WBJEE 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A, D) कुल उड़ान का समय $T = 12 \text{ सेकंड}$ दिया गया है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $t = \frac{T}{2} = 6 \text{ सेकंड}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,जहाँ $g = 32 \text{ ft/sec}^2$:
$0 = u - (32)(6) \Rightarrow u = 192 \text{ ft/sec}$.
अधिकतम ऊँचाई $H = ut - \frac{1}{2}gt^2$:
$H = (192)(6) - \frac{1}{2}(32)(6)^2 = 1152 - 576 = 576 \text{ ft}$.
अतः,प्रक्षेपण का वेग $192 \text{ ft/sec}$ है और अधिकतम ऊँचाई $576 \text{ ft}$ है।
विकल्प $A$ और $D$ दोनों सही हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \log (x+1)-\log (x^{2}-1)=\log 2$.
गुणधर्म $n \log a = \log (a^n)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\log (x+1)^2 - \log (x^2-1) = \log 2$.
गुणधर्म $\log a - \log b = \log (a/b)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\log \left( \frac{(x+1)^2}{x^2-1} \right) = \log 2$.
चूँकि $x^2-1 = (x-1)(x+1)$,समीकरण $\log \left( \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \right) = \log 2$ बन जाता है।
भिन्न को सरल करने पर,हमें मिलता है $\log \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = \log 2$.
अतः,$\frac{x+1}{x-1} = 2$.
$x+1 = 2(x-1) \Rightarrow x+1 = 2x-2$.
$x = 3$.
लघुगणकीय पदों के परिभाषित होने के लिए,$x+1 > 0$ और $x^2-1 > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x > 1$.
अतः,$x = 3$ ही एकमात्र मान्य हल है।

(A) दोनों पक्षों में $\log _{3}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\log _{3} x)^{2}-\frac{9}{2} \log _{3} x+5 = \log _{3} (3 \sqrt{3}) = \log _{3} (3^{3/2}) = \frac{3}{2}$.
माना $t = \log _{3} x$. तब समीकरण बन जाता है:
$t^{2} - \frac{9}{2} t + 5 = \frac{3}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2t^{2} - 9t + 10 = 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2t^{2} - 9t + 7 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2t - 7)(t - 1) = 0$.
अतः,$t = 1$ या $t = \frac{7}{2}$.
$t = 1$ के लिए,$\log _{3} x = 1 \Rightarrow x = 3^{1} = 3$.
$t = \frac{7}{2}$ के लिए,$\log _{3} x = \frac{7}{2} \Rightarrow x = 3^{7/2} = 27\sqrt{3}$.
दोनों मूल वास्तविक हैं। इसलिए,समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(A) दिया गया है $P(x) = ax^{2} + bx + c$ और $Q(x) = -ax^{2} + dx + c$.
$P(x) = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_{1} = b^{2} - 4ac$ है।
$Q(x) = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_{2} = d^{2} - 4(-a)(c) = d^{2} + 4ac$ है।
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,हमें $D_{1} + D_{2} = b^{2} + d^{2} \geq 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकरों का योग अ-ऋणात्मक है,इसलिए कम से कम एक विविक्तकर अ-ऋणात्मक होना चाहिए ($D_{1} \geq 0$ या $D_{2} \geq 0$)।
यदि $D_{1} \geq 0$,तो $P(x)$ के वास्तविक मूल हैं। यदि $D_{2} \geq 0$,तो $Q(x)$ के वास्तविक मूल हैं।
अतः,समीकरण $P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल होंगे।

(C) एक द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^{2} + bx + c$ के लिए सभी $x$ के लिए $a$ के समान चिह्न रखने हेतु,परवलय को $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।
इसका अर्थ है कि द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ का मान $0$ से कम होना चाहिए।
अतः,शर्त $b^{2} - 4ac < 0$ है।

(C) माना $p = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,जहाँ $|p| = 1$ है।
तब $p^{4} = e^{i4\theta} = \cos(4\theta) + i \sin(4\theta)$।
$p^{4}$ का काल्पनिक भाग $\sin(4\theta)$ है।
हमें दिया गया है कि $\text{Im}(p^{4}) = 0$,इसलिए $\sin(4\theta) = 0$।
इसका अर्थ है कि $4\theta = n\pi$ किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,या $\theta = \frac{n\pi}{4}$।
$p$ के लिए इकाई वृत्त पर भिन्न मान प्राप्त करने हेतु,हम $\theta \in [0, 2\pi)$ पर विचार करते हैं।
$\theta$ के संभावित मान $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{4\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{6\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इस प्रकार,$\theta$ के $8$ मान प्राप्त होते हैं,जो $8$ भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $p$ के संगत हैं।

