WBJEE 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए कि कणों की स्थिति सदिशों $\vec{r}_i$ द्वारा दर्शाई गई है,जहाँ सभी $i = 1, 2, ..., n$ के लिए $|\vec{r}_i| = R$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ द्वारा दी जाती है।
सदिशों के लिए त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,द्रव्यमान केंद्र का परिमाण $|\vec{R}_{cm}| = \frac{|\sum m_i \vec{r}_i|}{\sum m_i} \le \frac{\sum m_i |\vec{r}_i|}{\sum m_i}$ होता है।
चूँकि सभी कणों के लिए $|\vec{r}_i| = R$ है,इसलिए $|\vec{R}_{cm}| \le \frac{\sum m_i R}{\sum m_i} = R$ प्राप्त होता है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र की मूल बिंदु से दूरी हमेशा $R$ के बराबर या उससे कम होती है।

(A) $m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह जो $M$ द्रव्यमान के ग्रह के चारों ओर $a$ (कक्षीय त्रिज्या) की दूरी पर परिक्रमा कर रहा है,उसकी ऊर्जाएं इस प्रकार हैं:
गतिज ऊर्जा,$K = \frac{GMm}{2a}$
स्थितिज ऊर्जा,$V = -\frac{GMm}{a}$
कुल ऊर्जा,$E = K + V = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$
इन व्यंजकों की तुलना करने पर:
$V = -\frac{GMm}{a} = -2 \left( \frac{GMm}{2a} \right) = -2K$
अतः,$K = -V / 2$.

(C) $r$ दूरी पर स्थित $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान वाले दो कणों के बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m_{1}$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल $F = m_{1} a_{1}$ है,जहाँ $a_{1}$ द्रव्यमान $m_{1}$ का त्वरण है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$m_{1} a_{1} = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
$a_{1} = \frac{G m_{2}}{r^{2}}$
चूंकि $G$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए $a_{1} \propto m_{2}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$m_{2}$ द्रव्यमान के लिए,$a_{2} = \frac{G m_{1}}{r^{2}}$,जिसका अर्थ है कि $a_{2} \propto m_{1}$।

(C) गैस की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $T_1 = T$ और $M_1 = M$ ($O_2$ अणुओं के लिए) है। अतः $v_1 = v \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
अंतिम स्थिति में,तापमान दोगुना हो जाता है,इसलिए $T_2 = 2T$। ऑक्सीजन के अणु परमाणुओं में विघटित हो जाते हैं,इसलिए मोलर द्रव्यमान आधा हो जाता है,$M_2 = M/2$।
नई rms चाल $v_2$,$\sqrt{\frac{T_2}{M_2}} = \sqrt{\frac{2T}{M/2}} = \sqrt{\frac{4T}{M}} = 2 \sqrt{\frac{T}{M}}$ के समानुपाती है।
दोनों की तुलना करने पर,$v_2 = 2 \times v_1 = 2v$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए ब्लॉक $A$ का भार $W^{\prime}$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,ब्लॉक $B$ से जुड़ी क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए,इसलिए $T_1 = \mu W$।
अब,गाँठ के संतुलन पर विचार करें। मान लीजिए $T_2$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हुई डोरी में तनाव है,और $T_3$ ब्लॉक $A$ से जुड़ी ऊर्ध्वाधर डोरी में तनाव है। अतः,$T_3 = W^{\prime}$।
गाँठ पर बलों का वियोजन करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_2 \cos \theta = T_1 = \mu W$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_2 \sin \theta = T_3 = W^{\prime}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{W^{\prime}}{\mu W}$
$\tan \theta = \frac{W^{\prime}}{\mu W}$
$W^{\prime} = \mu W \tan \theta$

(B) धातु का घनत्व $\rho$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ (या $1000 \text{ kg/m}^3$) है।
खोखले गोले के तैरने के लिए,उसका भार गोले द्वारा विस्थापित पानी के भार से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
धातु के खोल का आयतन $V_m = 4 \pi R^2 t$ है (चूंकि $t \ll R$)।
गोले का द्रव्यमान $m_s = V_m \times \rho = 4 \pi R^2 t \rho$ है।
गोले द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_w = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
विस्थापित पानी का द्रव्यमान $m_w = V_w \times \rho_w = \frac{4}{3} \pi R^3 \times 1$ है (जहाँ $\rho$ पानी के घनत्व के सापेक्ष है)।
तैरने की शर्त के लिए,$m_s \leq m_w$:
$4 \pi R^2 t \rho \leq \frac{4}{3} \pi R^3$
दोनों पक्षों को $4 \pi R^2$ से विभाजित करने पर:
$t \rho \leq \frac{R}{3}$
$t \leq \frac{R}{3 \rho}$

