WBJEE 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना व्यास का दूसरा सिरा $B(\alpha, \beta)$ है।
वृत्त का व्यास $AB$ है,इसलिए इसका समीकरण $(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$x^2 + y^2 - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + (p\alpha + q\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $y = 0$ रखने पर प्राप्त समीकरण का विविक्तकर शून्य होगा।
$y = 0$ रखने पर,$x^2 - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श करने की शर्त के अनुसार,विविक्तकर $D = 0$ है।
$D = (p + \alpha)^2 - 4(p\alpha + q\beta) = 0$.
$p^2 - 2p\alpha + \alpha^2 - 4q\beta = 0$.
$(p - \alpha)^2 = 4q\beta$.
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x - p)^2 = 4qy$ प्राप्त होता है।

(D) माना $P(n) = 7^{2n} + 16n - 1$ है।
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 7^2 + 16(1) - 1 = 49 + 16 - 1 = 64$ है।
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 7^4 + 16(2) - 1 = 2401 + 32 - 1 = 2432$ है।
चूँकि $2432 / 64 = 38$,इसलिए यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $64$ से विभाज्य है।

(B) दिया गया समीकरण: $\log _{2} 6 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 6 = \log _{2} (2 \times 3) = 1 + \log _{2} 3$ का उपयोग करने पर:
$1 + \log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - 1$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - \log _{2} 2$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{2} \right)$
$\frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6} \right)$
$2^{\frac{1}{2x}} = \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6}$
माना $y = 2^{\frac{1}{2x}}$,तो $y^2 = 2^{\frac{1}{x}}$.
$6y = y^2 + 8$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$(y - 4)(y - 2) = 0$
$y = 4$ या $y = 2$
यदि $2^{\frac{1}{2x}} = 4 = 2^2$,तो $\frac{1}{2x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
यदि $2^{\frac{1}{2x}} = 2 = 2^1$,तो $\frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

(A) मान लीजिए $a > b > 0$ और $n \geq 2$ है।
मान लीजिए $a = 4, b = 1$,और $n = 2$ है।
तब $f(2) = 4^{1/2} - 1^{1/2} = 2 - 1 = 1$ है।
और $J(2) = (4 - 1)^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.732$ है।
चूंकि $1 < 1.732$,इसलिए $f(2) < J(2)$ है।
सामान्यतः,$a > b > 0$ और $n \geq 2$ के लिए,घात के गुणधर्म के अनुसार,$(a - b)^{1/n} > a^{1/n} - b^{1/n}$ सत्य है।
अतः,$f(n) < J(n)$ है।

(D) मान लीजिए $f(x) = a x^{2} + b x + c$ है।
दिया गया है कि $f(1) = a + b + c < 0$ है।
चूंकि द्विघात समीकरण $a x^{2} + b x + c = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए $f(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को नहीं काटता है।
इसका मतलब है कि $f(x)$ या तो हमेशा धनात्मक $(a > 0)$ है या हमेशा ऋणात्मक $(a < 0)$ है।
चूंकि $f(1) < 0$ है,इसलिए $f(x)$ हमेशा ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a < 0$ है।
साथ ही,$f(0) = c$ है। चूंकि $f(x)$ हमेशा ऋणात्मक है,इसलिए $f(0) < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $c < 0$ है।
अतः,$a < 0$ और $c < 0$ है।

(B) दिया गया है कि $x_{1}, x_{2}$ समीकरण $x^{2}-3x+a=0$ के मूल हैं,अतः $x_{1}+x_{2}=3$ और $x_{1}x_{2}=a$ है।
दिया गया है कि $x_{3}, x_{4}$ समीकरण $x^{2}-12x+b=0$ के मूल हैं,अतः $x_{3}+x_{4}=12$ और $x_{3}x_{4}=b$ है।
चूंकि $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,उन्हें $A, AR, AR^{2}, AR^{3}$ मान लें।
तब $x_{1}+x_{2} = A(1+R) = 3$ और $x_{3}+x_{4} = AR^{2}(1+R) = 12$ होगा।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,$R^{2} = 12/3 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $R = 2$ (क्योंकि $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ का अर्थ है $R > 0$)।
$R=2$ को $A(1+R)=3$ में रखने पर,$A(3)=3$ प्राप्त होता है,अतः $A=1$ है।
पद $1, 2, 4, 8$ हैं।
इस प्रकार,$a = x_{1}x_{2} = 1 \times 2 = 2$ और $b = x_{3}x_{4} = 4 \times 8 = 32$ है।
अतः,$ab = 2 \times 32 = 64$ है।

(A) दिया गया है,$e^{\sin x}-e^{-\sin x}-4=0$।
मान लीजिए $e^{\sin x}=t$। चूँकि $e^{\sin x} > 0$,इसलिए $t > 0$ होगा।
समीकरण $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ हो जाता है,जो $t^2 - 4t - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ का मान: $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$।
चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 2 + \sqrt{5}$ होगा (क्योंकि $2 - \sqrt{5} < 0$)।
अतः,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin x \leq 1$,जिसका अर्थ है $e^{-1} \leq e^{\sin x} \leq e^1$।
संख्यात्मक रूप से,$e \approx 2.718$ और $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$।
चूँकि $4.236 > 2.718$,इसलिए समीकरण $e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ का $x$ के लिए कोई हल नहीं है।
अतः,$x$ के वास्तविक मानों की संख्या $0$ है।

(C) मान लीजिए $\arg(z) = \theta$,जहाँ $0 < \theta < \pi$ है।
चूँकि $-z$,$z$ का मूल बिंदु के सापेक्ष प्रतिबिंब है,इसलिए इसका कोणांक $\arg(-z) = \theta - \pi$ (यदि $0 < \theta < \pi$) द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\arg(z) - \arg(-z) = \theta - (\theta - \pi) = \theta - \theta + \pi = \pi$.