(C) समीकरण $z^{2}+pz+q=0$ के मूल $z_{1}$ और $z_{2}$ हैं।
आर्गंड समतल में बिंदुओं $z_{1}, z_{2}$ और मूल बिंदु $(0)$ द्वारा एक समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2} = z_{1}z_{2} + z_{2}(0) + (0)z_{1}$ है,जो $z_{1}^{2}+z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$ में सरल हो जाती है।
दोनों पक्षों में $2z_{1}z_{2}$ जोड़ने पर,हमें $(z_{1}+z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के गुणों से,$z_{1}+z_{2} = -p$ और $z_{1}z_{2} = q$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(-p)^{2} = 3q$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p^{2} = 3q$।

(B) सम्मिश्र तल में वृत्त का सामान्य समीकरण $z \bar{z} + \bar{a} z + a \bar{z} + b = 0$ है,जहाँ केंद्र $-a$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{|a|^2 - b}$ है।
दिए गए समीकरण $z \bar{z} + (2 - 3i) z + (2 + 3i) \bar{z} + 4 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 2 - 3i$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$|a|^2 = |2 - 3i|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$ की गणना करें।
अब,त्रिज्या $r = \sqrt{|a|^2 - b} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $3 \text{ इकाई}$ है।

(D) इमारत में $12$ मंजिलें हैं।
चूंकि व्यक्ति लिफ्ट में प्रवेश करते हैं,वे भूतल (जहाँ से उन्होंने प्रवेश किया) के अलावा अन्य मंजिलों पर बाहर निकलेंगे।
इससे $12 - 1 = 11$ संभावित मंजिलें बचती हैं।
हालाँकि,लिफ्ट दूसरी मंजिल पर नहीं रुकती है,इसलिए उनके बाहर निकलने के लिए उपलब्ध मंजिलों की संख्या $11 - 1 = 10$ है।
चूंकि $3$ व्यक्ति अलग-अलग मंजिलों पर बाहर निकलते हैं,इसलिए तरीकों की संख्या $10$ मंजिलों में से $3$ के क्रमचय द्वारा दी जाती है:
$^{10}P_{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

(B) $n$ अवयवों वाले समुच्चय के $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $\binom{n}{m}$ होती है।
एक विशिष्ट अवयव $a_{4}$ को समाहित करने वाले $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या,शेष $(n-1)$ अवयवों में से $(m-1)$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $\binom{n-1}{m-1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\binom{n}{m} = k \times \binom{n-1}{m-1}$.
सर्वसमिका $\binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} = k \binom{n-1}{m-1}$.
दोनों पक्षों को $\binom{n-1}{m-1}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n}{m} = k \Rightarrow n = mk$.

(B) मान लीजिए $S_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए हैं। हमें दिया गया है $S_i = 2^{n-i}$।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $1$ से $n$ तक के सभी $i$ के लिए कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर देने वाले छात्रों की संख्या का योग है।
गलत उत्तरों की कुल संख्या $= \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} 2^{n-i}$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^0$।
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$।
यह दिया गया है कि गलत उत्तरों की कुल संख्या $2047$ है,इसलिए $2^n - 1 = 2047$।
$2^n = 2048$।
चूँकि $2048 = 2^{11}$,हमें $n = 11$ प्राप्त होता है।

(A) $\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं।
किन्हीं भी दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$x+y \geq 2\sqrt{xy}$ होता है।
माना $x = \frac{6a}{5b}$ और $y = \frac{10b}{3a}$ है।
अतः,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a}}$.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a} = \frac{60}{15} = 4$.
इसलिए,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{4} = 4$.
अतः,न्यूनतम संभव मान $4$ है।

(A) हमें $I(n) = n^n$ और $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ दिया गया है।
$n$ धनात्मक पूर्णांकों $1, 3, 5, \ldots, (2n - 1)$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)}{n} > \sqrt[n]{1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)}$
प्रथम $n$ विषम पूर्णांकों का योग $n^2$ है,इसलिए $\frac{n^2}{n} > (J(n))^{1/n}$।
यह $n > (J(n))^{1/n}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों की घात $n$ लेने पर,हमें $n^n > J(n)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(n) > J(n)$।

(B) दी गई श्रेणी का सामान्य पद $T_{r} = r \frac{c_{r}}{c_{r-1}}$ है।
हम जानते हैं कि $c_{r} = {}^{15}C_{r} = \frac{15!}{r!(15-r)!}$ और $c_{r-1} = {}^{15}C_{r-1} = \frac{15!}{(r-1)!(16-r)!}$ है।
अतः,$\frac{c_{r}}{c_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ है।
इसे सामान्य पद में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T_{r} = r \times \frac{16-r}{r} = 16-r$ प्राप्त होता है।
योग $S = \sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$ है।
यह प्रथम $15$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है,जो $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ है।