(C) माना समतल $PQ$ से पानी के स्तर की कुल ऊँचाई $H$ है। बेलन की ऊँचाई $h$ है और इसे $h/2$ ऊँचाई के ब्लॉक पर रखा गया है। अतः, $H = h + h/2 = 3h/2$.
माना $y$ बेलन के आधार से छेद की ऊँचाई है। मुक्त जल सतह से इस छेद की गहराई $d = H - y = 3h/2 - y$ है।
पानी की धार की क्षैतिज परास $R = 2\sqrt{d \cdot y_{ground}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $y_{ground}$ समतल $PQ$ से छेद की ऊँचाई है। यहाँ, $y_{ground} = y + h/2$.
अतः, $R = 2\sqrt{(3h/2 - y)(y + h/2)}$.
$R$ को अधिकतम करने के लिए, हम $(3h/2 - y)(y + h/2)$ के गुणनफल को अधिकतम करते हैं। माना $f(y) = (3h/2 - y)(y + h/2)$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने और इसे शून्य के बराबर रखने पर: $f'(y) = -(y + h/2) + (3h/2 - y) = 0$.
$2y = h$, जिससे $y = h/2$ प्राप्त होता है।
दिए गए छेद की ऊँचाइयों की तुलना करने पर: छेद $1$, $y=0$ पर है, छेद $2$, $y=h/4$ पर है, छेद $3$, $y=h/2$ पर है, और छेद $4$, $y=3h/4$ पर है।
इस प्रकार, छेद $3$, $y=h/2$ ऊँचाई पर है जो अधिकतम परास प्रदान करता है।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
मुक्त रूप से गिरते हुए प्लेटफॉर्म में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}$ शून्य हो जाता है क्योंकि प्रणाली भारहीनता की स्थिति में होती है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है,ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto \frac{1}{g_{eff}})$।
हालाँकि,द्रव केश नली की भौतिक लंबाई से ऊपर नहीं बढ़ सकता है।
इसलिए,पानी केश नली की पूरी लंबाई तक भर जाएगा,जो कि $20 cm$ है।

(C) मान लीजिए कि धातु के तार की मूल लंबाई $L$ है और इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
हुक के नियम के अनुसार,यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ होता है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
तनाव $T_1$ के लिए,लंबाई $L_1$ है,इसलिए विस्तार $\Delta L_1 = L_1 - L$ है। अतः,$Y = \frac{T_1 L}{A(L_1 - L)}$।
तनाव $T_2$ के लिए,लंबाई $L_2$ है,इसलिए विस्तार $\Delta L_2 = L_2 - L$ है। अतः,$Y = \frac{T_2 L}{A(L_2 - L)}$।
$Y$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{T_1 L}{A(L_1 - L)} = \frac{T_2 L}{A(L_2 - L)}$
$\frac{T_1}{L_1 - L} = \frac{T_2}{L_2 - L}$
$T_1(L_2 - L) = T_2(L_1 - L)$
$T_1 L_2 - T_1 L = T_2 L_1 - T_2 L$
$T_2 L - T_1 L = T_2 L_1 - T_1 L_2$
$L(T_2 - T_1) = T_2 L_1 - T_1 L_2$
$L = \frac{T_2 L_1 - T_1 L_2}{T_2 - T_1}$

(B) कण $A$ का वेग $\vec{v}_A = 10 \hat{i} \ m/s$ है।
कण $B$ के वेग को घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इसका परिमाण $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर $20 \ m/s$ है:
$\vec{v}_B = (20 \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (20 \sin 60^{\circ}) \hat{j}$
$\vec{v}_B = (20 \times 0.5) \hat{i} + (20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
$A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ है।
$\vec{v}_{BA} = (10 \hat{i} + 10 \sqrt{3} \hat{j}) - (10 \hat{i}) = 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
यह परिणाम दर्शाता है कि $10 \sqrt{3} \ m/s$ परिमाण का वेग धनात्मक $Y$-अक्ष की दिशा में है,जो $X$-अक्ष के लंबवत है।

(B) $L$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्तीय पथ पर $v$ चाल से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के गोलक के लिए,त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (केंद्र की ओर) और भार का घटक $mg \cos \theta$ (केंद्र से दूर) हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल इन त्रिज्यीय बलों के परिणामी द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{L}$
तनाव $T$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$T = \frac{mv^2}{L} + mg \cos \theta$

(A) बिंदु $O$ के परितः किसी कण का कोणीय संवेग $L$ सूत्र $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है। इसका परिमाण $L = mvr \sin \theta$ है,जहाँ $r \sin \theta$ बिंदु $O$ से गति की रेखा की लंबवत दूरी है।
कण $A$ के लिए: $m_A = 6.5 \ kg$,$v_A = 2.2 \ m/s$,और लंबवत दूरी $r_A = 1.5 \ m$ है। गति दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए $L_A = -m_A v_A r_A = -(6.5 \times 2.2 \times 1.5) = -21.45 \ kg \ m^2/s$ है।
कण $B$ के लिए: $m_B = 3.1 \ kg$,$v_B = 3.6 \ m/s$,और लंबवत दूरी $r_B = 2.8 \ m$ है। गति वामावर्त (counter-clockwise) है,इसलिए $L_B = +m_B v_B r_B = +(3.1 \times 3.6 \times 2.8) = +31.248 \ kg \ m^2/s$ है।
कुल कोणीय संवेग $L = L_A + L_B = -21.45 + 31.248 = 9.798 \ kg \ m^2/s \approx 9.8 \ kg \ m^2/s$ है।

(A, C, D) एक क्षैतिज फर्श पर बिना फिसले लुढ़कती हुई वृत्ताकार डिस्क के लिए, रिम पर किसी भी बिंदु का वेग केंद्र के स्थानांतरण वेग $(v)$ और घूर्णन के कारण स्पर्शरेखीय वेग $(\omega R)$ का सदिश योग होता है।
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है, इसलिए $v = \omega R$ होता है।
$1$. फर्श के साथ संपर्क बिंदु $(P)$ पर, वेग $v_P = v - \omega R = v - v = 0$ होता है।
$2$. शीर्ष बिंदु $(S)$ पर, वेग $v_S = v + \omega R = v + v = 2v$ होता है।
$3$. रिम पर किसी अन्य बिंदु पर, वेग का परिमाण $0$ और $2v$ के बीच होता है। विशेष रूप से, केंद्र के स्तर पर वेग $\sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ होता है।
इस प्रकार, रिम पर स्थित किसी बिंदु के वेग के संभावित मान $0$, $v$, $\sqrt{2}v$ और $2v$ हैं। दिए गए विकल्पों में से $v$, $2v$ और $0$ मान्य हैं।

(B) माना अंतिम संतुलन तापमान $\theta$ है। कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,गर्म पिंडों द्वारा खोई गई ऊष्मा,ठंडे पिंडों द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
$60^{\circ} C$ पर पिंड (द्रव्यमान $3m$) द्वारा खोई गई ऊष्मा = $3m \cdot s \cdot (60 - \theta)$
$50^{\circ} C$ पर पिंड (द्रव्यमान $m$) द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m \cdot s \cdot (\theta - 50)$
$40^{\circ} C$ पर पिंड (द्रव्यमान $m$) द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m \cdot s \cdot (\theta - 40)$
खोई गई ऊष्मा और प्राप्त ऊष्मा को बराबर करने पर:
$3ms(60 - \theta) = ms(\theta - 50) + ms(\theta - 40)$
$ms$ से विभाजित करने पर:
$3(60 - \theta) = (\theta - 50) + (\theta - 40)$
$180 - 3\theta = 2\theta - 90$
$5\theta = 270$
$\theta = 54^{\circ} C$

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,परम तापमान $T$ पर एक निकाय द्वारा विकिरित ऊष्मा ऊर्जा की दर $P = \sigma A e T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
जब $T_{1}$ परम तापमान पर स्थित एक निकाय को $T_{2}$ परम तापमान वाले एक घेरे में रखा जाता है,तो ऊष्मा विनिमय की शुद्ध दर $P_{net} = \sigma A e (T_{2}^{4} - T_{1}^{4})$ होती है।
यहाँ,परम तापमान $T_{1} = (t_{1} + 273) \ K$ और $T_{2} = (t_{2} + 273) \ K$ हैं।
चूंकि निकाय कक्ष से ऊष्मा अवशोषित कर रहा है,इसलिए ऊष्मा अवशोषण की दर उनके परम तापमानों की चौथी घात के अंतर के समानुपाती होती है।
अतः,अवशोषित ऊष्मा की दर $(t_{2} + 273)^{4} - (t_{1} + 273)^{4}$ के समानुपाती है।

