વક્ર y=x^3,(1,1) આગળ તેનો સ્પર્શક અને X-અક્ષ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણી પાસે વક્ર $y=x^{3}$ અને બિંદુ $A(1,1)$ છે.પ્રથમ,આપણે વક્રના સમીકરણનું વિકલન કરીને $A(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{12} 	ext{ ચોરસ એકમ}$

Vedclass · Answer

(A) આપણી પાસે વક્ર $y=x^{3}$ અને બિંદુ $A(1,1)$ છે.પ્રથમ,આપણે વક્રના સમીકરણનું વિકલન કરીને $A(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.$x=1$ આગળ,ઢાળ $m = 3(1)^{2} = 3$ છે.$(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-1 = 3(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x-2$ થાય છે.સ્પર્શક $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $y=0$ હોય,તેથી $3x-2=0$,જે આપણને $x = \frac{2}{3}$ આપે છે.જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વક્ર $y=x^{3}$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાંથી $x=\frac{2}{3}$ થી $x=1$ સુધીની સ્પર્શક રેખા $y=3x-2$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાનું છે.$	ext{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$$= \left[ \frac{x^{4}}{4} ight]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x ight]_{2/3}^{1}$$= \left( \frac{1}{4} - 0 ight) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 ight) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} ight) ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} ight]$$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} ight] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} 	ext{ ચોરસ એકમ}$.

વક્ર $y=x^3$,$(1,1)$ આગળ તેનો સ્પર્શક અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Similar Questions

$x-$ અક્ષ,રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્ર $y = |x - 5|$,$y = 0$,$x = 0$ અને $x = 2$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

પરવલય $y = 4x^2$,$y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module