(B) दी गई समानांतर रेखाएँ $4x + 2y - 9 = 0$ और $2x + y + 6 = 0$ हैं।
हम पहले समीकरण को $2x + y = \frac{9}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दूसरा समीकरण $2x + y = -6$ है।
माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $y = mx$ है। इसे समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$P$ के लिए: $2x + mx = \frac{9}{2} \Rightarrow x_P = \frac{9}{2(2+m)}$,$y_P = \frac{9m}{2(2+m)}$.
$Q$ के लिए: $2x + mx = -6 \Rightarrow x_Q = \frac{-6}{2+m}$,$y_Q = \frac{-6m}{2+m}$.
बिंदु $O(0,0)$ द्वारा $PQ$ को विभाजित करने का अनुपात $\frac{OP}{OQ} = \frac{|x_P|}{|x_Q|} = \frac{9/2(2+m)}{6/(2+m)} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,बिंदु $O$,$PQ$ को $3: 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(D) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=2$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$r \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right) = 2$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$r \left( \cos \theta \cdot \frac{1}{2} + \sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2$
$2$ से गुणा करने पर:
$r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta = 4$
रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$x + \sqrt{3} y = 4$
यह $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(C) माना रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि अंतःखंडों का योग $a + b = -1$ है,इसलिए $b = -1 - a$।
रेखा $(4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$।
$b = -(1 + a)$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1 + a} = 1$ प्राप्त होता है।
$4(1 + a) - 3a = a(1 + a) \Rightarrow 4 + 4a - 3a = a + a^2$।
$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$ या $a = -2$।
यदि $a = 2$ है,तो $b = -1 - 2 = -3$। समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ है।
यदि $a = -2$ है,तो $b = -1 - (-2) = 1$। समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ है।

(B) मान लीजिए $m = \frac{x}{y}$. समीकरण $m^{2}+2m+a=0$ और $am^{2}+2m+1=0$ बन जाते हैं।
चूंकि उनके पास एक सामान्य रेखा है,इसलिए वे एक सामान्य मूल $m$ साझा करते हैं।
सामान्य मूल के लिए शर्त का उपयोग करते हुए: $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}) = (a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{2}$.
यहाँ,$(1 \cdot 2 - a \cdot 2)(2 \cdot 1 - a \cdot 2) = (1 \cdot 1 - a \cdot a)^{2}$.
$4(1-a)^{2} = (1-a)^{2}(1+a)^{2}$.
चूंकि $a \neq 1$,हमारे पास $4 = (1+a)^{2} \Rightarrow 1+a = \pm 2$ है।
यदि $1+a=-2$,तो $a=-3$।
$a=-3$ के लिए,समीकरण $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ और $-3x^{2}+2xy+y^{2}=0$ हैं।
गुणनखंड करने पर,$(x+3y)(x-y)=0$ और $-(3x+y)(x-y)=0$ प्राप्त होता है।
सामान्य रेखा $x-y=0$ है।
अन्य दो रेखाएं $x+3y=0$ और $3x+y=0$ हैं।

(C) रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-5 - 0}{0 - 7} = \frac{5}{7}$ है।
चूंकि $PQ \perp AB$,रेखा $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = -\frac{7}{5}$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{7}{5}(x - a)$ है,जो $7x + 5y = 7a$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $Q(0, b)$,$PQ$ पर स्थित है,$5b = 7a$,इसलिए $b = \frac{7a}{5}$ है।
$R(h, k)$,$AQ$ और $BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$A(7, 0)$ और $Q(0, b)$ से गुजरने वाली रेखा $AQ$ का समीकरण $\frac{x}{7} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$B(0, -5)$ और $P(a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $BP$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{-5} = 1$ है।
चूंकि $R(h, k)$ दोनों रेखाओं पर स्थित है:
$(1)$ $\frac{h}{7} + \frac{k}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{7} + \frac{5k}{7a} = 1$ $\Rightarrow ah + 5k = 7a$ $\Rightarrow a(7 - h) = 5k$ $\Rightarrow a = \frac{5k}{7 - h}$।
$(2)$ $\frac{h}{a} - \frac{k}{5} = 1$ $\Rightarrow 5h - ak = 5a$ $\Rightarrow 5h = a(k + 5)$ $\Rightarrow a = \frac{5h}{k + 5}$।
$a$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{5k}{7 - h} = \frac{5h}{k + 5}$ $\Rightarrow k(k + 5) = h(7 - h)$ $\Rightarrow k^2 + 5k = 7h - h^2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $h^2 + k^2 - 7h + 5k = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 7x + 5y = 0$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(a, 0)$ है जहाँ $a > 0$ है क्योंकि यह $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में है।
दी गई त्रिज्या $r = \sqrt{17}$ है,अतः वृत्त का समीकरण $(x - a)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2}$ होगा।
मान रखने पर,$(x - a)^{2} + y^{2} = 17$ प्राप्त होता है।
चूँकि वृत्त बिंदु $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$(0 - a)^{2} + 1^{2} = 17$
$a^{2} + 1 = 17$
$a^{2} = 16$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ होगा।
$a = 4$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x - 4)^{2} + y^{2} = 17$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} = 17$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 1 = 0$.