(A) दिया गया अवस्था समीकरण: $PV = AT - BT^2$.
चूंकि दाब $P$ स्थिर है,हम समीकरण का $T$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$P dV = A dT - B(2T) dT$.
किया गया कार्य $W = \int P dV$.
समाकलन में $P dV$ का मान रखने पर:
$W = \int_{T_1}^{T_2} (A - 2BT) dT$.
$W = A \int_{T_1}^{T_2} dT - 2B \int_{T_1}^{T_2} T dT$.
$W = A(T_2 - T_1) - 2B \left[ \frac{T^2}{2} \right]_{T_1}^{T_2}$.
$W = A(T_2 - T_1) - B(T_2^2 - T_1^2)$.

(A) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार है:
$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f_0 = 1000 \ Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 333 \ m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_o = 33 \ m/s$ (प्रेक्षक का वेग,स्रोत की ओर गति के कारण धनात्मक)
$v_s = 33 \ m/s$ (स्रोत का वेग,प्रेक्षक की ओर गति के कारण धनात्मक)
मान रखने पर:
$f' = 1000 \left( \frac{333 + 33}{333 - 33} \right)$
$f' = 1000 \left( \frac{366}{300} \right)$
$f' = 1000 \times 1.22 = 1220 \ Hz$

(C) मान लीजिए कि बंद ऑर्गन पाइप की लंबाई $l$ है। $L = 2l$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2L} = \frac{v}{2(2l)} = \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$ है।
$l$ लंबाई वाले बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम हार्मोनिक (मूल आवृत्ति) $f_1 = \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$ है।
तीसरा हार्मोनिक $n = 2$ के अनुरूप है (क्योंकि बंद पाइप के हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति के विषम गुणज होते हैं: $f_1, 3f_1, 5f_1, ...$)।
अतः,तीसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f_3 = 3 \times f_1 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ है।

(D) जब स्विच स्थिति $a$ में होता है,तो संधारित्र (capacitor) $E$ विभव तक आवेशित हो जाता है। संधारित्र पर आवेश $q = CE$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C} = \frac{(CE)^2}{2C} = \frac{1}{2} CE^2$ है।
जब स्विच को स्थिति $b$ पर किया जाता है,तो परिपथ एक $LC$ दोलक (oscillator) बन जाता है। कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,जो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक (inductor) के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
माना $I_0$ दोलन धारा का आयाम है। प्रेरक में अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा $\frac{1}{2} L I_0^2$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम विद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} CE^2 = \frac{1}{2} L I_0^2$
$CE^2 = L I_0^2$
$I_0^2 = \frac{C}{L} E^2$
$I_0 = E \sqrt{\frac{C}{L}}$

(C) संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{5 \mu F} + \frac{1}{10 \mu F} = \frac{2+1}{10 \mu F} = \frac{3}{10 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \mu F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F$
श्रेणी संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (\frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F) \times (300 \ V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10^{-6} \times 90000$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10^{-6} \times 9 \times 10^4$
$U = \frac{1}{2} \times 30 \times 10^{-2} = 15 \times 10^{-2} \ J = 0.15 \ J$

(C) परिपथ में बहने वाली धारा $i$ का मान कुल emf को परिपथ के कुल प्रतिरोध से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
चूंकि सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं,इसलिए कुल emf $\varepsilon_{net} = 2 \text{ V} - 1.5 \text{ V} = 0.5 \text{ V}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 5 \text{ } \Omega + 5 \text{ } \Omega + 10 \text{ } \Omega = 20 \text{ } \Omega$ है।
अतः,धारा $i = \frac{0.5 \text{ V}}{20 \text{ } \Omega} = 0.025 \text{ A}$ है।
सेल $A$ के लिए,जो डिस्चार्ज हो रहा है,टर्मिनल विभवांतर $V_{A} = \varepsilon_{A} - i r_{A} = 2 \text{ V} - (0.025 \text{ A} \times 5 \text{ } \Omega) = 2 - 0.125 = 1.875 \text{ V}$ है।
सेल $B$ के लिए,जो चार्ज हो रहा है,टर्मिनल विभवांतर $V_{B} = \varepsilon_{B} + i r_{B} = 1.5 \text{ V} + (0.025 \text{ A} \times 5 \text{ } \Omega) = 1.5 + 0.125 = 1.625 \text{ V}$ है।

(B) माना कि बाईं और दाईं शाखाओं में धाराएँ क्रमशः $I_1$ और $I_2$ हैं। बीच वाली शाखा में धारा $I = I_1 + I_2$ है।
बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2 - 2I_1 - 2I = 0 \implies 2 - 2I_1 - 2(I_1 + I_2) = 0 \implies 2 - 4I_1 - 2I_2 = 0 \implies 2I_1 + I_2 = 1$ ---$(i)$
दाएँ लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$-2 - 2I_2 - 2I = 0 \implies -2 - 2I_2 - 2(I_1 + I_2) = 0 \implies -2 - 2I_1 - 4I_2 = 0 \implies I_1 + 2I_2 = -1$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$I_2 = 1 - 2I_1$. इसे (ii) में रखने पर:
$I_1 + 2(1 - 2I_1) = -1$
$I_1 + 2 - 4I_1 = -1$
$-3I_1 = -3 \implies I_1 = 1 A$
अतः $I_2 = 1 - 2(1) = -1 A$.
बीच वाली शाखा में धारा $I = I_1 + I_2 = 1 + (-1) = 0 A$ होगी।

(C) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \cdot l$ स्थिर रहता है,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रतिरोधकता $\rho$ और आयतन $V$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $R \propto l^2$ है।
दिया गया है कि लंबाई दोगुनी हो जाती है,अर्थात $l_2 = 2l_1$।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2 = \left( \frac{2l_1}{l_1} \right)^2 = 2^2 = 4$।
इस प्रकार,$R_2 : R_1 = 4 : 1$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $A$: मुक्त पतन के लिए,$v = \sqrt{2gh}$। चूँकि $v$ द्रव्यमान से स्वतंत्र है,$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{2gh}} \propto \frac{1}{m}$। अतः,भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।
स्थिति $B$: समान गतिज ऊर्जा $K$ के साथ,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$,भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।
स्थिति $C$: समान संवेग $p$ के साथ,$\lambda = \frac{h}{p}$। चूँकि $p$ समान है,दोनों के लिए $\lambda$ समान रहती है।
स्थिति $D$: समान गति $v$ के साथ,$\lambda = \frac{h}{mv}$। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{m}$,भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है।
नोट: विकल्प $A$,$B$,और $D$ तीनों में भारी कण की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है। सामान्यतः,$D$ सबसे सीधा संबंध दर्शाता है जहाँ $\lambda \propto 1/m$ देखा जाता है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = \frac{4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s \times 3 \times 10^{8} \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = \frac{12 \times 10^{-7}}{300 \times 10^{-9}} \ eV = \frac{1200}{300} \ eV = 4 \ eV$.
हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था $(n=1)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ eV \times (1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$ है।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $(4 \ eV)$ पहली उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $(10.2 \ eV)$ से कम है और आयनीकरण ऊर्जा $(13.6 \ eV)$ से भी कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन उच्च अवस्था में जाने के लिए इस ऊर्जा को अवशोषित नहीं कर पाएगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में ही बना रहेगा।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ धातु के कार्य फलन $\phi$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
कार्य फलन की सीमा $2 eV \leq \phi \leq 5 eV$ दी गई है,इसलिए देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda$ को $\lambda \leq \frac{hc}{\phi}$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$\phi = 2 eV$ के लिए,$\lambda_{\max} = \frac{4 \times 10^{-15} eVs \times 3 \times 10^{8} m/s}{2 eV} = 6 \times 10^{-7} m = 600 nm$.
$\phi = 5 eV$ के लिए,$\lambda_{\min} = \frac{4 \times 10^{-15} eVs \times 3 \times 10^{8} m/s}{5 eV} = 2.4 \times 10^{-7} m = 240 nm$.
अतः,प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न करने वाली तरंगदैर्ध्य की सीमा $240 nm \leq \lambda \leq 600 nm$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$650 nm$ का मान $600 nm$ से अधिक है,इसलिए यह प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं कर सकता है।

