मान लीजिए alpha, beta इकाई के घनमूलों को दर्श | vedclass

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Question

(A) इकाई के $1$ के अलावा घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega = e^{i 2\pi/3}$ है।दिया गया $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\al

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$-2 \omega$ या $-2 \omega^{2}$

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(A) इकाई के $1$ के अलावा घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega = e^{i 2\pi/3}$ है।दिया गया $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}$ एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{\alpha}{\beta}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\alpha/\beta)} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}$ होता है।चूंकि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$,इसलिए $\alpha + \beta = \omega + \omega^{2} = -1$ है।स्थिति $I$: यदि $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^{2}$ है,तो $S = \frac{\omega^{2}}{\omega + \omega^{2}} = \frac{\omega^{2}}{-1} = -\omega^{2}$।स्थिति $II$: यदि $\alpha = \omega^{2}$ और $\beta = \omega$ है,तो $S = \frac{\omega}{\omega^{2} + \omega} = \frac{\omega}{-1} = -\omega$।अतः,$S$ का मान $-\omega$ या $-\omega^{2}$ है।

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