(B) परवलय $y^{2}=4ax$ का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।
शीर्ष $O$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $y = x \tan \alpha$ है।
इस रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ को ज्ञात करने के लिए,$y = x \tan \alpha$ को $y^{2}=4ax$ में प्रतिस्थापित करें:
$(x \tan \alpha)^{2} = 4ax$
$x^{2} \tan^{2} \alpha = 4ax$
चूंकि $P$ मूल बिंदु नहीं है,इसलिए $x \neq 0$,जिससे $x \tan^{2} \alpha = 4a$,जो $x = 4a \cot^{2} \alpha$ देता है।
तब $y = (4a \cot^{2} \alpha) \tan \alpha = 4a \cot \alpha$।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ हैं।
जीवा $OP$ की लंबाई $(0,0)$ से $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ तक की दूरी है:
$OP = \sqrt{(4a \cot^{2} \alpha)^{2} + (4a \cot \alpha)^{2}}$
$OP = \sqrt{16a^{2} \cot^{4} \alpha + 16a^{2} \cot^{2} \alpha}$
$OP = 4a \cot \alpha \sqrt{\cot^{2} \alpha + 1}$
$OP = 4a \cot \alpha \operatorname{cosec} \alpha$ (चूंकि $0 < \alpha < 90^{\circ}$,$\cot \alpha > 0$ और $\operatorname{cosec} \alpha > 0$)।

(D) परवलय के नाभिलंब और शीर्ष पर स्पर्श रेखा के बीच की दूरी $a$ होती है,जहाँ $4a$ नाभिलंब की लंबाई है।
दिए गए समीकरण $x+y-8=0$ और $x+y-12=0$ हैं।
इन दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $a = \frac{|-8 - (-12)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a$ है।
लंबाई $= 4 \times (2 \sqrt{2}) = 8 \sqrt{2} \text{ इकाई}$।

(C) परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है।
चूंकि बिंदु $(1,1)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $1 = a(1)^2 + b(1) + c$,जिससे $a + b + c = 1$ ...$(1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(-1,0)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$,जिससे $a - b + c = 0$ ...$(2)$ प्राप्त होता है।
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,$2b = 1$,अतः $b = \frac{1}{2}$।
$b = \frac{1}{2}$ को $(1)$ में रखने पर,$a + c = \frac{1}{2}$ ...$(3)$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x,y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $2a(1) + b = 2a + b$ है।
रेखा $y=x$ की ढाल $1$ है,इसलिए $2a + b = 1$।
$b = \frac{1}{2}$ रखने पर,$2a + \frac{1}{2} = 1$,जिससे $2a = \frac{1}{2}$,अर्थात $a = \frac{1}{4}$।
$(3)$ से,$c = \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।
अतः,$a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।
इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=25$ और $b^{2}=9$ प्राप्त होता है,अतः $a=5$ और $b=3$ है।
लघु अक्ष के सिरे $B(0, 3)$ और $B^{\prime}(0, -3)$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभियाँ $S$ और $S^{\prime}$ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ हैं।
अतः,$S(4, 0)$ और $S^{\prime}(-4, 0)$ हैं।
समचतुर्भुज $SBS^{\prime}B^{\prime}$ के विकर्ण $SS^{\prime}$ और $BB^{\prime}$ हैं।
विकर्ण $SS^{\prime}$ की लंबाई $= 4 - (-4) = 8$ है।
विकर्ण $BB^{\prime}$ की लंबाई $= 3 - (-3) = 6$ है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) माना कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
स्पर्शरेखा और नियता के बीच का भाग नाभि पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करता है,जो दीर्घवृत्त का एक मानक गुण है।