(B, D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, जब भी लूप से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta)$ में परिवर्तन होता है, तो लूप में emf प्रेरित होता है।
$1$. यदि लूप को एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्वयं के समानांतर स्थानांतरित किया जाता है, तो फ्लक्स स्थिर रहता है, इसलिए कोई emf प्रेरित नहीं होता है।
$2$. यदि लूप को उसके किसी एक व्यास के परितः घुमाया जाता है, तो क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$ बदल जाता है, जिससे फ्लक्स में परिवर्तन होता है और emf प्रेरित होता है।
$3$. यदि लूप को उसकी अपनी धुरी (जो क्षेत्र के समानांतर है) पर घुमाया जाता है, तो कोण $\theta$ स्थिर रहता है, इसलिए कोई emf प्रेरित नहीं होता है।
$4$. यदि लूप को विकृत किया जाता है, तो क्षेत्रफल $A$ बदल जाता है, जिससे चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है और emf प्रेरित होता है।
अतः, विकल्प $B$ और $D$ दोनों में emf प्रेरित होता है।

(A) आवेशित अनंत चालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,एक अचालक शीट के लिए,$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ होता है। विकल्पों और दिए गए समाधान चित्र के संदर्भ को देखते हुए,गेंद पर कार्य करने वाला बल $F = qE = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ है।
गेंद $B$ पर कार्य करने वाले बलों पर विचार करते हुए: विद्युत बल $F$ क्षैतिज रूप से कार्य करता है और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है।
संतुलन में,धागे में तनाव इन बलों को संतुलित करता है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{q\sigma / 2\varepsilon_{0}}{mg} = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_{0}mg}$.

(B, C) एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में,$+q$ आवेश पर बल $\vec{F}_+ = q\vec{E}$ है और $-q$ आवेश पर बल $\vec{F}_- = -q\vec{E}$ है।
द्विध्रुव पर कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_+ + \vec{F}_- = q\vec{E} - q\vec{E} = 0$ है। अतः,द्विध्रुव पर कुल बल हमेशा शून्य होता है।
द्विध्रुव पर बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बल आघूर्ण को द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है,यह एक भौतिक राशि है और निर्देशांक प्रणाली के चयन से स्वतंत्र है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = q / \varepsilon_{0}$ होता है।
जब एक आवेश $q$ को एक घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो इस घन को $8$ समान घनों से बनी एक बड़ी गॉसियन सतह का हिस्सा माना जा सकता है,ताकि आवेश पूरी तरह से केंद्र में आ जाए।
इस प्रकार,पूरे घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{cube} = q / (8 \varepsilon_{0})$ है।
आवेश $q$ घन के तीन फलकों पर स्थित है। विद्युत क्षेत्र रेखाएं इन तीन फलकों के समानांतर हैं,इसलिए इन तीन फलकों से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स शून्य है।
शेष फ्लक्स $\phi_{cube}$ घन के अन्य तीन फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
इसलिए,अन्य तीन फलकों में से किसी एक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{1}{3} \times \phi_{cube} = \frac{1}{3} \times \frac{q}{8 \varepsilon_{0}} = \frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ होगा।

(B) दिया गया है:
चालक की लंबाई,$l = 0.1 \ m$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.1 \ T$
चालक का वेग,$v = 15 \ m/s$
वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
जब कोई चालक एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो प्रेरित गतिकीय emf का सूत्र इस प्रकार है:
$\varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\theta)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\varepsilon = 0.1 \times 0.1 \times 15 \times \sin(90^{\circ})$
चूंकि $\sin(90^{\circ}) = 1$:
$\varepsilon = 0.01 \times 15 = 0.15 \ V$
अतः,प्रेरित emf $0.15 \ V$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
जब कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$R = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$V$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $R \propto \sqrt{m}$ है।
अतः,$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \sqrt{\frac{m_{A}}{m_{B}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{m_{A}}{m_{B}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) पहले लेंस के लिए:
लेंस सूत्र $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f_1 = 2 \ m$ और $u_1 = -4 \ m$ है:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow v_1 = 4 \ m$.
यह प्रतिबिंब पहले लेंस के दाईं ओर $4 \ m$ की दूरी पर बनता है।
दूसरे लेंस के लिए:
लेंसों के बीच की दूरी $3 \ m$ है। पहले लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है।
चूँकि प्रतिबिंब पहले लेंस के दाईं ओर $4 \ m$ पर है और दूसरा लेंस पहले लेंस से $3 \ m$ दाईं ओर है,इसलिए प्रतिबिंब दूसरे लेंस के दाईं ओर $1 \ m$ की दूरी पर है।
अतः,दूसरे लेंस के लिए वस्तु दूरी $u_2 = +1 \ m$ (आभासी वस्तु) होगी।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f_2} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f_2 = 1 \ m$ और $u_2 = +1 \ m$ है:
$\frac{1}{1} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{1} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow v_2 = 0.5 \ m$.
अंतिम प्रतिबिंब दूसरे लेंस के दाईं ओर $0.5 \ m$ पर बनता है।
स्रोत से कुल दूरी $= 4 \ m$ (पहले लेंस तक) $+ 3 \ m$ (लेंसों के बीच) $+ 0.5 \ m$ (दूसरे लेंस से) $= 7.5 \ m$.

