WBJEE 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि जब $P(x)$ को $(x-3)(x-5)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $ax+b$ है।
$P(x) = (x-3)(x-5)Q(x) + (ax+b)$
दिया गया है कि $P(3) = 10$ और $P(5) = 6$ है।
समीकरण में $x=3$ रखने पर: $3a+b = 10$ $(i)$
समीकरण में $x=5$ रखने पर: $5a+b = 6$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(5a+b) - (3a+b) = 6 - 10$
$2a = -4 \Rightarrow a = -2$
समीकरण $(i)$ में $a = -2$ रखने पर:
$3(-2) + b = 10$
$-6 + b = 10 \Rightarrow b = 16$
अतः,शेषफल $-2x+16$ है।

(C) हमारे पास है,$\log _{0.2}(x-1) > \log _{0.04}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2^{2}}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \frac{1}{2} \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow 2 \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1)^{2} > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow (x-1)^{2} < x+5$
$[\because \log _{a} x > \log _{a} y \Rightarrow x < y, \text{ यदि } 0 < a < 1]$
$\Rightarrow x^{2}-2x+1 < x+5$
$\Rightarrow x^{2}-3x-4 < 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$
$\Rightarrow x \in (-1, 4)$
साथ ही,लघुगणक के परिभाषित होने के लिए,$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ और $x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$.
$x \in (-1, 4)$ और $x > 1$ को मिलाने पर,हमें $x \in (1, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास है,$\frac{5x^{2}-26x+5}{3x^{2}-10x+3} < 0$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$\frac{5x^{2}-25x-x+5}{3x^{2}-9x-x+3} < 0$
$\frac{5x(x-5)-1(x-5)}{3x(x-3)-1(x-3)} < 0$
$\frac{(x-5)(5x-1)}{(x-3)(3x-1)} < 0$
क्रांतिक बिंदु $x = \frac{1}{5}, \frac{1}{3}, 3, 5$ हैं।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$ और $(3, 5)$ अंतराल में ऋणात्मक है।
अतः,$x \in (\frac{1}{5}, \frac{1}{3}) \cup (3, 5)$.

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-px+1=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,$\alpha+\beta=p$ और $\alpha\beta=1$ है।
साथ ही,$\gamma$ समीकरण $x^{2}+px+1=0$ का एक मूल है,इसलिए $\gamma^{2}+p\gamma+1=0$,जिसका अर्थ है $\gamma^{2}=-p\gamma-1$।
अब,व्यंजक $(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = \alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) + \gamma^{2}$ पर विचार करें।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = 1 + \gamma(p) + (-p\gamma-1)$।
$= 1 + p\gamma - p\gamma - 1 = 0$।

(C) दिया गया द्विघात व्यंजक $(2x+1)^{2} - px + q \neq 0$ है,जो किसी भी वास्तविक $x$ के लिए शून्य नहीं है।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$4x^{2} + 4x + 1 - px + q \neq 0$
$4x^{2} + (4-p)x + (1+q) \neq 0$
किसी द्विघात व्यंजक $ax^{2} + bx + c$ के लिए,यदि वह सभी वास्तविक $x$ के लिए शून्य नहीं है,तो उसका विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac < 0$
गुणांकों $a = 4$,$b = (4-p)$,और $c = (1+q)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(4-p)^{2} - 4(4)(1+q) < 0$
$16 - 8p + p^{2} - 16 - 16q < 0$
$p^{2} - 8p - 16q < 0$

(C) चूंकि गुणांक $a, b, c, d$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिए गए मूल $z_1 = 2+i$ और $z_3 = \sqrt{5}-2i$ हैं।
अतः,उनके संयुग्मी $z_2 = 2-i$ और $z_4 = \sqrt{5}+2i$ भी समीकरण के मूल होंगे।
सभी मूलों का गुणनफल $z_1 \times z_2 \times z_3 \times z_4$ द्वारा प्राप्त होता है।
गुणनफल $= (2+i)(2-i) \times (\sqrt{5}-2i)(\sqrt{5}+2i)$।
सर्वसमिका $(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$ का उपयोग करने पर:
गुणनफल $= (2^2+1^2) \times ((\sqrt{5})^2+2^2) = (4+1) \times (5+4) = 5 \times 9 = 45$।

(C) अपरिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल हमेशा जोड़े में अपरिमेय नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए,समीकरण $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$ पर विचार करें।
इसके मूल $x = 1$ और $x = \sqrt{2}$ हैं।
यहाँ,एक मूल परिमेय है और एक अपरिमेय है।
अतः,यह कथन कि ऐसे समीकरण में शून्य या दो अपरिमेय मूल होते हैं,गलत है।
इसलिए,विकल्प $C$ हमेशा गलत है।

(B) हमारे पास है,$|z| = \left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right|$
त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$|z| \leq \left|z-\frac{3}{z}\right| + \left|\frac{3}{z}\right|$
दिया गया है कि $\left|z-\frac{3}{z}\right| = 2$,अतः $|z| \leq 2 + \frac{3}{|z|}$
$|z|$ से गुणा करने पर (चूँकि $|z| > 0$),हमें प्राप्त होता है $|z|^2 \leq 2|z| + 3$
$|z|^2 - 2|z| - 3 \leq 0$
$(|z|-3)(|z|+1) \leq 0$
चूँकि $|z| \geq 0$,इसलिए $|z| \leq 3$
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $3$ है।

(B) माना $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का घनमूल है। तब $1+i\sqrt{3} = 2\omega^2$ और $1-i\sqrt{3} = 2\omega$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{2\omega^2}{2\omega}\right)^{64} + \left(\frac{2\omega}{2\omega^2}\right)^{64} = (\omega)^{64} + \left(\frac{1}{\omega}\right)^{64}$
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{64} = (\omega^3)^{21} \cdot \omega = \omega$ और $\frac{1}{\omega^{64}} = \omega^2$ होगा।
अतः,व्यंजक $\omega + \omega^2$ बन जाता है।
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) '$PROBABILITY$' शब्द में $11$ अक्षर हैं,जिसमें $B$ दो बार और $I$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{11!}{2!2!}$ है।
उन व्यवस्थाओं को खोजने के लिए जहाँ दोनों $B$ एक साथ हों,हम दोनों $B$ को एक इकाई $(BB)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $10$ इकाइयाँ हैं: $(BB), P, R, O, A, I, L, I, T, Y$।
चूँकि $I$ दो बार आता है,इसलिए $B$ के एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{10!}{2!}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\frac{10!}{2!}}{\frac{11!}{2!2!}} = \frac{10! \times 2! \times 2!}{2! \times 11!} = \frac{2}{11}$।

(B) दिया गया है कि $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}$ समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ से चुनी गई $15$ भिन्न संख्याएँ हैं।
चूंकि समुच्चय में ठीक $15$ भिन्न संख्याएँ हैं और हम $15$ भिन्न संख्याएँ चुन रहे हैं,इसलिए समुच्चय $\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}\}$ अनिवार्य रूप से $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ ही होगा।
अतः,किसी एक $x_{i}$ का मान $1$ होना चाहिए।
यदि किसी $i \in \{1, 2, \ldots, 15\}$ के लिए $x_{i} = 1$ है,तो पद $(x_{i}-1) = (1-1) = 0$ होगा।
चूंकि गुणनफल में $0$ का एक गुणनखंड मौजूद है,इसलिए संपूर्ण गुणनफल $(x_{1}-1)(x_{2}-1) \ldots (x_{15}-1)$ का मान $0$ होगा।