(D) मान लीजिए दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(x_0, y_0)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_0}{2} + y y_0 = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $y=0$ और $x=0$ रखकर प्राप्त किए जाते हैं।
$y=0$ के लिए,$x = \frac{2}{x_0}$. $x=0$ के लिए,$y = \frac{1}{y_0}$.
मान लीजिए कटे हुए भाग का मध्य बिंदु $(h, k)$ है। तब $h = \frac{1}{x_0}$ और $k = \frac{1}{2 y_0}$.
इससे $x_0 = \frac{1}{h}$ और $y_0 = \frac{1}{2 k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_0, y_0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x_0^2}{2} + y_0^2 = 1$ पर स्थित है,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{(1/h)^2}{2} + (1/2k)^2 = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(D) माना चर वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि चर वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{h^{2}+k^{2}} = r + a \implies h^{2}+k^{2} = (r+a)^{2} \quad (1)$
चूंकि यह $x^{2}+y^{2}=4ax$ (जिसका केंद्र $(2a, 0)$ और त्रिज्या $2a$ है) को भी बाह्य रूप से स्पर्श करता है:
$\sqrt{(h-2a)^{2}+k^{2}} = r + 2a \implies (h-2a)^{2}+k^{2} = (r+2a)^{2} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ से $(1)$ को घटाने पर:
$(h-2a)^{2} - h^{2} = (r+2a)^{2} - (r+a)^{2}$
$-4ah + 4a^{2} = 2ar + 3a^{2}$
$r = \frac{a-4h}{2}$
$r$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$h^{2}+k^{2} = (\frac{3a-4h}{2})^{2}$
$12h^{2} - 4k^{2} - 24ah + 9a^{2} = 0$
अतः,बिंदु पथ $12x^{2}-4y^{2}-24ax+9a^{2}=0$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूंकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(x_1, -y_1)$ होंगे।
$\Delta OPQ$ समबाहु है और $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु $x$-अक्ष पर है,इसलिए $\angle POM = 30^{\circ}$ होगा।
$\Delta OMP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{y_1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिससे $x_1 = \sqrt{3} y_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{3y_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ होगा।
इससे $y_1^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} \right) = 1$ मिलता है। $y_1^2 > 0$ के लिए,$3b^2 > a^2$ अर्थात $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$ होना चाहिए।
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$,अर्थात $e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)$ है।
यह $\infty - \infty$ प्रकार का अनिर्धारित रूप है।
पदों को संयोजित करने पर,हमें $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)-\ln x}{(x-1) \ln x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{0}{0}$ के रूप में है। $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x \ln x + x - 1}{x}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x \ln x + x - 1}$।
पुनः $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\ln x + x \cdot \frac{1}{x} + 1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{\ln x + 1 + 1} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$।

(C) हमें $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ दिया गया है।
$x = 0$ के निकट $\sin x$ और $\cos x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{1}{3} x \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) - \left(1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6))\right)$
$f(x) = \frac{1}{3} x^2 - \frac{x^4}{18} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
$f(x) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) x^2 + (\frac{1}{24} - \frac{1}{18}) x^4 + O(x^6)$
$f(x) = -\frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{72} x^4 + O(x^6)$
अब,सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{72} x^4 + O(x^6)}{x^k}$ पर विचार करें।
यदि $k < 2$ है,तो सीमा $\pm \infty$ है।
यदि $k = 2$ है,तो सीमा $-\frac{1}{6} \neq 0$ है।
यदि $k > 2$ है,तो सीमा $0$ है।
अतः,सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k$ जिसके लिए सीमा शून्य नहीं है,वह $k = 2$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} (1+ax)^{1/x} = e^a$ होता है।
इसका उपयोग करते हुए,$\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+cx}{1-cx}\right)^{1/x} = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (1+cx)^{1/x}}{\lim _{x \rightarrow 0} (1-cx)^{1/x}} = \frac{e^c}{e^{-c}} = e^{2c}$ है।
दिया गया है कि $e^{2c} = 4$ है।
अब,हमें $\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+2cx}{1-2cx}\right)^{1/x} = \frac{\lim _{x \rightarrow 0} (1+2cx)^{1/x}}{\lim _{x \rightarrow 0} (1-2cx)^{1/x}} = \frac{e^{2c}}{e^{-2c}} = e^{4c}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $e^{2c} = 4$ है,इसलिए $e^{4c} = (e^{2c})^2 = 4^2 = 16$ होगा।

(B) चरण $1$. सर्वसमिका $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें:
$2\sin^2 x - a\sin x + 2a - 8 = 0$
चरण $2$. द्विघात सूत्र का उपयोग करके $\sin x$ के लिए हल करें:
$\sin x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16(a - 4)}}{4} = \frac{a \pm (a - 8)}{4}$
अतः,$\sin x = \frac{a - 4}{2}$ या $\sin x = 2$ (जो संभव नहीं है)।
चरण $3$. चूँकि $-1 \leq \sin x \leq 1$,इसलिए:
$-1 \leq \frac{a - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq a - 4 \leq 2$
$2 \leq a \leq 6$
अतः,$a \in [2, 6]$।

(C) एक फलन $f(x) = \sin(px) + \cos(qx)$ आवर्ती तभी होता है जब उसके दो घटकों के आवर्तकाल का अनुपात एक परिमेय संख्या हो।
$\sin x$ का आवर्तकाल $T_1 = 2\pi$ है।
$\cos(ax)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{|a|}$ है (जहाँ $a \neq 0$)।
योग के आवर्ती होने के लिए,अनुपात $\frac{T_1}{T_2}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{2\pi / |a|} = |a|$।
अतः,$|a|$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसलिए,$a$ एक परिमेय संख्या है।

(A) दिया गया है: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = n \log \left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1 - (y/b)^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2 - y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$ $\Rightarrow -\frac{b}{\sqrt{b^2 - y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2 - y^2}} = \frac{n}{x} \Rightarrow -x y_1 = n \sqrt{b^2 - y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2 - y^2)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2 (2 y_1 y_2) + 2x y_1^2 = n^2 (-2 y y_1)$.
$2 y_1$ से भाग देने पर (यह मानते हुए कि $y_1 \neq 0$):
$x^2 y_2 + x y_1 = -n^2 y \Rightarrow x^2 y_2 + x y_1 + n^2 y = 0$.