(B) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $\theta$ के बराबर होता है। इसलिए,$i = \theta$.
एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,परावर्तन कोण $\theta$,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $(90^{\circ})$,और अपवर्तन कोण $r$ के लिए:
$\theta + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$
$\theta = i$ रखने पर:
$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$
$r = 90^{\circ} - i$
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
$r = 90^{\circ} - i$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)}$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,इसलिए:
$\mu = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$
अतः,$\tan i = \mu$.

(C) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो माध्यम का प्रकाशीय घनत्व बदलने के कारण उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं। हालाँकि,प्रकाश की आवृत्ति प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और अपवर्तन के दौरान स्थिर रहती है। इसलिए,आवृत्ति में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) दिए गए परिपथ में,ऊपरी डायोड फॉरवर्ड-बायस्ड है,जबकि बीच वाला डायोड रिवर्स-बायस्ड है।
रिवर्स-बायस्ड डायोड एक ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है,इसलिए बीच वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $10 \text{ V}$ की बैटरी,$150 \Omega$ के प्रतिरोध,ऊपरी डायोड ($50 \Omega$ फॉरवर्ड प्रतिरोध के साथ) और उस शाखा में मौजूद $50 \Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल हो जाता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{diode} + R_{top} + R_{series} = 50 \Omega + 50 \Omega + 150 \Omega = 250 \Omega$ है।
$150 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10 \text{ V}}{250 \Omega} = 0.04 \text{ A}$।

(C) दिए गए डिजिटल सर्किट में एक $NAND$ गेट और एक $NOT$ गेट है,जिनके आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं।
$1$. $A$ और $B$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{AB}$ है।
$2$. $C$ इनपुट वाले $NOT$ गेट का आउटपुट $\bar{C}$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y = \overline{AB} + \bar{C}$ है।
$4$. डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{AB} = \bar{A} + \bar{B}$ होता है।
$5$. इस मान को $Y$ के समीकरण में रखने पर,हमें $Y = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$ प्राप्त होता है।

(C) फ्रौनहोफर विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा प्रभावी रूप से छिद्र (स्लिट) से अनंत दूरी पर होते हैं।
इसका अर्थ है कि स्लिट पर आपतित तरंगाग्र समतल तरंगाग्र होते हैं,जिसका अर्थ है कि आपतित किरण पुंज को समानांतर होना चाहिए।
यह स्थिति व्यावहारिक रूप से प्रकाश स्रोत को एक अभिसारी लेंस के फोकस पर रखकर,या स्रोत को स्लिट से अनंत दूरी पर रखकर प्राप्त की जाती है।
इसलिए,सही स्थिति यह है कि स्रोत अनंत पर है और आपतित किरण पुंज समानांतर है।

(A) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली शीट को एक स्लिट के सामने रखा जाता है, तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
यह दिया गया है कि स्क्रीन पर केंद्रीय बिंदु अब $7^{th}$ दीप्त फ्रिंज द्वारा अधिकृत है, इसलिए फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $7$ फ्रिंज चौड़ाई के बराबर है।
विस्थापन के लिए शर्त $(\mu - 1)t = n\lambda$ है, जहाँ $n = 7$ और $\lambda = 600 \ nm = 0.6 \ \mu m$ है।
मान रखने पर: $(1.6 - 1)t = 7 \times 0.6 \ \mu m$.
$0.6 \times t = 4.2 \ \mu m$.
$t = \frac{4.2}{0.6} \ \mu m = 7 \ \mu m$.