સમીકરણ $\log_{e} x + ex = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: ( -\infty, \infty ) \to ( -\infty, \infty )$ એ $f(x) = x^3 + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધાન $1$: વિધેય $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય (local extremum) છે.
વિધાન $2$: વિધેય $f$ એ $( -\infty, \infty )$ પર સતત અને વિકલનીય છે અને $f'(0) = 0$ છે.

ધારો કે $f(x)=x^2+a x+b$,જ્યાં $a, b \in R$. જો $f(x)=0$ ના તમામ બીજ કાલ્પનિક હોય,તો $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ ના બીજ કેવા હશે?

ધારો કે $f : R \to R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f''(3) + f'(2) = 0$ નું પાલન કરે છે. તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$ અને $f(0)=0$ હોય,તો $\frac{d}{d x}\left(f(x) e^{-x}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=$

વિધેય $f(x)$ ના નીચે મુજબના ગુણધર્મો આપેલ છે:
$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબની સંખ્યા રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$f'(x)$ એ $x < -5$ માટે ધન છે,$-5 < x < 2$ માટે ઋણ છે,$2 < x < 4$ માટે ધન છે,અને $x > 4$ માટે ઋણ છે.
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પર,આપણી પાસે છે: