) = 0$
$6(\lambda-1) = 0$
$\lambda-1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.

(D) જો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $a \cdot b = 0$.
હવે ધ્યાનમાં લો,$|a+b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) = |a|^{2} + |b|^{2} + 2(a \cdot b) = |a|^{2} + |b|^{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ હંમેશા સાચો છે.
$(b)$ જો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $a \cdot b = 0$.
હવે ધ્યાનમાં લો,$|a+\lambda b|^{2} = (a+\lambda b) \cdot (a+\lambda b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2} + 2\lambda(a \cdot b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}$.
કારણ કે $\lambda^{2}|b|^{2} \geq 0$,તેથી $|a+\lambda b| = \sqrt{|a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}} \geq |a|$ તમામ $\lambda \in R$ માટે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ હંમેશા સાચો છે.
$(c)$ ધ્યાનમાં લો,$|a+b|^{2} + |a-b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) + (a-b) \cdot (a-b) = (|a|^{2} + |b|^{2} + 2a \cdot b) + (|a|^{2} + |b|^{2} - 2a \cdot b) = 2(|a|^{2} + |b|^{2})$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ હંમેશા સાચો છે.
$(d)$ $a = -b$ અને $b \neq 0$ ધ્યાનમાં લો.
તો,$|a+\lambda b| = |-b + \lambda b| = |\lambda - 1||b|$.
શરત $|a+\lambda b| \geq |a|$ સાચી ઠરવા માટે,આપણે $|\lambda - 1||b| \geq |-b| = |b|$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $|\lambda - 1| \geq 1$.
આ તમામ $\lambda \in R$ માટે સાચું નથી (દા.ત.,જો $\lambda = 0.5$,તો $|0.5 - 1| = 0.5$,જે $1$ કરતા મોટું કે બરાબર નથી).
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ હંમેશા સાચો નથી.

$(D)$ રેખા $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ એ સમતલ $Ax+By+Cz=D$ પર આવેલી હોય તે માટે બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$(i)$ રેખા સમતલના અભિલંબને લંબ હોવી જોઈએ:
$a_{1}A+b_{1}B+c_{1}C=0.$
$(ii)$ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું પાલન કરવું જોઈએ:
$Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}=D.$
આપેલ રેખા $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$ અને સમતલ $x-2y+0z=0$ માટે:
શરત (i):
$3(1) + (2+\lambda)(-2) + (-1)(0) = 0$
$3 - 2(2+\lambda) = 0$
$3 - 4 - 2\lambda = 0$
$-1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
શરત (ii):
બિંદુ $(\lambda, 1, 3)$ સમતલ $x-2y=0$ પર હોવું જોઈએ
$\lambda - 2(1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$
આમ, બંને શરતો $\lambda$ માટે અલગ અલગ કિંમતો આપે છે $\left(-\frac{1}{2} \text{ અને } 2\right)$,
 એવી કોઈ $\lambda$ ની કિંમત નથી જેના માટે રેખા સમતલ પર આવેલી હોય.

(A) $5$ અલગ-અલગ દડાઓને $5$ ખાનાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $5^{5} = 3125$ છે.
બરાબર એક ખાનું ખાલી રહે તે માટે,આપણે પહેલા $1$ ખાનું ખાલી રહે તે માટે ${}^{5}C_{1} = 5$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
હવે,આપણે $5$ અલગ-અલગ દડાઓને બાકીના $4$ ખાનાઓમાં એવી રીતે વહેંચવા પડે કે જેથી કોઈ ખાનું ખાલી ન રહે.
$5$ ઘટકોના ગણમાંથી $4$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $4! \times S(5, 4)$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$5$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ ખાનાઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતો કે જેથી દરેક ખાનામાં ઓછામાં ઓછો એક દડો હોય,તે $4^{5} - {}^{4}C_{1}(3^{5}) + {}^{4}C_{2}(2^{5}) - {}^{4}C_{3}(1^{5}) = 1024 - 972 + 192 - 4 = 240$ છે.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા ${}^{5}C_{1} \times 240 = 5 \times 240 = 1200$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{1200}{3125} = \frac{48}{125}$ છે.