(A) $17!$ का मान $355687428096000$ है।
इसे दिए गए व्यंजक $3556xy428096000$ के साथ तुलना करने पर,हम $x = 8$ और $y = 7$ प्राप्त करते हैं।
अतः,योग $x + y = 8 + 7 = 15$ है।

(C) '$COCHIN$' शब्द के अक्षर $C, C, H, I, N, O$ हैं। वर्णानुक्रम $C, C, H, I, N, O$ है।
'$COCHIN$' से पहले आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम शब्दों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$1$. $C$ के बाद $C$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $H, I, N, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$2$. $C$ के बाद $H$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, I, N, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$3$. $C$ के बाद $I$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, N, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$4$. $C$ के बाद $N$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, I, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$5$. इसके बाद के शब्द $CO$ से शुरू होते हैं। पहला शब्द '$COCHIN$' है।
'$COCHIN$' से पहले आने वाले कुल शब्द = $24 + 24 + 24 + 24 = 96$.

(C) $n = p_1^{a} \times p_2^{b} \times \dots$ के लिए भाजकों की संख्या $d(n) = (a+1)(b+1) \dots$ द्वारा दी जाती है। \\ $225 = 3^2 \times 5^2 \Rightarrow d(225) = (2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ \\ $1125 = 3^2 \times 5^3 \Rightarrow d(1125) = (2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$ \\ $640 = 2^7 \times 5^1 \Rightarrow d(640) = (7+1)(1+1) = 8 \times 2 = 16$ \\ अनुक्रम $9, 12, 16$ है। \\ $GP$ के लिए जाँच: $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ और $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$। \\ चूँकि सार्व अनुपात समान है,इसलिए $9, 12, 16$ $GP$ में हैं।

(D) $(3^{1/5} + 7^{1/3})^{100}$ का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{100}C_{r} (3^{1/5})^{100-r} (7^{1/3})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{100-r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
साथ ही,$\frac{r}{3}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(5, 3) = 15$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 100$,$r$ के संभावित मान $0, 15, 30, 45, 60, 75, 90$ हैं।
ऐसे $7$ मान हैं,इसलिए $7$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में कुल पदों की संख्या $100 + 1 = 101$ है।
अपरिमेय पदों की संख्या = $\text{कुल पद} - \text{परिमेय पद} = 101 - 7 = 94$.

(B) दी गई व्यंजक: $\sqrt{4 \cos^{4} \theta + \sin^{2} 2 \theta} + 4 \cot \theta \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^{2}} + 2 \cot \theta \left[2 \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + 4 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta} + 2 \cot \theta \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)} + 2 \cot \theta (1 + \sin \theta)$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cot \theta \sin \theta$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
चूंकि $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$,इसलिए $\cos \theta < 0$,अतः $|2 \cos \theta| = -2 \cos \theta$.
$= -2 \cos \theta + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
$= 2 \cot \theta$

(B) दिया गया है,$\cot \frac{2x}{3} + \tan \frac{x}{3} = \operatorname{cosec} \frac{kx}{3}$.
माना $\theta = \frac{x}{3}$.
तब,$\cot 2\theta + \tan \theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
सर्वसमिकाओं $\cot 2\theta = \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta \sin \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(2\theta - \theta)}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{1}{\sin 2\theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\operatorname{cosec} 2\theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
अतः,$k = 2$.

(C) दिया गया समीकरण $(\sin x - x)(\cos x - x^2) = 0$ है।
इसका अर्थ है $\sin x = x$ या $\cos x = x^2$।
प्रथम भाग के लिए,$\sin x = x$,केवल एक वास्तविक हल $x = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,$\cos x = x^2$,हम $y = \cos x$ और $y = x^2$ के ग्राफ देखते हैं।
$x = 0$ पर,$\cos(0) = 1$ और $0^2 = 0$,इसलिए इस भाग के लिए $x=0$ हल नहीं है।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\pi$ तक जाता है,$\cos x$,$1$ से $-1$ तक घटता है,और $x^2$,$0$ से $\pi^2$ तक बढ़ता है,इसलिए अंतराल $(0, 1)$ में ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
समरूपता के कारण,अंतराल $(-1, 0)$ में भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु मिलता है।
अतः,$\cos x = x^2$ के $2$ वास्तविक हल हैं।
प्रथम भाग के $x = 0$ हल को जोड़ने पर,कुल वास्तविक हलों की संख्या $1 + 2 = 3$ है।

(A) हमें समुच्चय $\{x \in R: |\cos x| \geq \sin x\}$ का अंतराल $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करना है।
अंतराल $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ में $y = |\cos x|$ और $y = \sin x$ के आलेखों पर विचार करें।
$1$. अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ में,$\cos x \geq \sin x$ है,इसलिए $|\cos x| \geq \sin x$ सत्य है।
$2$. अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ में,$\sin x > \cos x$ है,इसलिए $|\cos x| < \sin x$ होता है।
$3$. अंतराल $\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ में,$\cos x$ ऋणात्मक है,इसलिए $|\cos x| = -\cos x$ होता है। अतः,$-\cos x \geq \sin x$ अर्थात $\cos x + \sin x \leq 0$ होता है,जो $x \in \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ के लिए सत्य है।
अतः,हल $\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ है।

(D) दिया गया समीकरण $a \cos \theta + b \sin \theta = c$ है।
अर्ध-कोण प्रतिस्थापन $t = \tan(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $a(\frac{1-t^2}{1+t^2}) + b(\frac{2t}{1+t^2}) = c$.
यह $(c+a)t^2 - 2bt + (c-a) = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए $t_1 = \tan(\alpha/2)$ और $t_2 = \tan(\beta/2)$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
तब $t_1 + t_2 = \frac{2b}{c+a}$ और $t_1 t_2 = \frac{c-a}{c+a}$।
यदि $\alpha + \beta$ एक मूल है,तो $\tan(\frac{\alpha+\beta}{2})$ को द्विघात समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
सूत्र $\tan(\frac{\alpha+\beta}{2}) = \frac{t_1+t_2}{1-t_1t_2} = \frac{b}{a}$ का उपयोग करने पर।
$t = b/a$ को $(c+a)t^2 - 2bt + (c-a) = 0$ में रखने पर $(c-a)(a^2+b^2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $c=a$।

(A, C) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,फलन $f(x) = \cos x$ एक ह्रासमान फलन है।
$(a)$ चूंकि $\frac{\theta}{2} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{\theta}{2} > \cos \theta$। अतः $(\cos \theta)^{1/2} \leq \cos \frac{\theta}{2}$ सही है।
$(b)$ चूंकि $\frac{3\theta}{4} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{3\theta}{4} > \cos \theta$। अतः $(\cos \theta)^{3/4} < \cos \frac{3\theta}{4}$ है,जो गलत है।
$(c)$ चूंकि $\frac{5\theta}{6} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{5\theta}{6} > \cos \theta$। अतः $\cos \frac{5\theta}{6} > (\cos \theta)^{5/6}$ सही है।
$(d)$ चूंकि $\frac{7\theta}{8} < \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\theta}{8} > \cos \theta$। अतः $\cos \frac{7\theta}{8} > (\cos \theta)^{7/8}$ है,जो गलत है।

(C) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
रेखा $x-2y+1=0$ से दूरी $\sqrt{5}$ होने पर:
$\left|\frac{h-2k+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right| = \sqrt{5} \Rightarrow |h-2k+1| = 5$.
यह दो समांतर रेखाएँ देता है: $h-2k+1 = 5$ या $h-2k+1 = -5$.
रेखा $2x+3y-1=0$ से दूरी $\sqrt{13}$ होने पर:
$\left|\frac{2h+3k-1}{\sqrt{2^2+3^2}}\right| = \sqrt{13} \Rightarrow |2h+3k-1| = 13$.
यह दो समांतर रेखाएँ देता है: $2h+3k-1 = 13$ या $2h+3k-1 = -13$.
समांतर रेखाओं का प्रत्येक युग्म दूसरे युग्म को $2 \times 2 = 4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,ऐसे $4$ बिंदु हैं।

(B) दिया गया समीकरण $y^{2}-4y=4x-4a$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y-2)^{2}-4=4x-4a$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(y-2)^{2}=4(x-(a-1))$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $(a-1, 2)$ है।
शीर्ष रेखाओं $L_1: x+y-3=0$ और $L_2: 2x+2y-1=0$ के बीच स्थित है।
इसलिए,$(a-1+2-3)(2(a-1)+2(2)-1) < 0$।
$(a-2)(2a+1) < 0$।
इस असमिका को हल करने पर,$a \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण $4x^{2} + 9y^{2} = 1$ (समीकरण $I$) और $4x^{2} + y^{2} = 4$ (समीकरण $II$) हैं।
समीकरण $II$ में से समीकरण $I$ को घटाने पर:
$(4x^{2} + y^{2}) - (4x^{2} + 9y^{2}) = 4 - 1$
$-8y^{2} = 3$
$y^{2} = -\frac{3}{8}$
चूंकि $y$ के वास्तविक मानों के लिए $y^{2}$ ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $y$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,दोनों शांकव वास्तविक तल में प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(A, B, C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y=44$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$16(x^{2}-2x)-3(y^{2}+4y)=44$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$16(x-1)^{2}-16-3(y+2)^{2}+12=44$ प्राप्त होता है।
$16(x-1)^{2}-3(y+2)^{2}=48$।
$48$ से भाग देने पर,$\frac{(x-1)^{2}}{3}-\frac{(y+2)^{2}}{16}=1$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=3 \Rightarrow a=\sqrt{3}$ और $b^{2}=16 \Rightarrow b=4$ प्राप्त होता है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $= 2a = 2\sqrt{3}$। (विकल्प $A$ सही है)
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$। (विकल्प $B$ सही है)
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$। (विकल्प $C$ सही है)
नियता का समीकरण: $x-h = \pm \frac{a}{e}$ $\Rightarrow x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19/3}} = \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow x = 1 \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$। (विकल्प $D$ गलत है)।

(B) रेखा का समीकरण $(a-1)x - by + 4 = 0$ है।
इसकी प्रवणता $m = \frac{a-1}{b}$ है।
अतिपरवलय $xy = 1$ है,अतः $y = \frac{1}{x}$।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ है।
अभिलंब की प्रवणता $x_0^2$ है,जो सदैव धनात्मक $(x_0^2 > 0)$ होती है।
अतः,$\frac{a-1}{b} > 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है यदि $(a-1 > 0 \text{ और } b > 0)$ या $(a-1 < 0 \text{ और } b < 0)$ हो।
यह $(a > 1, b > 0)$ या $(a < 1, b < 0)$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,शर्तें $a > 1, b < 0$ और $a < 1, b > 0$ सत्य नहीं हैं।

(B) माना $f(x) = \int_{2}^{x} 3 t^{2} dt$ है। $x \rightarrow 2$ होने पर यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है।
$L$' Hospital नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} 3 t^{2} dt}{\frac{d}{dx} (x-2)}$
Leibniz Integral Rule के अनुसार,$\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} 3 t^{2} dt = 3 x^{2}$ है।
अतः,सीमा $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}}{1}$ हो जाती है।
$x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \times (2)^{2} = 3 \times 4 = 12$ प्राप्त होता है।

(B) सामान्य पद $1 - \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = 1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{n^2+n-2}{n(n+1)} = \frac{(n+2)(n-1)}{n(n+1)}$ है।
$x_n = \left[ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k+2)(k-1)}{k(k+1)} \right]^2$.
$x_n = \left[ \left( \prod_{k=2}^{n} \frac{k+2}{k+1} \right) \left( \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \right) \right]^2$.
गुणनफल की गणना करने पर:
$\prod_{k=2}^{n} \frac{k+2}{k+1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{n+2}{3}$.
$\prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$.
अतः,$x_n = \left( \frac{n+2}{3} \cdot \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{9} \left( \frac{n+2}{n} \right)^2 = \frac{1}{9} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^2$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{9} (1+0)^2 = \frac{1}{9}$.

(A) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x e^{x}-b \log (1+x)}{x^{2}}=3$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $0$ की ओर अग्रसर है,इसलिए अंश को भी $x \rightarrow 0$ पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए।
$L$'Hospital नियम का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a e^{x} + a x e^{x} - \frac{b}{1+x}}{2x} = 3$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x=0$ पर अंश $0$ होना चाहिए: $a(1) + a(0) - b = 0$ $\Rightarrow a - b = 0$ $\Rightarrow a = b$.
पुनः $L$'Hospital नियम का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a e^{x} + a e^{x} + a x e^{x} + \frac{b}{(1+x)^{2}}}{2} = 3$.
$x=0$ रखने पर: $\frac{a + a + 0 + b}{2} = 3 \Rightarrow 2a + b = 6$.
चूंकि $a = b$,इसलिए $2a + a = 6$ $\Rightarrow 3a = 6$ $\Rightarrow a = 2$.
अतः,$b = 2$।

(C) दिया गया है,$f(0)=0$ और $f'(0)=2$।
सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=1}^{2015} f(kx)}{x}$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]}{1}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} [f'(x) + 2f'(2x) + 3f'(3x) + \ldots + 2015f'(2015x)]$
$= f'(0) + 2f'(0) + 3f'(0) + \ldots + 2015f'(0)$
$= f'(0) [1 + 2 + 3 + \ldots + 2015]$
$= 2 \times \frac{2015(2015+1)}{2}$
$= 2015 \times 2016$.

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ होता है।
यहाँ $n = 20$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12}$
$= \frac{400 - 1}{12}$
$= \frac{399}{12}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{133}{4}$.