(A) त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,$|z_1| + |z_2| \geq |z_1 + z_2|$ होता है।
माना $z_1 = z$ और $z_2 = 1 - z$ है।
तब $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)|$ होगा।
चूंकि $|1 - z| = |z - 1|$,इसलिए $|z| + |z - 1| \geq |1|$ है।
अतः,$|z| + |z - 1| \geq 1$ है।
न्यूनतम मान $1$ है।

(A) माना $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta}$.
चूंकि $z$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $z = \bar{z}$ होगा।
$\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$(1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = (1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta)$.
$1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta$.
सरल करने पर:
$6i \cos \theta = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$.
इसलिए,$\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in I$.

(B) यूलर के सूत्र $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ का उपयोग करते हुए, दिया गया समीकरण इस प्रकार है:
$e^{i\theta} \cdot e^{i2\theta} \cdot e^{i3\theta} \dots e^{in\theta} = 1$
$e^{i\theta(1 + 2 + 3 + \dots + n)} = 1$
चूंकि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है, हमें प्राप्त होता है:
$e^{i\frac{n(n+1)}{2}\theta} = 1$
$e^{i2k\pi} = 1$ के साथ तुलना करने पर, हमें मिलता है:
$\frac{n(n+1)}{2}\theta = 2k\pi$
$\theta = \frac{4k\pi}{n(n+1)}$

(A) बिंदु $P$ के ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ दिए गए हैं।
चूंकि रेखाखंड $PQ$ प्रारंभिक रेखा ($X$-अक्ष) द्वारा लंबवत समद्विभाजित होता है,इसलिए बिंदु $Q$,$X$-अक्ष पर $P$ का प्रतिबिंब होना चाहिए।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ में,किसी बिंदु का प्रारंभिक रेखा पर प्रतिबिंब लेने पर कोण $\theta$ का चिह्न बदल जाता है और $r$ समान रहता है।
इसलिए,$\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ का $X$-अक्ष पर प्रतिबिंब $\left(2, -\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ होगा।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ हैं।

(A) उम्मीदवार को दो भागों $A$ और $B$ से कुल $6$ प्रश्न चुनने हैं,इस शर्त के साथ कि किसी भी भाग से $4$ से अधिक प्रश्न नहीं चुने जा सकते। संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:

भाग $A$	भाग $B$
$4$ प्रश्न	$2$ प्रश्न
$3$ प्रश्न	$3$ प्रश्न
$2$ प्रश्न	$4$ प्रश्न

कुल तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$Ways = ({ }^{6}C_{4} \times { }^{6}C_{2}) + ({ }^{6}C_{3} \times { }^{6}C_{3}) + ({ }^{6}C_{2} \times { }^{6}C_{4})$
$Ways = (15 \times 15) + (20 \times 20) + (15 \times 15)$
$Ways = 225 + 400 + 225$
$Ways = 850$

(B) ठीक $4$ कार्ड अपने संबंधित लिफाफों में जाएं,इसके तरीकों की संख्या:
$1$. $7$ में से $4$ कार्ड चुनें जिन्हें उनके सही लिफाफों में रखा जाना है,जो ${ }^{7} C_{4}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$2$. शेष $3$ कार्डों को शेष $3$ लिफाफों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि कोई भी कार्ड अपने सही लिफाफे में न जाए (यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था या 'derangement' है,जिसे $D(3)$ कहा जाता है)।
$3$. $D(3) = 3! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 2$.
$4$. कुल तरीके = ${ }^{7} C_{4} \times D(3) = { }^{7} C_{3} \times 2 = 2 \times { }^{7} C_{3}$.

(B) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ $ar^2$ कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(ar^2)^2 = a^2 + (ar)^2$.
$a^2$ से विभाजित करने पर,$r^4 = 1 + r^2$,जिसका अर्थ है $r^4 - r^2 - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $r^2$ के लिए हल करने पर,$r^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (चूंकि $r^2 > 0$ है)।
अतः,$r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
त्रिभुज में,$\tan \alpha = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{ar}{a} = r = \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.
इसी प्रकार,$\tan \beta = \frac{a}{ar} = \frac{1}{r} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.
अतः,मान $\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ और $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ हैं।

(B) कण चरणों की एक श्रृंखला में चलता है। $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक इस प्रकार बदलते हैं:
$x$-निर्देशांक: $1, 1, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4}, 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}, \dots$
यह क्षैतिज गति के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है: $x_{\infty} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$y$-निर्देशांक: $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{8}, \dots$
यह लंबवत गति के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है: $y_{\infty} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \dots = \frac{1/2}{1 - (-1/4)} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (\frac{4}{3}, \frac{2}{5})$.

(B) $(3^{\frac{1}{8}}+5^{\frac{1}{4}})^{84}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{84}C_{r} (3^{\frac{1}{8}})^{84-r} (5^{\frac{1}{4}})^{r} = {}^{84}C_{r} \cdot 3^{\frac{84-r}{8}} \cdot 5^{\frac{r}{4}}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{84-r}{8}$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $\frac{r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
$\frac{r}{4} = k$ लेने पर,$r = 4k$ प्राप्त होता है,जहाँ $0 \le r \le 84$ है।
$r = 4k$ को $\frac{84-4k}{8} = \frac{21-k}{2}$ में रखने पर,$21-k$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
चूँकि $0 \le 4k \le 84$ है,इसलिए $0 \le k \le 21$ है।
$k$ के विषम मान $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21$ हैं।
$k$ के $11$ मान हैं,इसलिए $11$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में कुल पदों की संख्या $84+1 = 85$ है।
अतः,अपरिमेय पदों की संख्या $85 - 11 = 74$ है।