(B) दिया गया है $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 12$।
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 13x^{12} + 11x^{10} + 9x^{8} + 7x^{6} + 5x^{4} + 3x^{2} + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^{2n} \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,चूंकि $f(x)$ निरंतर और वर्धमान है,यह $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटेगा।
अतः,$f(x) = 0$ का ठीक एक वास्तविक मूल है।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त $E_1: x^{2} + 2y^{2} = a^{2}$ और $E_2: 2x^{2} + y^{2} = a^{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $x^{2} + 2(a^{2} - 2x^{2}) = a^{2} \implies 3x^{2} = a^{2} \implies x = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{a}{\sqrt{3}}$ पर,$y = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_{0}^{a/\sqrt{3}} (y_1 - y_2) dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन का मान $\frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $\int_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} \frac{dx}{1+x} = [\log(1+x)]_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} = \log(1+\frac{1}{k+\alpha}) - \log(1+\frac{1}{k+\beta})$ द्वारा प्राप्त होता है।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} (\log(\frac{k+\alpha+1}{k+\alpha}) - \log(\frac{k+\beta+1}{k+\beta}))$ प्राप्त होता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\log(\frac{2+\alpha}{1+\alpha}) - \log(\frac{2+\beta}{1+\beta})) + (\log(\frac{3+\alpha}{2+\alpha}) - \log(\frac{3+\beta}{2+\beta})) + \dots + (\log(\frac{n+\alpha+1}{n+\alpha}) - \log(\frac{n+\beta+1}{n+\beta}))$।
जैसे $n \rightarrow \infty$,पद $\log(\frac{n+\alpha+1}{n+\alpha}) \rightarrow \log(1) = 0$ और $\log(\frac{n+\beta+1}{n+\beta}) \rightarrow \log(1) = 0$ हो जाते हैं।
शेष पद $\log(\frac{1+\beta}{1+\alpha})$ हैं।

(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$a-a = 0$ है। चूँकि $0$ मान्य है,इसलिए सभी $a$ के लिए $a \rho a$ सत्य है। अतः,$\rho$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $a \rho b$ है,तो $a-b = 0$ या $a-b$ अपरिमेय है। यदि $a-b=0$,तो $b-a=0$ होगा। यदि $a-b$ अपरिमेय है,तो $b-a = -(a-b)$ भी अपरिमेय होगा। अतः,$b \rho a$ सत्य है। इस प्रकार,$\rho$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a = 2 + \sqrt{2}$,$b = 2$,और $c = \sqrt{2}$ है।
यहाँ $a-b = (2+\sqrt{2}) - 2 = \sqrt{2}$ (अपरिमेय),इसलिए $a \rho b$ है।
और $b-c = 2 - \sqrt{2}$ (अपरिमेय),इसलिए $b \rho c$ है।
हालाँकि,$a-c = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$ (परिमेय और अशून्य),इसलिए $a \rho c$ असत्य है।
अतः,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(B) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. सर्वनिष्ठ: यदि $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ तुल्यता संबंध हैं,तो $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ हमेशा स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है। अतः,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है।
$2$. सम्मिलन: सम्मिलन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ हमेशा स्वतुल्य और सममित होता है,लेकिन यह आवश्यक रूप से संक्रामक नहीं होता है। उदाहरण के लिए,मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $\rho_{1} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ और $\rho_{2} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ है। तो $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ में $(1,2)$ और $(2,3)$ शामिल हैं,लेकिन $(1,3)$ शामिल नहीं है,इसलिए यह संक्रामक नहीं है।
अतः,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है,लेकिन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ आवश्यक रूप से तुल्यता संबंध नहीं है।

(C) एक आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं होता है यदि और केवल यदि इसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 12 & 24 & 5 \\ x & 6 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 12(6 \times 3 - 2 \times (-2)) - 24(x \times 3 - 2 \times (-1)) + 5(x \times (-2) - 6 \times (-1))$
$|A| = 12(18 + 4) - 24(3x + 2) + 5(-2x + 6)$
$|A| = 12(22) - 72x - 48 - 10x + 30$
$|A| = 264 - 82x - 18$
$|A| = 246 - 82x$
$|A| = 0$ रखने पर:
$246 - 82x = 0$
$82x = 246$
$x = \frac{246}{82} = 3$
अतः,$x$ का मान $3$ है।