(B) दिया है,$a^{2} \cos^{2} A - b^{2} - c^{2} = 0$
$\Rightarrow a^{2} \cos^{2} A = b^{2} + c^{2}$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$.
$b^{2} + c^{2} = a^{2} \cos^{2} A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos A = \frac{a^{2} \cos^{2} A - a^{2}}{2bc} = \frac{-a^{2}(1 - \cos^{2} A)}{2bc} = \frac{-a^{2} \sin^{2} A}{2bc}$.
चूँकि $a, b, c > 0$ और $0 < A < \pi$ के लिए $\sin^{2} A > 0$ है,इसलिए $\cos A < 0$ होगा।
अतः,$A$ को द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए,अर्थात $\frac{\pi}{2} < A < \pi$।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है,अंतःत्रिज्या $r = \frac{a+b-c}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\angle C = 90^{\circ}$ है,कर्ण $c$ परिवृत्त का व्यास है,इसलिए परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2}$,जिसका अर्थ है कि $2R = c$ है।
अब,व्यंजक $2(r+R) = 2r + 2R$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(\frac{a+b-c}{2}) + c$ प्राप्त होता है।
$= (a+b-c) + c = a+b$।
अतः,$2(r+R) = a+b$।

(B) दिया गया है कि $a+b+c=21$ और $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a+c$.
$a+c = 2b$ को योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2b + b = 21$ $\Rightarrow 3b = 21$ $\Rightarrow b = 7$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,मान लीजिए सार्व अंतर $d$ है। तब $a = 7-d$,$b = 7$,और $c = 7+d$.
चूंकि $a, b, c \in \mathbb{N}$,हमारे पास $a \geq 1$ होना चाहिए,इसलिए $7-d \geq 1 \Rightarrow d \leq 6$.
साथ ही,शर्त $a \leq b \leq c$ का अर्थ है $7-d \leq 7 \leq 7+d$,जिसका अर्थ है $d \geq 0$.
$d$ के लिए संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
प्रत्येक $d$ के लिए,हमें त्रिक $(7-d, 7, 7+d)$ प्राप्त होता है:
यदि $d=0: (7, 7, 7)$
यदि $d=1: (6, 7, 8)$
यदि $d=2: (5, 7, 9)$
यदि $d=3: (4, 7, 10)$
यदि $d=4: (3, 7, 11)$
यदि $d=5: (2, 7, 12)$
यदि $d=6: (1, 7, 13)$
ऐसे $7$ त्रिक हैं।

(D) दी गई रेखाएँ इस प्रकार हैं:
$x - (t + \alpha) = 0$
$y + 16 = 0$
$-\alpha x + y = 0$
चूँकि ये रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -(t+\alpha) \\ 0 & 1 & 16 \\ -\alpha & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(0 - 16) - 0 + (-(t + \alpha))(0 - (-\alpha)) = 0$
$-16 - (t + \alpha)(\alpha) = 0$
$-16 - t\alpha - \alpha^2 = 0$
$\alpha^2 + t\alpha + 16 = 0$
$\alpha$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान शून्य या उससे अधिक होना चाहिए:
$D = t^2 - 4(1)(16) \geq 0$
$t^2 - 64 \geq 0$
$t^2 \geq 64$
चूँकि $t$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t \geq 8$.
अतः,$t$ का न्यूनतम धनात्मक मान $8$ है।

(A) माना $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta + \frac{2}{\sin 2 \theta}$.
माना $x = \sin \theta + \cos \theta$. तब $x^2 = 1 + \sin 2 \theta$,अतः $\sin 2 \theta = x^2 - 1$.
चूँकि $\theta \in (0, \pi / 2)$,$x = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi / 4) \in (1, \sqrt{2}]$.
व्यंजक $f(x) = x + \frac{2}{x^2 - 1}$ बन जाता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 - \frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$(x^2 - 1)^2 = 4x$.
$x = \sqrt{2}$ के लिए,$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{2 - 1} = \sqrt{2} + 2$.
अंतराल $(1, \sqrt{2}]$ में जाँच करने पर,जैसे-जैसे $x$,$\sqrt{2}$ के करीब पहुँचता है,फलन का मान घटता है।
अतः,न्यूनतम मान $2 + \sqrt{2}$ है।

(C) बिंदु $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ पर स्थित है।
हमें रेखाएँ $x+y=2$ और $x-y=2$ दी गई हैं।
मूल बिंदु वाले क्षेत्र को असमिकाओं $x+y < 2$ और $x-y < 2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$x = 2 \cos \theta$ और $y = 2 \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1$) $2 \cos \theta + 2 \sin \theta < 2 \implies \cos \theta + \sin \theta < 1$.
$2$) $2 \cos \theta - 2 \sin \theta < 2 \implies \cos \theta - \sin \theta < 1$.
दी गई आकृति से,छायांकित क्षेत्र वृत्त के उस भाग के अनुरूप है जहाँ $x$-निर्देशांक $0$ से कम है (अर्थात $\cos \theta < 0$),जो $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ के लिए होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए $A$ उन परिवारों का समुच्चय है जिनके पास कार है और $B$ उन परिवारों का समुच्चय है जिनके पास घर है।
दिया गया है: $P(A) = 0.60$,$P(B) = 0.30$,और $P(A \cap B) = 0.20$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि परिवार के पास कार या घर है लेकिन दोनों नहीं,जिसे सममित अंतर $P(A \Delta B)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सममित अंतर का सूत्र $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ है।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.60 + 0.30 - 0.20 = 0.70$ की गणना करें।
अब,$P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0.70 - 0.20 = 0.50$।
अतः,प्रायिकता $0.5$ है।

(C) प्रत्येक $n \in \mathbb{N}$ के लिए $a^{n} + b^{n} = c^{n} + d^{n}$ दिया गया है।
$n = 1$ के लिए,$a + b = c + d$ प्राप्त होता है।
$n = 2$ के लिए,$a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ प्राप्त होता है।
ये शर्तें यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त हैं कि ${a, b} = {c, d}$,जो सभी $n$ के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\log_{e} x + ex = 0$ है।
इसे $\log_{e} x = -ex$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $f(x) = \log_{e} x$ और $g(x) = -ex$ है।
हम $f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु को देखते हैं।
फलन $f(x) = \log_{e} x$,$x > 0$ के लिए एक निरंतर वर्धमान फलन है।
फलन $g(x) = -ex$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,दोनों वक्र केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,समीकरण का केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(A) माना $f(x) = \frac{a_{3} x^{4}}{4} + \frac{a_{2} x^{3}}{3} + \frac{a_{1} x^{2}}{2} + a_{0} x$.
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{a_{3}}{4} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{1}}{2} + a_{0} = 0$ (दिया गया है)।
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
$f'(x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$.
अतः,समीकरण $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} = 0$ का अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$,इसलिए $2 \sin ^{-1} 2a$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में होना चाहिए।
$\Rightarrow -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{4}$
सभी पक्षों में ज्या (sine) लेने पर:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq 2a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
जो $|a| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ के बराबर है।

(C) माना $f(x, y) = 2x^{2} + y^{2} + 2xy + 2x - 3y + 8$.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करने पर:
$f(x, y) = (x+y+1)^{2} + (x-2)^{2} - 1$.
अतः,न्यूनतम मान $3$ प्राप्त होता है।

