Difficult
मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f:[-1,1] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो:
- A$f$,$[-1,1]$ पर रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है
- B$f$,$[-1,1]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है
- C$f$,$[0,1]$ पर रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है
- D$f$,$[0,1]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है
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मान लीजिए कि $f$ एक ऐसा फलन है जो सभी $x$ के लिए सतत और अवकलनीय है। यदि $f(1) = 1$ और $[1, 5]$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,तो $f(5)$ का अधिकतम मान क्या है?
यदि $x \in [0, 4]$ के लिए $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ है,तो लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c \in (0, 4)$ का मान ज्ञात कीजिए।
$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$. निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?
निम्नलिखित फलनों पर विचार करें:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?
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