(A) माना $f(x) = x^{2}-1$ और $g(x) = \cos x$ है।
हम समीकरण $x^{2}-1 = \cos x$ के हलों की संख्या ज्ञात कर रहे हैं।
दोनों फलनों के व्यवहार का अवलोकन करें:
$1$. फलन $f(x) = x^{2}-1$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $(0, -1)$ पर है।
$2$. फलन $g(x) = \cos x$ एक आवर्ती तरंग है जो $-1$ और $1$ के बीच दोलन करती है।
$x = 0$ पर,$f(0) = -1$ और $g(0) = 1$ है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,परवलय $x^{2}-1$ वक्र $\cos x$ को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(C) बिंदु $P(0,0), Q(1,0)$ और $R\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि भुजाओं की लंबाई:
$PQ = 1, QR = 1, RP = 1$
चूँकि त्रिभुज समबाहु है,अंतःकेंद्र (incenter) और केंद्रक (centroid) एक ही होते हैं।
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $a=b=c=1$ है।
अतः,$I = \left(\frac{0+1+\frac{1}{2}}{3}, \frac{0+0+\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$.

(B) दी गई रेखा: $\sqrt{3}x + y = 1$,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m_1$ है। रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m_1 - (-\sqrt{3})}{1 + m_1(-\sqrt{3})} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = 0$. रेखा का समीकरण $y + 2 = 0$ है।
मामला $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = \sqrt{3}$. रेखा का समीकरण $y - x\sqrt{3} + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ है।

(B) माना प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(\alpha, -\alpha)$ हैं क्योंकि यह $4^{th}$ चतुर्थांश में स्थित है और अक्षों से समान दूरी पर है।
चूँकि $(\alpha, -\alpha)$,$2ax + 4ay + c = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2a(\alpha) + 4a(-\alpha) + c = 0$
$-2a\alpha + c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{2a} \quad (i)$
चूँकि $(\alpha, -\alpha)$,$7bx + 3by - d = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$7b(\alpha) + 3b(-\alpha) - d = 0$
$4b\alpha - d = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{d}{4b} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{c}{2a} = \frac{d}{4b}$
$4bc = 2ad$
$\frac{ad}{bc} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
अतः,$ad : bc = 2 : 1$.

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x-y=7$ ...$(i)$
$x+4y=2$ ...(ii)
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $B(6,-1)$ प्राप्त होता है।
माना रेखा $AC$ की ढाल $m$ है। बिंदु $A(2,-7)$,$x-y=7$ पर स्थित है,इसलिए रेखा $AC$,$A(2,-7)$ से गुजरती है।
चूंकि $AB=AC$,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिससे $\angle ABC = \angle ACB$। दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m-1}{1+m} \right| = \left| \frac{4m+1}{4-m} \right|$.
इसे हल करने पर $m=1$ या $m=-23/7$ प्राप्त होता है।
$m=1$ के लिए,रेखा का समीकरण $y-(-7)=1(x-2) \Rightarrow x-y-9=0$ है।
$m=-23/7$ के लिए,रेखा का समीकरण $y-(-7)=-\frac{23}{7}(x-2) \Rightarrow 23x+7y+3=0$ है।

(B) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ है।
चूंकि रेखा एक निश्चित बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से होकर गुजरती है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{x_{1}}{a}+\frac{y_{1}}{b}=1$
चूंकि $OAPB$ एक आयत है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(a, b)$ होंगे।
$a$ को $x$ और $b$ को $y$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ है:
$\frac{x_{1}}{x}+\frac{y_{1}}{y}=1$

(A) माना $P(\alpha, \beta)$ दिया गया स्थिर बिंदु है और $O(0, 0)$ मूल बिंदु है।
माना $Q(x, y)$ मूल बिंदु $O$ से $P$ से गुजरने वाली चर रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है।
चूंकि $OQ \perp PQ$,इसलिए $\angle OQP = 90^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $Q$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $OP$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $O(0, 0)$ और $P(\alpha, \beta)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-0)(x-\alpha) + (y-0)(y-\beta) = 0$
$x(x-\alpha) + y(y-\beta) = 0$
$x^{2} - \alpha x + y^{2} - \beta y = 0$
अतः,बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} - \alpha x - \beta y = 0$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $T(-ae, 0)$ हैं।
$B(0, b)$ लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है।
चूँकि $\triangle STB$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $SB = ST = TB$ होगा।
$ST = ae - (-ae) = 2ae$.
$SB = \sqrt{(ae-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2}e^{2} + b^{2}}$.
चूँकि $SB = ST$,इसलिए $SB^{2} = ST^{2}$ होगा।
$a^{2}e^{2} + b^{2} = (2ae)^{2} = 4a^{2}e^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
संबंध $b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करने पर:
$a^{2}(1-e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2}$.
$4e^{2} = 1$.
$e^{2} = \frac{1}{4}$.
$e = \frac{1}{2}$ (चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$)।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $3x^{2} + 4y^{2} = 48$ है।
$48$ से भाग देने पर,$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 12$,अतः $a = 4$ और $b = 2\sqrt{3}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \frac{1}{2}$.
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब के सिरे $P$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^{2}}{a}) = (4 \times \frac{1}{2}, \frac{12}{4}) = (2, 3)$ हैं।
माना $P$ का उत्केंद्र कोण $\theta$ है। तब $P = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (4 \cos \theta, 2\sqrt{3} \sin \theta)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$ और $2\sqrt{3} \sin \theta = 3 \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ है।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^{2} = \cos^{2} \alpha$ और $b^{2} = \sin^{2} \alpha$ प्राप्त होता है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $ae = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ है।
मान रखने पर,$ae = \sqrt{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha} = \sqrt{1} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ हैं,जो $\alpha$ से स्वतंत्र हैं।
इसलिए,$\alpha$ के बदलने पर भी नाभियाँ स्थिर रहती हैं।