(C) यहाँ संबंध $\rho$ को $x \rho y \iff xy > 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$(i)$ स्वतुल्य: यदि $\rho$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x \rho x$ सत्य होना चाहिए। इसका अर्थ है $x \cdot x > 0$,या $x^2 > 0$। यह $x = 0$ के लिए असत्य है क्योंकि $0^2 = 0 \ngtr 0$। अतः,$\rho$ स्वतुल्य नहीं है।
(ii) सममित: यदि $x \rho y$ है,तो $xy > 0$ होगा। गुणा के क्रमविनिमेय नियम के अनुसार $yx > 0$ होगा,जिसका अर्थ है $y \rho x$। अतः,$\rho$ सममित है।
(iii) संक्रामक: मान लीजिए $x \rho y$ और $y \rho z$ है। तो $xy > 0$ और $yz > 0$ होगा। यहाँ $y \neq 0$ होना चाहिए (क्योंकि $xy > 0$),इसलिए $y^2 > 0$ होगा। असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें $(xy)(yz) > 0$ प्राप्त होता है,जो $y^2(xz) > 0$ में सरल हो जाता है। चूँकि $y^2 > 0$,इसलिए $xz > 0$ होना चाहिए। अतः,$x \rho z$ है। इसलिए,$\rho$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध सममित और संक्रामक है।

(A) दिया गया है कि $AB = B$ और $BA = A$ है।
हमें $A^{2} + B^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $A^{2} = A \cdot A$,$A = BA$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A^{2} = A(BA) = (AB)A$ प्राप्त होता है।
$AB = B$ का उपयोग करने पर,हमें $A^{2} = BA = A$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$B^{2} = B \cdot B$,$B = AB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B^{2} = B(AB) = (BA)B$ प्राप्त होता है।
$BA = A$ का उपयोग करने पर,हमें $B^{2} = AB = B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A^{2} + B^{2} = A + B$।

(B) दिया गया है $A U_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$,और $A U_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
इसे $A U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $U = [U_{1} U_{2} U_{3}]$.
हम जानते हैं कि $A U = B$,जहाँ $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$U = A^{-1} B$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,$U^{-1} = (A^{-1} B)^{-1} = B^{-1} A$.
सबसे पहले $A^{-1}$ ज्ञात करें। $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ एक निम्न त्रिभुजाकार आव्यूह है।
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
अब $B^{-1}$ ज्ञात करें। चूँकि $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,$|B| = 1(3-0) = 3$.
$B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$U^{-1} = B^{-1} A = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & -2/3 & 0 \\ -7/3 & -5/3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
अवयवों का योग = $(-1/3 - 2/3 + 0) + (-7/3 - 5/3 - 1) + (3 + 2 + 1) = -1 - 5 + 6 = 0$.

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x+1)(x-1) \end{vmatrix}$।
$R_2$ से $x$ और $R_3$ से $x(x-1)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$f(x) = x \cdot x(x-1) \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2 & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{vmatrix}$।
$C_3$ से $(x+1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 3 & x-2 & 1 \end{vmatrix}$।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & x-2 & 1 \end{vmatrix}$।
चूंकि दो पंक्तियाँ ($R_1$ और $R_2$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f(100) = 0$।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}\sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}\sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
$R_1$ से $(\sin x + 2\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos x & \sin x - \cos x & 0 \\ \cos x & 0 & \sin x - \cos x\end{array}\right|=0$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\sin x + 2\cos x)(\sin x - \cos x)^2 = 0$.
इससे $\tan x = 1$ या $\tan x = -2$ प्राप्त होता है।
अंतराल $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$\tan x = 1$ से $x = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan x = -2$ इस अंतराल में संभव नहीं है (क्योंकि $\tan x \in [-1, 1]$),इसलिए एकमात्र हल $x = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया सारणिक $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1 \end{array}\right|$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(\theta) = 1(1 - (-\tan^2 \theta)) - \tan \theta(-\tan \theta - (-\tan \theta)) + 1(\tan^2 \theta - (-1))$
$f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(0) + 1(\tan^2 \theta + 1)$
$f(\theta) = (1 + \tan^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$.
चूंकि $\theta \in [0, \pi/2)$,इसलिए $\tan \theta \in [0, \infty)$,जिससे $\sec^2 \theta \in [1, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(\theta) = 2 \sec^2 \theta \in [2, \infty)$ है।

(D) दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}1+\omega & 0 & -\omega \\ 1+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2} \\ \omega+\omega^{2} & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$ है।
इकाई के घनमूल के गुणधर्म $1+\omega+\omega^{2} = 0$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $1+\omega = -\omega^{2}$,$1+\omega^{2} = -\omega$,और $\omega+\omega^{2} = -1$ है।
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega & \omega & -\omega^{2} \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
संक्रिया $R_{2} \to R_{2} - R_{3}$ लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc}-\omega^{2} & 0 & -\omega \\ -\omega+1 & 0 & 0 \\ -1 & \omega & -\omega^{2}\end{array}\right|$.
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = -\omega \left( (-\omega^{2})(0) - (-\omega)(-\omega+1) \right) = -\omega (\omega^{2} - \omega) = -\omega^{3} + \omega^{2} = -1 + \omega^{2}$.

(D) रैखिक समीकरणों के निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह $A$ लिखते हैं:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) - 2(1 - (-2)) = 0$
$|A| = 2(-2\lambda - 1) + 1(\lambda - 1) - 2(3) = 0$
$-4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 6 = 0$
$-3\lambda - 9 = 0$
$-3\lambda = 9$
$\lambda = -3$
अतः,$\lambda$ का मान $-3$ है जिसके लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{4}}{8}+\ldots\right)=\frac{\pi}{6}$.
$\sin ^{-1}$ फलन के अंदर दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{x}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$S_{\infty} = \frac{x}{1 - (-\frac{x}{2})} = \frac{x}{1 + \frac{x}{2}} = \frac{2x}{2+x}$.
अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{2x}{2+x}\right) = \frac{\pi}{6}$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर,$\frac{2x}{2+x} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
वज्र गुणन करने पर,$4x = 2 + x$.
$3x = 2$,जिससे $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: $2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$
$x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= 2 \tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$x > 1$ के लिए $2 \tan ^{-1} x = \pi + \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{2(2)}{1-2^2} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{4}{-3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - \tan ^{-1} \frac{4}{3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - (\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{3}{4})$
$x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

(C) फलन $f(x) = \left[ \frac{1}{[x]} \right]$ के रूप में परिभाषित है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,हर $[x] \neq 0$ होना चाहिए।
अतः,$[x] \neq 0$,जिसका अर्थ है $x < 0$ या $x \geq 1$।
इसलिए,प्रांत $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ है।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = [1/1] = 1$।
$x \in [2, \infty)$ के लिए,$[x] \geq 2$,इसलिए $0 < 1/[x] \leq 0.5$,जिसका अर्थ है $f(x) = [1/[x]] = 0$।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $f(x) = [1/(-1)] = -1$।
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,इसलिए $f(x) = [1/(-2)] = [-0.5] = -1$।
अतः,परिसर $\{-1, 0, 1\}$ है।

