यदि u(x) और v(x) अवकल समीकरण frac{d^{2} y}{d | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ द्वितीय कोटि का एक रैखिक समघाती अवकल समीकरण है। अध्यारोपण (superposition) क

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$y=5 u(x)+8 v(x)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ द्वितीय कोटि का एक रैखिक समघाती अवकल समीकरण है। अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत के अनुसार,यदि $u(x)$ और $v(x)$ दो स्वतंत्र हल हैं,तो उनका कोई भी रैखिक संयोजन $y = c_{1}u(x) + c_{2}v(x)$ भी एक हल होता है,जहाँ $c_{1}$ और $c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं। विकल्प $A$ रैखिक संयोजन का एक विशिष्ट मामला है जहाँ $c_{1}=5$ और $c_{2}=8$ है। विकल्प $B$ को $y = c_{1}u(x) + (c_{2}-c_{1})v(x)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जो नए स्वेच्छ अचरों के साथ $u(x)$ और $v(x)$ का एक रैखिक संयोजन है। अतः,$A$ और $B$ दोनों अवकल समीकरण के हल को दर्शाते हैं।

यदि $u(x)$ और $v(x)$ अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ के दो स्वतंत्र हल हैं,तो दिए गए अवकल समीकरण का अन्य हल कौन सा है?

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यदि $x=f(y)$ अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$,$y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ का हल है और $f(0)=1$ है,तो $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$ का मान ज्ञात कीजिए:

$0 \leq x < 1$ के लिए $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है):

मूल बिंदु से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है

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