(A) दिया गया समीकरण $3x^{2}-3y^{2}-18x+12y+2=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3(x-3)^{2} - 3(y-2)^{2} = 13$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x-3)^{2}}{13/3} - \frac{(y-2)^{2}}{13/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^{2} = 13/3$ और $b^{2} = 13/3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{2}$ है।
नियता का समीकरण $x = h \pm \frac{a}{e}$ के अनुसार $x = 3 \pm \sqrt{\frac{13}{6}}$ है।

(B) माना कि संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है।
दिया गया है कि संयुग्मी अक्ष की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई से अधिक है,इसलिए $2b > 2a$,जिसका अर्थ है $b > a$।
अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
चूंकि $b > a$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} > 1$ होता है।
अतः,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + 1 = 2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $e > \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A, C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^{2}-y^{2}=5$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{5}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2}=1$ और $b^{2}=5$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ है,जो $y=mx \pm \sqrt{m^{2}-5}$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्शरेखा $(2, 8)$ से गुजरती है,इसलिए $8=2m \pm \sqrt{m^{2}-5}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $8-2m = \pm \sqrt{m^{2}-5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(8-2m)^{2} = m^{2}-5$।
$64+4m^{2}-32m = m^{2}-5$।
$3m^{2}-32m+69=0$।
$m$ के लिए हल करने पर: $(3m-23)(m-3)=0$,अतः $m=3$ या $m=\frac{23}{3}$।
$m=3$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y-8=3(x-2) \Rightarrow 3x-y+2=0$ है।
$m=\frac{23}{3}$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y-8=\frac{23}{3}(x-2) \Rightarrow 23x-3y-22=0$ है।
अतः,$3x-y+2=0$ और $23x-3y-22=0$ दोनों मान्य स्पर्शरेखाएँ हैं।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
चूंकि $P(4,3)$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{16}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_1} + \frac{b^{2}y}{y_1} = a^{2} + b^{2}$ है।
$(x_1, y_1) = (4,3)$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{4} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ है।
चूंकि अभिलंब $(16,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=16$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{a^{2}(16)}{4} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 4a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = b^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{16}{a^{2}} - \frac{9}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^{2}} - \frac{3}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{13}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow a^{2} = 13$.
अतः $b^{2} = 3(13) = 39$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{39}{13}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(B) हमारे पास $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} \ln x$ है।
यह $0 \times \infty$ प्रकार का एक अनिर्धार्य रूप है।
हम इसे $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{x^{-n}}$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।
$L'\text{Hospital's rule}$ लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{-n})} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-n x^{-n-1}}$.
$= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{n+1}}{-n} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{n}}{-n}$.
चूंकि $n > 0$,जैसे $x \rightarrow 0^{+}$,$x^{n} \rightarrow 0$ होता है।
अतः,सीमा $\frac{0}{-n} = 0$ है।

(A) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज का आंतरिक कोण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\theta_n = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$।
हमें $n \rightarrow \infty$ के रूप में सीमा ज्ञात करनी है:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \theta_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 - \frac{2}{n}) \times 180^{\circ}$।
जैसे $n \rightarrow \infty$,पद $\frac{2}{n} \rightarrow 0$ होता है।
अतः,सीमा $(1 - 0) \times 180^{\circ} = 180^{\circ} = \pi \text{ रेडियन}$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$y - 1 < [y] \leq y$ होता है।
$y = \frac{q}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{q}{x} - 1 < \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{q}{x}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{p}$ से गुणा करने पर (मान लें $x > 0$ और $p > 0$),हमें $\frac{x}{p} \left( \frac{q}{x} - 1 \right) < \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{x}{p} \left( \frac{q}{x} \right)$ मिलता है।
यह सरल होकर $\frac{q}{p} - \frac{x}{p} < \frac{x}{p} \left[ \frac{q}{x} \right] \leq \frac{q}{p}$ हो जाता है।
जब $x \rightarrow 0^{+}$ हो,तो स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करने पर,मान $\frac{q}{p}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,$a = \min \{x^{2} + 2x + 3\}$ ज्ञात करें। द्विघात समीकरण $Ax^{2} + Bx + C$ का न्यूनतम मान $\frac{4AC - B^{2}}{4A}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $A=1, B=2, C=3$ है,इसलिए $a = \frac{4(1)(3) - (2)^{2}}{4(1)} = \frac{12 - 4}{4} = 2$ है।
अगला,$b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^{2}}$ ज्ञात करें। सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^{2}(\theta/2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{\theta^{2}} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{4(\theta/2)^{2}} = \frac{2}{4}(1)^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,योग $S = \sum_{r=0}^{n} a^{r} b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} (\frac{1}{2})^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^{r} \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^{r}$ का मूल्यांकन करें।
यह $n+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $4$ है। योग $2^{-n} \left[ \frac{1(4^{n+1} - 1)}{4 - 1} \right] = 2^{-n} \left[ \frac{4^{n+1} - 1}{3} \right] = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^{n}}$ है।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\log \left(e^{x}+x\right)}{x}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$'Hospital नियम लागू करते हैं:
$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{d}{dx} \log \left(e^{x}+x\right)}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}}{1}$.
$x \rightarrow 0^{+}$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$\log L = \frac{e^{0}+1}{e^{0}+0} = \frac{1+1}{1+0} = 2$.
इसलिए,$L = e^{2}$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी स्थिरांक $a$ और $b$ के लिए,मानक विचलन (standard deviation) का गुणधर्म $\sigma(a + bX) = |b| \sigma(X)$ होता है।
दिया गया है कि $\sigma(X) = 2.6$ है।
हमें $\sigma(1 - 4X)$ ज्ञात करना है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -4$ है।
गुणधर्म लागू करने पर: $\sigma(1 - 4X) = |-4| \sigma(X)$।
$\sigma(1 - 4X) = 4 \times 2.6$।
$\sigma(1 - 4X) = 10.4$।

(D) माना त्रिभुज के कोण $2x, 3x,$ और $7x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$.
$12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}$.
अतः,कोण $30^{\circ}, 45^{\circ},$ और $105^{\circ}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $a$ सबसे छोटे कोण $30^{\circ}$ के सम्मुख होती है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जहाँ $R = 10 \text{ cm}$.
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 10$.
$a = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$.