(A) मान लीजिए $y = \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+x+4)$ से गुणा करने पर,$y(x^2+x+4) = x^2-x+4$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(y-1)x^2 + (y+1)x + (4y-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$((y+1) - 4(y-1))((y+1) + 4(y-1)) \geq 0$.
$(y+1-4y+4)(y+1+4y-4) \geq 0$.
$(5-3y)(5y-3) \geq 0$.
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $(3y-5)(5y-3) \leq 0$.
मूल $y = \frac{5}{3}$ और $y = \frac{3}{5}$ हैं।
अतः,परिसर $y \in [\frac{3}{5}, \frac{5}{3}]$ है।

(D) अंतराल $I$ पर परिभाषित एक सतत फलन $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ जो केवल अपरिमेय मान लेता है,उसे एक अचर फलन होना चाहिए।
यदि $f(x)$ अचर नहीं होता,तो 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,यह उन दो मानों के बीच के सभी मानों को ग्रहण करता जो यह लेता है। चूंकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{R}$ में सघन है,इसलिए कोई भी गैर-अचर सतत फलन परिमेय मान अवश्य लेगा।
दिया गया है कि $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$,और चूंकि $f(x)$ अचर है,इसलिए हमारे पास सभी $x \in [-2,2]$ के लिए $f(x)=\sqrt{2}$ है।
अतः,$f(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}$.

(C) दिया है $f(1)=1$ और $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ जहाँ $n \geq 2$ है।
मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$ है। तब $S_n = n(n+1) f(n)$ है।
$n \geq 2$ के लिए,$S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$ है।
$S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$ प्राप्त होता है।
$n$ से विभाजित करने पर $(n \geq 2)$,हमें $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$ प्राप्त होता है।
$(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$ है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$ है।
$n=3$ के लिए,$f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ है।
सामान्यतः,$f(n) = \frac{1}{n}$ है।
अतः,$f(500) = \frac{1}{500}$ है।

(C) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
यहाँ $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]}$ दिया गया है।
जैसे-जैसे $x \to 0$,$x^2$ धनात्मक दिशा से $0$ की ओर अग्रसर होता है,इसलिए $-x^2$ ऋणात्मक दिशा से $0$ की ओर अग्रसर होता है (अर्थात $-x^2 \in (-1, 0)$)।
अतः,महत्तम पूर्णांक फलन $[-x^2]$ का मान $x \to 0$ के लिए $-1$ होगा।
इस प्रकार,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin [-x^2]}{[-x^2]} = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{-\sin(1)}{-1} = \sin(1)$।
चूंकि $f(0) = \alpha$,सांतत्य के लिए $\alpha = \sin(1)$ होना चाहिए।

(A) दिया गया है कि $f(2x - 1) = f(x)$.
किसी भी $x$ के लिए,हम लिख सकते हैं $f(x) = f(2x - 1) = f(2(2x - 1) - 1) = f(4x - 3) = f(2^n x - (2^n - 1))$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,$2^n x - 2^n + 1 = 2^n(x - 1) + 1$ होता है।
यदि $x \neq 1$ है,तो $2^n(x - 1) + 1 \rightarrow \pm \infty$ होता है।
चूंकि $f$,$x = 1$ पर सतत है,हम $x \rightarrow 1$ के रूप में सीमा पर विचार करते हैं। मान लीजिए $x_n$ एक अनुक्रम है जो $x_n \rightarrow 1$ है। तब $f(x_n) = f(2x_n - 1)$ होता है।
संबंध को दोहराने पर,$f(x) = f(1)$ सभी $x$ के लिए प्राप्त होता है क्योंकि अनुक्रम $x_{n+1} = \frac{x_n + 1}{2}$,$1$ की ओर अभिसरित होता है।
चूंकि $f(1) = 1$ है,इसलिए $f(x) = 1$ सभी $x \in R$ के लिए प्राप्त होता है।
अतः,$f(2) = 1$ और $f$ एक अचर फलन है,जो हर जगह सतत है।

(D) एक फलन $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ बिंदु $x = a$ पर संतत होता है यदि और केवल यदि $g(a) = h(a)$ हो।
यहाँ,$g(x) = \sin |x|$ और $h(x) = 0$ है।
सांतत्य के लिए,हमें $\sin |x| = 0$ की आवश्यकता है।
यह तब होता है जब $|x| = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए,जिसका अर्थ है $x = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
किसी भी बिंदु $x = k\pi$ (जहाँ $k \in \mathbb{Z}$) पर,$f(x) = \sin |k\pi| = 0$ होता है।
किसी अन्य बिंदु $x \neq k\pi$ के लिए,$\sin |x| \neq 0$ है,इसलिए फलन असंतत है क्योंकि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के लिए मान समान नहीं हैं।
अतः,$f$ केवल $x = k\pi$ पर संतत है और बाकी हर जगह असंतत है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया दूरी समीकरण: $s = t^{2} + at - b + 17$ है।
चूंकि कण विराम अवस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए $t = 5 \ s$ पर वेग $v = \frac{ds}{dt} = 0$ होना चाहिए।
वेग की गणना करने पर: $v = \frac{ds}{dt} = 2t + a$।
$t = 5$ पर $v = 0$ रखने पर: $2(5) + a = 0 \implies 10 + a = 0 \implies a = -10$।
अब,दिया गया है कि $t = 5 \ s$ पर दूरी $s = 25$ है:
$25 = (5)^{2} + a(5) - b + 17$।
$a = -10$ रखने पर: $25 = 25 + (-10)(5) - b + 17$।
$25 = 25 - 50 - b + 17$।
$25 = -8 - b$।
$b = -8 - 25 = -33$।
अतः,$a = -10$ और $b = -33$ मान प्राप्त होते हैं।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए,हम दोनों समीकरणों को बराबर रखते हैं: $e^{x^{2}} = e^{x^{2}} \sin x$.
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x^{2}} \neq 0$ होता है,इसलिए $e^{x^{2}}$ से भाग देने पर हमें $\sin x = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $f(x) = e^{x^{2}}$ और $g(x) = e^{x^{2}} \sin x$ है।
$f(x)$ का अवकलज $f'(x) = 2x e^{x^{2}}$ है।
$g(x)$ का अवकलज $g'(x) = 2x e^{x^{2}} \sin x + e^{x^{2}} \cos x$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर जहाँ $\sin x = 1$ और $\cos x = 0$ है,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 2x e^{x^{2}}$
$g'(x) = 2x e^{x^{2}}(1) + e^{x^{2}}(0) = 2x e^{x^{2}}$.
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु पर $f'(x) = g'(x)$ है,इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल समान है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $0$ है।

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है।
चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है,और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है,इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं।
अतः,कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है।
चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$,इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

(A) माना $I = \int \frac{(x-2)}{\{(x-2)^{2}(x+3)^{7}\}^{1 / 3}} d x$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{(x-2)}{(x-2)^{2/3}(x+3)^{7/3}} d x = \int \frac{(x-2)^{1/3}}{(x+3)^{7/3}} d x$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int \frac{1}{(x+3)^{7/3} \cdot (x-2)^{-1/3}} d x = \int \frac{1}{(x-2)^2 \cdot \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{7/3}} d x$.
माना $t = \frac{x+3}{x-2}$. तब $dt = \frac{(x-2)(1) - (x+3)(1)}{(x-2)^2} dx = \frac{-5}{(x-2)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x-2)^2} = -\frac{1}{5} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = -\frac{1}{5} \int t^{-7/3} dt = -\frac{1}{5} \left[ \frac{t^{-4/3}}{-4/3} \right] + C$.
$I = -\frac{1}{5} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) t^{-4/3} + C = \frac{3}{20} t^{-4/3} + C$.
$t = \frac{x+3}{x-2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{3}{20} \left( \frac{x+3}{x-2} \right)^{-4/3} + C = \frac{3}{20} \left( \frac{x-2}{x+3} \right)^{4/3} + C$.