(A) ધારો કે $A, B, C, D$ એ ઘટનાઓ છે કે વ્યક્તિ અનુક્રમે કાર,સ્કૂટર,બસ અને ટ્રેન દ્વારા ઓફિસ જાય છે. તેથી $P(A) = 1/7, P(B) = 3/7, P(C) = 2/7, P(D) = 1/7$.
ધારો કે $L$ એ મોડા પહોંચવાની ઘટના છે અને $E$ એ સમયસર પહોંચવાની ઘટના છે. તેથી $P(E|A) = 1 - P(L|A) = 1 - 2/9 = 7/9$. તેવી જ રીતે,$P(E|B) = 1 - 1/9 = 8/9, P(E|C) = 1 - 4/9 = 5/9, P(E|D) = 1 - 1/9 = 8/9$.
આપણે $P(A|E)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(A|E) = \frac{P(A)P(E|A)}{P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D)}$
$P(A|E) = \frac{(1/7)(7/9)}{(1/7)(7/9) + (3/7)(8/9) + (2/7)(5/9) + (1/7)(8/9)}$
$P(A|E) = \frac{7/63}{7/63 + 24/63 + 10/63 + 8/63} = \frac{7}{7 + 24 + 10 + 8} = \frac{7}{49} = 1/7$.

(C) ધારો કે $S$ એ વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર છે તેવી ઘટના છે અને $NS$ એ વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન ન કરનાર છે તેવી ઘટના છે.
ધારો કે $D$ એ ફેફસાના કેન્સરને કારણે મૃત્યુ થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(S) = 0.20$,$P(NS) = 0.80$,અને $P(D) = 0.006$.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(D|S) = 10 \times P(D|NS)$,જેનો અર્થ છે કે $P(D|NS) = \frac{1}{10} P(D|S)$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(D) = P(S) \cdot P(D|S) + P(NS) \cdot P(D|NS)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.80 \cdot \left( \frac{1}{10} P(D|S) \right)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.08 \cdot P(D|S)$
$0.006 = 0.28 \cdot P(D|S)$
$P(D|S) = \frac{0.006}{0.28} = \frac{6}{280} = \frac{3}{140}$.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
ધારો કે છાપ મળવી એ સફળતા છે. $\therefore p = \frac{1}{2}, q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $P(X = 3) = P(X = 5)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} (\frac{1}{2})^{n-5}$.
બંને બાજુ $(\frac{1}{2})$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો $n$ થતો હોવાથી,આપણને ${}^{n}C_{3} = {}^{n}C_{5}$ મળે છે.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \Rightarrow x + y = n$ (જ્યાં $x \neq y$) નો ઉપયોગ કરતા,$n = 3 + 5 = 8$ મળે છે.
હવે,આપણે બરાબર એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(X = 1)$ શોધવાની છે:
$P(X = 1) = {}^{8}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^{8} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$.

(D) ધારો કે $n$ એ ઉત્પાદિત ભાગોની સંખ્યા છે. ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 0.05 = \frac{1}{20}$ છે.
ભાગ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - 0.05 = 0.95 = \frac{19}{20}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ઓછામાં ઓછો એક ભાગ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $1/2$ થી વધુ હોય,એટલે કે $P(X \geq 1) \geq 1/2$.
આ $1 - P(X = 0) \geq 1/2$ ને સમાન છે,જ્યાં $P(X = 0)$ એ સંભાવના છે કે કોઈ પણ ભાગ ખામીયુક્ત નથી.
$1 - (0.95)^n \geq 0.5 \implies 0.5 \geq (0.95)^n$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $\log_{10}(0.5) \geq n \log_{10}(0.95)$.
$-\log_{10}(2) \geq n(\log_{10}(95) - \log_{10}(100))$.
$-0.3 \geq n(1.977 - 2)$.
$-0.3 \geq n(-0.023)$.
ઋણ સંખ્યા વડે ભાગાકાર કરતા અસમતાની નિશાની બદલાશે: $n \geq \frac{0.3}{0.023} = \frac{300}{23} \approx 13.04$.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 14$ છે.