(B) समुच्चय $P$ प्रथम चतुर्थांश $(x > 0, y > 0)$ में इकाई वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के चाप को दर्शाता है।
समुच्चय $T$ प्रथम चतुर्थांश में वक्र $x^8 + y^8 = 1$ के अंदर के क्षेत्र को दर्शाता है।
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित किसी भी बिंदु $(x, y)$ के लिए,हमारे पास $0 < x < 1$ और $0 < y < 1$ है।
चूंकि $0 < x < 1$,इसलिए $x^8 < x^2$ और चूंकि $0 < y < 1$,इसलिए $y^8 < y^2$ है।
अतः,$x^8 + y^8 < x^2 + y^2 = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $P$ का प्रत्येक बिंदु $(x, y)$,$x^8 + y^8 < 1$ शर्त को भी संतुष्ट करता है,इसलिए $P \subset T$ है।
अतः,$P \cap T = P$।

(C) हमारे पास फलन $f(x) = \cos(x^2)$ है।
किसी फलन के $T > 0$ आवर्तकाल का होने के लिए,उसे अपने डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
फलन को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos((x+T)^2) = \cos(x^2)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $n$ के लिए $(x+T)^2 = x^2 + 2n\pi$ या $(x+T)^2 = -(x^2) + 2n\pi$ होगा।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,$x^2 + 2xT + T^2 = x^2 + 2n\pi$,जो सरल होकर $2xT + T^2 = 2n\pi$ हो जाता है।
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $T=0$। लेकिन आवर्तकाल $T$ एक धनात्मक स्थिरांक होना चाहिए।
चूंकि ऐसा कोई $T > 0$ मौजूद नहीं है,इसलिए फलन $f(x) = \cos(x^2)$ आवर्ती फलन नहीं है।

(C) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4},$ और $P(D) = \frac{1}{5}$ उन $4$ छात्रों की व्यक्तिगत रूप से समस्या हल करने की प्रायिकताएं हैं।
समस्या के कम से कम एक छात्र द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी छात्र समस्या हल नहीं कर पाता})$ द्वारा दी जाती है।
छात्र के समस्या हल करने में विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{X}) = 1 - P(X)$ है।
अतः,$P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4},$ और $P(\bar{D}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि उनमें से कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{D}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) \times P(\bar{D})$ है।
$P(\text{कोई नहीं}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
इसलिए,समस्या के कम से कम एक छात्र द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$.
गुणधर्म $\int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t + \int_{a}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,अतः $L$'$H$ôpital नियम और Leibniz समाकलन नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t}{\frac{d}{dx} (x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin ^{2}(x+y)} \cdot (1) - 0}{1} = e^{\sin ^{2} y}$.

(D) स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,$1 + a \cdot a = 1 + a^{2}$ है। चूँकि $a^{2} \ge 0$,इसलिए $1 + a^{2} \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in R$ के लिए $(a, a) \in R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ स्वतुल्य है।
सममितता: यदि $(a, b) \in R_{1}$ है,तो $1 + ab > 0$ है। चूँकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ सममित है।
संक्रामकता: $a = 1$,$b = 1/2$,और $c = -1$ लें। हमारे पास $1 + (1)(1/2) = 1.5 > 0$ है,इसलिए $(1, 1/2) \in R_{1}$ है। साथ ही,$1 + (1/2)(-1) = 0.5 > 0$ है,इसलिए $(1/2, -1) \in R_{1}$ है। हालाँकि,$1 + (1)(-1) = 0$,जो $> 0$ नहीं है। अतः,$(1, -1) \notin R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ संक्रामक नहीं है।

(C) परिभाषा के अनुसार,$x \in f^{-1}(A - B)$ यदि और केवल यदि $f(x) \in A - B$ हो।
इसका अर्थ है कि $f(x) \in A$ और $f(x) \notin B$ है।
यह $x \in f^{-1}(A)$ और $x \notin f^{-1}(B)$ के समतुल्य है।
अतः,$x \in f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ है।
चूंकि यह दोनों दिशाओं में सत्य है,इसलिए $f^{-1}(A - B) = f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 3 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
$(3-\lambda) [(3-\lambda)^2 - 9] = 0$.
$(3-\lambda) [9 + \lambda^2 - 6\lambda - 9] = 0$.
$(3-\lambda) (\lambda^2 - 6\lambda) = 0$.
$(3-\lambda) \lambda (\lambda - 6) = 0$.
अतः,मूल $\lambda = 0, 3, 6$ हैं।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 5x & x \\ 0 & x & 5x \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि एक त्रिभुजाकार आव्यूह का सारणिक उसके मुख्य विकर्ण के अवयवों का गुणनफल होता है।
अतः,$|A| = 5 \times x \times 5 = 25x$.
हमें दिया गया है कि $|A^2| = 25$.
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,$|A^2| = |A|^2$.
इसलिए,$(25x)^2 = 25$.
$625x^2 = 25$.
$x^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|x| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.