(C) मान लीजिए $I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \{x^2\} dx$.
चूंकि $\{x^2\} = x^2 - [x^2]$,हम $[x^2]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x^2] = 0$.
$1 \le x < \sqrt{2}$ के लिए,$[x^2] = 1$.
$\sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$ के लिए,$[x^2] = 2$.
अतः,$I = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} (x^2 - 1) dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 2) dx$.
$I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{\sqrt{2}} + \left[ \frac{x^3}{3} - 2x \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}$.
$I = \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + \left( (\frac{2\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2}) - (\frac{1}{3} - 1) \right) + \left( (\frac{3\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3}) - (\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}) \right)$.
$I = \frac{1}{3} + (-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}) + (-\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3})$.
$I = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{2}}{3} = 1 - \sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3} + 1$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$।
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = f(x)$।
यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। चरों को अलग करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = k e^{x}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अब,मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$f(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0$।
$f(0) = k e^{0} = k$ का उपयोग करने पर,हमें $k = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0 \cdot e^{x} = 0$ है।
इस प्रकार,$f(\log_{e} 5) = 0$।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}}$ है।
इस योग को $\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r} - \sqrt{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n}} \right)$.
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{\frac{r}{n}} - \frac{1}{n} \right)$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \sqrt{x}$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx - \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$.
$L = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} - 0 = \frac{2}{3} (1)^{3/2} = \frac{2}{3}$.

(A) हमारे पास वक्र $y=x^{3}$ और बिंदु $A(1,1)$ है।
सबसे पहले,हम वक्र के समीकरण का अवकलन करके $A(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
$x=1$ पर,ढाल $m = 3(1)^{2} = 3$ है।
$(1,1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1 = 3(x-1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 3x-2$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को जहाँ काटती है वहाँ $y=0$ होता है,इसलिए $3x-2=0$,जिससे $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक वक्र $y=x^{3}$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जिसमें से $x=\frac{2}{3}$ से $x=1$ तक स्पर्श रेखा $y=3x-2$ के नीचे का क्षेत्रफल घटाना है।
$\text{आवश्यक क्षेत्रफल} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x \right]_{2/3}^{1}$
$= \left( \frac{1}{4} - 0 \right) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) यह क्षेत्र वक्रों $y=|x|$ और $y=-|x|+2$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x| = -|x| + 2$ रखें,जिससे $2|x| = 2$ प्राप्त होता है,अतः $|x| = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$।
$x=1$ के लिए,$y=1$ है। $x=-1$ के लिए,$y=1$ है।
परिबद्ध क्षेत्र के शीर्ष $(0,0)$,$(1,1)$,$(0,2)$,और $(-1,1)$ हैं।
यह क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$C(1,1)$,$B(0,2)$,और $A(-1,1)$ हैं।
वर्ग की भुजा की लंबाई $(0,0)$ और $(1,1)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(A) दिया गया है,$y = e^{-x} \cos 2x$.
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{-x}(-2 \sin 2x) + \cos 2x(-e^{-x}) = -2e^{-x} \sin 2x - y$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + y = -2e^{-x} \sin 2x$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -2[e^{-x}(2 \cos 2x) + \sin 2x(-e^{-x})] = -4(e^{-x} \cos 2x) + 2(e^{-x} \sin 2x)$.
$y = e^{-x} \cos 2x$ और $-2e^{-x} \sin 2x = \frac{dy}{dx} + y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - (\frac{dy}{dx} + y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -4y - \frac{dy}{dx} - y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 5y = 0$.

(A, B, D) माना $f(x)=\cos x$ और $g(x)=\sin x$. $f(x)$ और $g(x)$ का रोंस्कियन (Wronskian) लें।
$W = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \neq 0$.
चूँकि रोंस्कियन शून्य नहीं है,फलन रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। व्यापक हल $y = A \cos x + B \sin x$ है।
$(a)$ $A \cos x + B \sin x$ व्यापक हल है,इसलिए यह सत्य है।
$(b)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) = A(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{A}{\sqrt{2}} \sin x$. यह $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ के रूप में है,इसलिए यह सत्य है।
$(c)$ $A \cos x \sin x = \frac{A}{2} \sin(2x)$,जो $A \cos x + B \sin x$ के रूप में नहीं है,इसलिए यह असत्य है।
$(d)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) + B \sin(x - \frac{\pi}{4}) = A(\frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{2}}) + B(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}}) = \cos x(\frac{A-B}{\sqrt{2}}) + \sin x(\frac{B-A}{\sqrt{2}})$. यह $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ के रूप में है,इसलिए यह सत्य है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = -(3x^2 \tan^{-1} y - x^3)(1 + y^2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = x^3(1 + y^2) - 3x^2(\tan^{-1} y)(1 + y^2)$.
दोनों पक्षों को $(1 + y^2)$ से भाग देने पर: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} = x^3 - 3x^2 \tan^{-1} y$.
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx} + 3x^2 \tan^{-1} y = x^3$.
माना $t = \tan^{-1} y$,तब $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dx} + 3x^2 t = x^3$.
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3x^2$.
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3}$.

(A) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = -2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{d} = \lambda\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}), (\vec{d}-\vec{a})] = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (\lambda-1)\hat{j} + 0\hat{k}$
सारणिक द्वारा अदिश त्रिक गुणनफल:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & \lambda-1 & 0 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(0 - (-2)(\lambda-1)) = 0$
$3(2(\lambda-1)) = 0$
$6(\lambda-1) = 0$
$\lambda-1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.