(A) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ होता है।
चूंकि $\det(A) = 1$ दिया गया है,समीकरण $\lambda^2 - (a+d)\lambda + 1 = 0$ हो जाता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल काल्पनिक होने के लिए,इसका विविक्तकर $D$ शून्य से कम $(D < 0)$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = [-(a+d)]^2 - 4(1)(1) = (a+d)^2 - 4$ है।
$D < 0$ रखने पर,हमें $(a+d)^2 - 4 < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(a+d)^2 < 4$।

(D) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं क्योंकि इसमें सबसे अधिक शून्य हैं:
$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3-t & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3-t & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3-t & 1 \\ -1 & 3-t \end{vmatrix}$
$\det(A) = 1 \cdot ((3-t)(1) - (0)(-1))$
$\det(A) = 3-t$
यह दिया गया है कि $\det(A) = 5$,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$3-t = 5$
$-t = 5 - 3$
$-t = 2$
$t = -2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c^{2}+a c \\ a^{2}+a b & b^{2} & c a \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_1$ से $a$,$C_2$ से $b$ और $C_3$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}a & c & c+a \\ a+b & b & a \\ b & b+c & c\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 - C_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 2b & b+c & c\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & c & c+a \\ 2b & b & a \\ 0 & c & c-a\end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = abc \cdot (-2b) \cdot \left|\begin{array}{cc}c & c+a \\ c & c-a\end{array}\right| = -2ab^2c \cdot (c^2 - ac - c^2 - ac) = -2ab^2c \cdot (-2ac) = 4a^2b^2c^2$.
$k a^2b^2c^2$ से तुलना करने पर,$k = 4$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1}}$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन करना आवश्यक है:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए: $\frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x+1} \geq 0$.
$2$. हर में $\sqrt{x}$ होने के कारण $x > 0$ होना आवश्यक है।
$3$. $\sqrt{x+1}$ के लिए $x+1 \geq 0$ अर्थात $x \geq -1$ होना चाहिए।
इन सभी शर्तों को मिलाने पर,हमें $x > 0$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका को हल करें: $\frac{1}{\sqrt{x}} \geq \sqrt{x+1}$.
चूँकि $x > 0$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{x} \geq x+1$.
$1 \geq x^2 + x \implies x^2 + x - 1 \leq 0$.
$x^2 + x - 1 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $x^2 + x - 1 \leq 0$ के लिए $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$.
इसे $x > 0$ के साथ प्रतिच्छेद करने पर,हमें $x \in \left(0, \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right]$ प्राप्त होता है।

(A) $f \circ g(x) = f(g(x)) = \sqrt{x - 3\sqrt{x} + 2}$ के लिए,प्रांत $S$ हेतु $x \ge 0$ और $x - 3\sqrt{x} + 2 \ge 0$ होना चाहिए।
$u = \sqrt{x}$ रखने पर,$(u-1)(u-2) \ge 0$ प्राप्त होता है,जिसका हल $u \le 1$ या $u \ge 2$ है।
अतः $S = [0, 1] \cup [4, \infty)$।
$g \circ f(x) = g(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ के लिए,प्रांत $T$ हेतु $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ होना चाहिए।
अतः $x \le 1$ या $x \ge 2$,यानी $T = (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$।
अब,$S \cap T = [0, 1] \cup [4, \infty)$।

(D) फलन $f: S \rightarrow R$ को $f(A) = \det(A)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $A \in S$ और $S$,$2 \times 2$ क्रम के सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है। एक आव्यूह व्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक शून्य न हो। अतः,$f$ का परिसर $R \setminus \{0\}$ है।
$1$. एकैकी के लिए जाँच: दो आव्यूह $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A_2 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ लें। दोनों $A_1, A_2 \in S$ हैं क्योंकि $\det(A_1) = 4 \neq 0$ और $\det(A_2) = 4 \neq 0$। यहाँ,$f(A_1) = 2(2) - 0(0) = 4$ और $f(A_2) = 4(1) - 0(0) = 4$। चूँकि $f(A_1) = f(A_2)$ है लेकिन $A_1 \neq A_2$,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक के लिए जाँच: सह-प्रांत $R$ है। किसी भी $y = 0 \in R$ के लिए,ऐसा कोई आव्यूह $A \in S$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(A) = 0$ हो,क्योंकि $S$ में केवल व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं (जहाँ $\det(A) \neq 0$)। अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) फलन $f(x) = x|x|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & -1 \leq x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
एकैकी होने के लिए: अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है (क्योंकि इसका अवकलज $f'(x) = 2|x| \geq 0$ है),इसलिए यह एकैकी है।
आच्छादक होने के लिए: $x \in [-1, 0)$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-1, 0]$ है और $x \in [0, 1]$ के लिए $[0, 1]$ है। इन दोनों को मिलाने पर,परिसर $[-1, 1]$ प्राप्त होता है,जो कि सह-प्रांत $A$ के बराबर है। अतः,फलन आच्छादक है।
चूंकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव है।