(D) आव्यूह बीजगणित में,दो गैर-शून्य आव्यूहों का गुणनफल एक शून्य आव्यूह हो सकता है।
उदाहरण के लिए,$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ पर विचार करें।
$A$ और $B$ दोनों गैर-शून्य आव्यूह हैं,लेकिन उनका गुणनफल $AB = O_{3}$ है।
इसलिए,यह संभव है कि $A \neq O_{3}$ और $B \neq O_{3}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,परिवर्त का सहखंडज (adjoint),सहखंडज के परिवर्त के बराबर होता है।
अर्थात,$\text{adj}(M^{\prime}) = (\text{adj } M)^{\prime}$।
इसलिए,$\text{adj}(M^{\prime}) - (\text{adj } M)^{\prime} = (\text{adj } M)^{\prime} - (\text{adj } M)^{\prime} = O$,जहाँ $O$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तब $A-3I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या आव्यूह व्युत्क्रमणीय है,हम इसका सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(A-3I_{3}) = -2((-2)(-2) - (1)(1)) - 1((1)(-2) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(1))$
$\det(A-3I_{3}) = -2(4-1) - 1(-2-1) + 1(1+2)$
$\det(A-3I_{3}) = -2(3) - 1(-3) + 1(3) = -6 + 3 + 3 = 0$.
चूँकि आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A-3I_{3}$ अव्युत्क्रमणीय (non-invertible) है।

(C) दी गई समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$\lambda x + y + 3z = 0$
$2x + \mu y - z = 0$
$5x + 7y + z = 0$
प्रणाली के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 3 \\ 2 & \mu & -1 \\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\lambda(\mu(1) - (-1)(7)) - 1(2(1) - (-1)(5)) + 3(2(7) - \mu(5)) = 0$
$\lambda(\mu + 7) - 1(2 + 5) + 3(14 - 5\mu) = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 7 + 42 - 15\mu = 0$
$\lambda\mu + 7\lambda - 15\mu + 35 = 0$
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(C)$ के लिए,$\lambda = 1$ और $\mu = 3$ रखने पर:
$(1)(3) + 7(1) - 15(3) + 35 = 3 + 7 - 45 + 35 = 10 - 45 + 35 = 0$.
चूंकि समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए सही विकल्प $(C)$ है।

(D) हमारे पास है,$f(x) = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}}$.
सबसे पहले,एकैकी गुण की जाँच करते हैं:
$f(-x) = (-x)^{2} - \frac{(-x)^{2}}{1+(-x)^{2}} = x^{2} - \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = f(x)$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(-x) = f(x)$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आगे,परिसर के लिए व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \frac{x^{2}(1+x^{2}) - x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{2} + x^{4} - x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{x^{4}}{1+x^{2}}$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^{4} \ge 0$ और $1+x^{2} > 0$ है,इसलिए $f(x) \ge 0$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
सप्रांत $R$ है और परिसर $[0, \infty) \neq R$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) हमें दिया गया है कि $g \circ f: S \rightarrow U$ एक आच्छादक (onto) फलन है।
आच्छादक फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक अवयव $z \in U$ के लिए,कम से कम एक अवयव $x \in S$ ऐसा विद्यमान है कि $(g \circ f)(x) = z$ हो।
इसे $g(f(x)) = z$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $y = f(x)$ है। चूंकि $x \in S$ और $f: S \rightarrow T$ है,इसलिए $y \in T$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $g(y) = z$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्येक $z \in U$ के लिए,हमें $T$ में एक ऐसा अवयव $y$ मिलता है जिसके लिए $g(y) = z$ है,अतः $g: T \rightarrow U$ एक आच्छादक फलन है।
हालाँकि,$f$ का आच्छादक होना आवश्यक नहीं है क्योंकि $T$ के वे अवयव जो $f$ के परिसर में नहीं हैं,वे $g \circ f$ की आच्छादकता को प्रभावित नहीं करते हैं,जब तक कि $f$ का परिसर $g$ के माध्यम से $U$ के सभी अवयवों को कवर करता हो।

(B) दिया गया है कि $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर सतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है,जहाँ $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है।
लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,कम से कम एक बिंदु $c \in (1,3)$ ऐसा विद्यमान है कि:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = f^{\prime}(c)$
$\frac{f(3)-f(1)}{2} = |f(c)|^{2} + 4$
चूंकि $|f(c)|^{2} \geq 0$,इसलिए $|f(c)|^{2} + 4 \geq 4$ होता है।
अतः,$\frac{f(3)-f(1)}{2} \geq 4$,जिसका अर्थ है कि $f(3)-f(1) \geq 8$।
इस प्रकार,कथन $f(3)-f(1)=5$ असत्य है।

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$,इसलिए $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ और $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $h^{\prime}(c) = 0$ हो।
$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$।
चूंकि $e^{g(x)} \neq 0$,इसलिए $h^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$ है।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
इसी प्रकार,विकल्प $(c)$ के लिए,$m(x) = e^{kx} g(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $g(a) = 0$ और $g(b) = 0$,इसलिए $m(a) = 0$ और $m(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में $c$ ऐसा विद्यमान है कि $m^{\prime}(c) = 0$ हो।
$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$।
चूंकि $e^{kx} \neq 0$,इसलिए $m^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$ है।
अतः,विकल्प $(c)$ भी सही है।

(A) दिया गया है कि $f$,$h$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $h(f(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$
अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{h^{\prime}(f(x))}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $h^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \log x}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $f(x)$ रखने पर $h^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1 + \log(f(x))}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $f^{\prime}(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + \log(f(x))}} = 1 + \log(f(x))$.