(D) यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं,तो $a \cdot b = 0$.
अब विचार करें,$|a+b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) = |a|^{2} + |b|^{2} + 2(a \cdot b) = |a|^{2} + |b|^{2}$.
अतः,विकल्प $(a)$ हमेशा सत्य है।
$(b)$ यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं,तो $a \cdot b = 0$.
अब विचार करें,$|a+\lambda b|^{2} = (a+\lambda b) \cdot (a+\lambda b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2} + 2\lambda(a \cdot b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}$.
चूंकि $\lambda^{2}|b|^{2} \geq 0$,इसलिए $|a+\lambda b| = \sqrt{|a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}} \geq |a|$ सभी $\lambda \in R$ के लिए।
अतः,विकल्प $(b)$ हमेशा सत्य है।
$(c)$ विचार करें,$|a+b|^{2} + |a-b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) + (a-b) \cdot (a-b) = (|a|^{2} + |b|^{2} + 2a \cdot b) + (|a|^{2} + |b|^{2} - 2a \cdot b) = 2(|a|^{2} + |b|^{2})$.
अतः,विकल्प $(c)$ हमेशा सत्य है।
$(d)$ $a = -b$ और $b \neq 0$ पर विचार करें।
तब,$|a+\lambda b| = |-b + \lambda b| = |\lambda - 1||b|$.
शर्त $|a+\lambda b| \geq |a|$ के सत्य होने के लिए,हमें $|\lambda - 1||b| \geq |-b| = |b|$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $|\lambda - 1| \geq 1$.
यह सभी $\lambda \in R$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए,यदि $\lambda = 0.5$,तो $|0.5 - 1| = 0.5$,जो $1$ से बड़ा या बराबर नहीं है)।
अतः,विकल्प $(d)$ हमेशा सत्य नहीं है।

(D) एक रेखा $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ के समतल $Ax+By+Cz=D$ पर स्थित होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$(i)$ रेखा समतल के अभिलंब के लंबवत होनी चाहिए: $a_{1}A+b_{1}B+c_{1}C=0$.
(ii) रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए: $Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}=D$.
दी गई रेखा $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$ और समतल $x-2y+0z=0$ के लिए:
शर्त $(i)$: $3(1) + (2+\lambda)(-2) + (-1)(0) = 0$
$3 - 4 - 2\lambda = 0 \Rightarrow -1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
शर्त (ii): बिंदु $(\lambda, 1, 3)$ को समतल $x-2y=0$ पर स्थित होना चाहिए।
बिंदु प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda - 2(1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
चूंकि दोनों शर्तें $\lambda$ के लिए अलग-अलग मान देती हैं ($\lambda = -\frac{1}{2}$ और $\lambda = 2$), इसलिए ऐसा कोई $\lambda$ नहीं है जिसके लिए रेखा समतल पर स्थित हो।

(A) $5$ अलग-अलग गेंदों को $5$ खानों में रखने के कुल तरीके $5^{5} = 3125$ हैं।
ठीक एक खाना खाली रहने के लिए,हम पहले ${}^{5}C_{1} = 5$ तरीकों से $1$ खाना खाली चुनते हैं।
अब,हमें $5$ अलग-अलग गेंदों को शेष $4$ खानों में इस प्रकार वितरित करना है कि कोई भी खाना खाली न रहे।
$5$ तत्वों के समुच्चय से $4$ तत्वों के समुच्चय पर आच्छादक फलनों (onto functions) की संख्या $4! \times S(5, 4)$ है।
वैकल्पिक रूप से,समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हुए,$5$ अलग-अलग गेंदों को $4$ खानों में इस प्रकार वितरित करने के तरीके कि प्रत्येक खाने में कम से कम एक गेंद हो,$4^{5} - {}^{4}C_{1}(3^{5}) + {}^{4}C_{2}(2^{5}) - {}^{4}C_{3}(1^{5}) = 1024 - 972 + 192 - 4 = 240$ हैं।
अतः,अनुकूल तरीकों की संख्या ${}^{5}C_{1} \times 240 = 5 \times 240 = 1200$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1200}{3125} = \frac{48}{125}$ है।

(A) मान लीजिए $A, B, C, D$ वे घटनाएँ हैं कि व्यक्ति क्रमशः कार,स्कूटर,बस और ट्रेन से ऑफिस जाता है। तब $P(A) = 1/7, P(B) = 3/7, P(C) = 2/7, P(D) = 1/7$ है।
मान लीजिए $L$ देर से पहुँचने की घटना है और $E$ समय पर पहुँचने की घटना है। तब $P(E|A) = 1 - P(L|A) = 1 - 2/9 = 7/9$ है। इसी प्रकार,$P(E|B) = 1 - 1/9 = 8/9, P(E|C) = 1 - 4/9 = 5/9, P(E|D) = 1 - 1/9 = 8/9$ है।
हमें $P(A|E)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(A|E) = \frac{P(A)P(E|A)}{P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D)}$
$P(A|E) = \frac{(1/7)(7/9)}{(1/7)(7/9) + (3/7)(8/9) + (2/7)(5/9) + (1/7)(8/9)}$
$P(A|E) = \frac{7/63}{7/63 + 24/63 + 10/63 + 8/63} = \frac{7}{7 + 24 + 10 + 8} = \frac{7}{49} = 1/7$.

(C) मान लीजिए $S$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है और $NS$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान न करने वाला है।
मान लीजिए $D$ वह घटना है कि मृत्यु फेफड़ों के कैंसर के कारण होती है।
दिया गया है: $P(S) = 0.20$,$P(NS) = 0.80$,और $P(D) = 0.006$.
प्रश्न के अनुसार,$P(D|S) = 10 \times P(D|NS)$,जिसका अर्थ है $P(D|NS) = \frac{1}{10} P(D|S)$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(D) = P(S) \cdot P(D|S) + P(NS) \cdot P(D|NS)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.80 \cdot \left( \frac{1}{10} P(D|S) \right)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.08 \cdot P(D|S)$
$0.006 = 0.28 \cdot P(D|S)$
$P(D|S) = \frac{0.006}{0.28} = \frac{6}{280} = \frac{3}{140}$.

(B) मान लीजिए सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
मान लीजिए चित आना एक सफलता है। $\therefore p = \frac{1}{2}, q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
यह दिया गया है कि $P(X = 3) = P(X = 5)$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
${}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} (\frac{1}{2})^{n-5}$.
चूंकि दोनों पक्षों पर $(\frac{1}{2})$ के घातों का योग $n$ है,इसलिए ${}^{n}C_{3} = {}^{n}C_{5}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \Rightarrow x + y = n$ (जहाँ $x \neq y$) का उपयोग करने पर,$n = 3 + 5 = 8$ मिलता है।
अब,हमें ठीक एक चित आने की प्रायिकता $P(X = 1)$ ज्ञात करनी है:
$P(X = 1) = {}^{8}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^{8} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$.

(D) मान लीजिए कि $n$ उत्पादित पुर्जों की संख्या है। एक पुर्जे के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $p = 0.05 = \frac{1}{20}$ है।
एक पुर्जे के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता $q = 1 - 0.05 = 0.95 = \frac{19}{20}$ है।
हम चाहते हैं कि कम से कम एक पुर्जा दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $1/2$ से अधिक हो,अर्थात $P(X \geq 1) \geq 1/2$।
यह $1 - P(X = 0) \geq 1/2$ के बराबर है,जहाँ $P(X = 0)$ वह प्रायिकता है कि कोई भी पुर्जा दोषपूर्ण नहीं है।
$1 - (0.95)^n \geq 0.5 \implies 0.5 \geq (0.95)^n$।
दोनों तरफ $\log_{10}$ लेने पर: $\log_{10}(0.5) \geq n \log_{10}(0.95)$।
$-\log_{10}(2) \geq n(\log_{10}(95) - \log_{10}(100))$।
$-0.3 \geq n(1.977 - 2)$।
$-0.3 \geq n(-0.023)$।
चूंकि हम एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित कर रहे हैं,इसलिए असमानता का चिह्न बदल जाएगा: $n \geq \frac{0.3}{0.023} = \frac{300}{23} \approx 13.04$।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $n = 14$ है।