ધારો કે f: N rightarrow R એવું છે કે f(1)=1 અ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(1)=1$ અને $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ જ્યાં $n \geq 2$. ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$. તેથી $S_n = n(n+1) f(

Vedclass · Accepted Answer

$1/500$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(1)=1$ અને $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ જ્યાં $n \geq 2$. ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$. તેથી $S_n = n(n+1) f(n)$. $n \geq 2$ માટે,$S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$. $S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ મૂકતા,આપણને મળે $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$. $n$ વડે ભાગતા $(n \geq 2)$,આપણને મળે $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$. $(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$. $n=2$ માટે,$f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$. $n=3$ માટે,$f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$. સામાન્ય રીતે,$f(n) = \frac{1}{n}$. તેથી,$f(500) = \frac{1}{500}$.

Similar Questions

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં તમામ $x, y \in R$ માટે. જો $f(2)=3$ હોય,તો $14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે એક વિધેય $f : R \rightarrow R$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $3f(2x^2 - 3x + 5) + 2f(3x^2 - 2x + 4) = x^2 - 7x + 9$ દરેક $x \in R$ માટે,તો $f(5)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module