(B, C) फलन $f(x) = \frac{x^3}{4} - \sin(\pi x) + 3$ अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(-2) = \frac{(-2)^3}{4} - \sin(-2\pi) + 3 = \frac{-8}{4} - 0 + 3 = -2 + 3 = 1$.
$f(2) = \frac{2^3}{4} - \sin(2\pi) + 3 = \frac{8}{4} - 0 + 3 = 2 + 3 = 5$.
मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,चूँकि $f(x)$ अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है,यह $[f(-2), f(2)]$ अर्थात $[1, 5]$ अंतराल के प्रत्येक मान को प्राप्त करेगा।
चूँकि $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ और $3 \frac{1}{4} = 3.25$ दोनों $[1, 5]$ अंतराल के भीतर स्थित हैं,इसलिए फलन $f(x)$ ये दोनों मान प्राप्त करता है।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं।

(B) माना कि $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$ है।
तब,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि आयतन में अनुमानित परिवर्तन $\Delta V$ को $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,$\Delta V \approx (4 \pi r^2) \times \Delta r$.
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} \times 100 \approx \frac{4 \pi r^2 \times \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या $0.1 \%$ बढ़ती है,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.1$.
अतः,आयतन में प्रतिशत वृद्धि $3 \times 0.1 \% = 0.3 \%$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $y = \frac{10}{x}$ दिया गया है।
भुज के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ unit/s}$ है।
कोटि के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $t$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करेंगे:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{10}{x} \right) = -\frac{10}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिए गए मान $x = 5$ और $\frac{dx}{dt} = 1$ को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{10}{(5)^2} \cdot (1) = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \text{ unit/s}$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है,इसलिए कोटि $y$,$\frac{2}{5} \text{ unit/s}$ की दर से घटती है।

(A) मान लीजिए $g(x) = e^{-x} f(x)$.
तब,$g^{\prime}(x) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
चूंकि $f^{\prime}(x) > f(x)$,इसलिए $f^{\prime}(x) - f(x) > 0$ है।
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $g^{\prime}(x) > 0$ होता है।
अतः,$g(x)$ एक वर्धमान फलन है।
$x > 0$ के लिए,$g(x) > g(0)$ है।
चूंकि $g(0) = e^{0} f(0) = 1 \times 0 = 0$,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $g(x) > 0$ है।
अतः,$e^{-x} f(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x > 0$ के लिए $f(x) > 0$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + c$.
अंतराल $(1, 2)$ की सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = 1^{4} - 4(1)^{3} + 4(1)^{2} + c = 1 - 4 + 4 + c = 1 + c$.
$f(2) = 2^{4} - 4(2)^{3} + 4(2)^{2} + c = 16 - 32 + 16 + c = c$.
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यदि $f(1) \cdot f(2) < 0$ है,तो अंतराल $(1, 2)$ में कम से कम एक शून्य मौजूद है।
$f(1) \cdot f(2) = (1 + c)c$.
$f(1) \cdot f(2) < 0$ के लिए,हमें $c(c + 1) < 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $c \in (-1, 0)$.
चूंकि $f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$,हम देखते हैं कि $x = 0, 1, 2$ पर $f'(x) = 0$ है।
अंतराल $(1, 2)$ में,$f'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि फलन निरंतर घट रहा है।
अतः,यदि $c \in (-1, 0)$ है,तो $f(x)$ का $(1, 2)$ में ठीक एक शून्य है।

(D) माना $I = \int \cos \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) dx$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -2 \sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \cos \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}\right) (-2 \sin 2\theta) d\theta$.
सर्वसमिका $\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta} = \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$I = -2 \int \cos(2 \tan^{-1}(\tan \theta)) \sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $I = -2 \int \cos(2\theta) \sin 2\theta d\theta$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$I = -\int \sin 4\theta d\theta = \frac{\cos 4\theta}{4} + C$.
चूंकि $\cos 2\theta = x$,इसलिए $\cos 4\theta = 2 \cos^2 2\theta - 1 = 2x^2 - 1$.
अतः,$y = \frac{2x^2 - 1}{4} + C = \frac{1}{2}x^2 + C'$,जो परवलयों का एक परिवार दर्शाता है।

(B) माना $I = \int \cos x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,जहाँ $u = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right)$ और $v = \cos x$ है।
तब $u' = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \frac{1}{\sin x}$ और $\int v dx = \sin x$ होगा।
$I = \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) \cdot \sin x - \int \left( \frac{1}{\sin x} \cdot \sin x \right) dx$।
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - \int 1 dx$।
$I = \sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) - x + c$।
दिए गए व्यंजक $\sin x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right) + f(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = c - x$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int 2^{2^{x}} \cdot 2^{x} \, dx$.
$t = 2^{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,
$dt = 2^{x} \ln 2 \, dx$,जिससे $2^{x} \, dx = \frac{dt}{\ln 2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int 2^{t} \cdot \frac{dt}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \int 2^{t} \, dt$.
सूत्र $\int a^{t} \, dt = \frac{a^{t}}{\ln a} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2^{t}}{\ln 2} + C = \frac{2^{t}}{(\ln 2)^{2}} + C$.
अब $t = 2^{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2^{2^{x}}}{(\log 2)^{2}} + C$.
इसकी तुलना $A \cdot 2^{2^{x}} + C$ से करने पर,$A = \frac{1}{(\log 2)^{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\lambda|\sin x| + \frac{\mu \sin x}{1+\cos x} + \gamma) \, dx$.
हम समाकलन को तीन भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \mu \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$.
दूसरे समाकलन $J = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx$ पर विचार करें।
माना $f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}$.
तब $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1+\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{1+\cos x} = -f(x)$.
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ $0$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए समाकलन $J = 0$ होगा।
अतः,$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$.
चूंकि $\mu$ वाला पद शून्य हो जाता है,इसलिए समाकलन का मान $\mu$ से स्वतंत्र है।

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.
समाकल को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.
माना $f(x) = \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)}$ और $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}}$.
सममिति की जाँच करें: $f(-x) = \frac{(-x)^{2015}}{e^{|-x|}((-x)^2 + \cos(-x))} = \frac{-x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} = -f(x)$. अतः,$f(x)$ एक विषम फलन है।
$g(-x) = \frac{1}{e^{|-x|}} = \frac{1}{e^{|x|}} = g(x)$. अतः,$g(x)$ एक सम फलन है।
चूँकि $f(x)$ विषम है,$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.
चूँकि $g(x)$ सम है,$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} g(x) dx$.
इसलिए,$I = 0 + 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1}$.
$I = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.

(D) हमारे पास $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_{n} = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \tan^{-1} x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \, dx$
$I_{n} = \frac{\pi}{4(n+1)} - \frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x^{2}} \, dx$.
अब,रिडक्शन फॉर्मूला का उपयोग करने पर:
$(n+3) I_{n+2} + (n+1) I_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n+2}$.
इसकी तुलना $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ से करने पर,हमें $a_{n} = n+3$ और $b_{n} = n+1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a_{n} = n+3$,इसलिए $a_{1}=4, a_{2}=5, a_{3}=6$,जो $AP$ में हैं।
चूँकि $b_{n} = n+1$,इसलिए $b_{1}=2, b_{2}=3, b_{3}=4$,जो $AP$ में हैं।
अतः,$a_{n}$ और $b_{n}$ दोनों $AP$ में हैं।

(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sqrt{\frac{n}{n+3r}}$ है।
हम योग के अंदर के पद को $\sqrt{\frac{1}{1+3(r/n)}} = (1+3(r/n))^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$L = 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (1+3(r/n))^{-1/2}$।
निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n)$ का उपयोग करने पर:
$L = 3 \int_{0}^{1} (1+3x)^{-1/2} dx$।
$(1+3x)^{-1/2}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $\frac{(1+3x)^{1/2}}{3 \times (1/2)} = \frac{2}{3} \sqrt{1+3x}$ प्राप्त होता है।
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$L = 3 \left[ \frac{2}{3} \sqrt{1+3x} \right]_{0}^{1} = 2 [\sqrt{1+3} - \sqrt{1+0}] = 2 [\sqrt{4} - 1] = 2 [2 - 1] = 2$।

(B) वक्र $y=x+1$ और $y=\cos x$ हैं। यह क्षेत्र इन वक्रों और $X$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
ग्राफ से,क्षेत्र $x=0$ पर दो भागों में विभाजित है।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,क्षेत्र $y=x+1$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
$x \in [0, \pi/2]$ के लिए,क्षेत्र $y=\cos x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
$\text{आवश्यक क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{0} (x+1) dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} + [\sin x]_{0}^{\pi/2}$
$= \left( (0) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - 1 \right) \right) + (\sin(\pi/2) - \sin(0))$
$= \left( 0 - (\frac{1}{2} - 1) \right) + (1 - 0)$
$= \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दिया गया समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{d y}{d x}=a^{2}, a \neq 0$
माना $x+y=t$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$t^{2}(\frac{d t}{d x}-1)=a^{2}$
$t^{2} \frac{d t}{d x} = a^{2}+t^{2}$
चरों का पृथक्करण करने पर:
$\frac{t^{2}}{a^{2}+t^{2}} d t = d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{t^{2}+a^{2}-a^{2}}{t^{2}+a^{2}} d t = \int d x$
$\int (1 - \frac{a^{2}}{t^{2}+a^{2}}) d t = x + C'$
$t - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t - a \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$
$y - C' = a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$
माना $C = -C'$. अतः व्यापक हल $\tan(\frac{y+C}{a}) = \frac{x+y}{a}$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ ...$(i)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $x = vy$,तब $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ ...(ii)
(ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(e^v + v)}{1+e^v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{dy}{y}$
माना $v+e^v = t$,तब $(1+e^v) dv = dt$। अतः,$\ln|t| = -\ln|y| + \ln|C|$
$\ln|v+e^v| + \ln|y| = \ln|C| \Rightarrow y(v+e^v) = C$
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $y(\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}}) = C \Rightarrow x + ye^{\frac{x}{y}} = C$

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{d} = 4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}$ हैं।
बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय हैं यदि सदिशों $\vec{BA}, \vec{CA}, \vec{DA}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
$\vec{BA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{CA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = -2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{DA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - (1+\lambda)\hat{k}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -(1+\lambda) \end{vmatrix} = 0$
हल करने पर:
$-1(\lambda-2) + 1(2\lambda-1) + 3 = 0$
$-\lambda + 2 + 2\lambda - 1 + 3 = 0$
$\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.

(D) दिया गया है कि $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{\alpha}| = |\hat{\beta}| = |\hat{\gamma}| = 1$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = (\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma}$।
दिया गया समीकरण: $(\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma} = \frac{1}{2} \hat{\beta} + \frac{1}{2} \hat{\gamma}$।
चूंकि $\hat{\beta}$ और $\hat{\gamma}$ समांतर नहीं हैं,हम दोनों पक्षों पर $\hat{\beta}$ और $\hat{\gamma}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं।
$\hat{\gamma}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-(\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) = \frac{1}{2}$।
अतः,$\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = -\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = |\hat{\alpha}| |\hat{\beta}| \cos \theta$,जहाँ $\theta, \hat{\alpha}$ और $\hat{\beta}$ के बीच का कोण है,इसलिए $1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{2 \pi}{3}$।

(B) माना बिंदु $A(1, 2, -3)$ और $B(-1, -2, 1)$ हैं। सदिश $\vec{AB}$ समतल में स्थित है,जहाँ $\vec{AB} = (-1-1, -2-2, 1-(-3)) = (-2, -4, 4)$ है।
समतल उस रेखा के समानांतर है जिसके दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ हैं। अतः,सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ समतल के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$,$\vec{AB}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{n} = \hat{i}(-16 - 12) - \hat{j}(-8 - 8) + \hat{k}(-6 - (-8)) = -28\hat{i} + 16\hat{j} + 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-28, 16, 2)$ के समानुपाती हैं,जिसे $-2$ से विभाजित करने पर $(14, -8, -1)$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(3, 4, 5)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (2, 3, 4)$ है।
रेखाखंड $AB$ के दिक् अनुपात $(3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB$ समतल का अभिलंब है। अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है,जिसे $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इन मानों को रखने पर: $((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$(x-2) + (y-3) + (z-4) = 0$.
$x + y + z - 9 = 0$,अर्थात $x + y + z = 9$।