(A) दिया गया है $y = \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}$.
गुणांकों को हल करने पर हमें $A=4, B=-3, C=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 4(x+2)^{-1} - 3(x+1)^{-1} + (x+1)^{-2}$.
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:
$y' = -4(x+2)^{-2} + 3(x+1)^{-2} - 2(x+1)^{-3}$.
पुनः अवकलन करने पर:
$y'' = 8(x+2)^{-3} - 6(x+1)^{-3} + 6(x+1)^{-4}$.
$y'' = 2\left[\frac{4}{(x+2)^{3}} - \frac{3}{(x+1)^{3}} + \frac{3}{(x+1)^{4}}\right]$.
यह विकल्प $A$ के समान है।

(D) दिया गया वक्र $y^{2} = x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{2y}$।
बिंदु $(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $T_{1} = \frac{3(m^{2})^{2}}{2(m^{3})} = \frac{3m^{4}}{2m^{3}} = \frac{3m}{2}$ है।
$(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - m^{3} = \frac{3m}{2}(x - m^{2})$ है,जिसे सरल करने पर $3mx - 2y - m^{3} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(M^{2}, M^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{3M}{2}$ है। अतः,अभिलंब की ढाल $N_{2} = -\frac{2}{3M}$ होगी।
$(M^{2}, M^{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - M^{3} = -\frac{2}{3M}(x - M^{2})$ है,जिसे सरल करने पर $2x + 3My - (3M^{4} + 2M^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा और अभिलंब समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{3m}{2} = \frac{-2}{3M} \Rightarrow 9mM = -4 \Rightarrow mM = -\frac{4}{9}$।

(B) दिया गया वक्र $y = b e^{-\frac{x}{a}}$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = b e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) = -\frac{y}{a}$.
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{y_0}{a}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_0 = -\frac{y_0}{a}(x - x_0)$ है।
$y_0$ से विभाजित करने पर: $\frac{y}{y_0} - 1 = -\frac{x}{a} + \frac{x_0}{a}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{a} + \frac{y}{y_0} = 1 + \frac{x_0}{a}$.
इसे $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y_0 = b$ और $1 + \frac{x_0}{a} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x_0 = 0$.
$x_0 = 0$ पर,$y_0 = b e^0 = b$. अतः,स्पर्श बिंदु $(0, b)$ है।
चूंकि वक्र $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटता है,इसलिए $y$-अक्ष पर स्पर्शरेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।

(A) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
माना $y' = \frac{dy}{dx}$। स्पर्श रेखा $Y - y = y'(X - x)$ है।
बिंदु $A$ ($X$-अक्ष) के लिए,$Y = 0$ रखें: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$। अतः,$A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$।
बिंदु $B$ ($Y$-अक्ष) के लिए,$X = 0$ रखें: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$। अतः,$B = (0, y - xy')$।
दिया है $AP:BP = 3:1$। बिंदु $P(x, y)$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए जो $AB$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$।
चूंकि यह $(1, 1)$ से गुजरता है,$1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$। वक्र $xy^3 = 1$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करें: यदि $x = 1/8$ है,तो $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$। अतः,वक्र $(1/8, 2)$ से गुजरता है।
विकल्प $D$ की जाँच करें: $(1, 1)$ पर,$y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$। अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{y'} = 3$।
अभिलंब का समीकरण: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$। विकल्प $D$ गलत है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^{2} - 3x + 2$ है।
हमें $dy$ का मान ज्ञात करना है जब $x$,$2$ से $1.99$ में परिवर्तित होता है।
यहाँ,$x = 2$ और $\Delta x = 1.99 - 2 = -0.01$ है।
फलन का अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{2} - 3x + 2) = 4x - 3$ है।
$x = 2$ पर,$f'(2) = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$ प्राप्त होता है।
अवकलज $dy$ का सूत्र $dy = f'(x) \Delta x$ है।
मान रखने पर,$dy = f'(2) \times (-0.01) = 5 \times (-0.01) = -0.05$।
अतः,$y$ का अवकलज $-0.05$ है।

(A) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(1-x)$.
एकदिष्टता निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x)$.
चूंकि $f^{\prime \prime}(x) < 0$,फलन $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
यदि $x < \frac{1}{2}$ है,तो $x < 1-x$ होता है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) > f^{\prime}(1-x)$ क्योंकि $f^{\prime}$ ह्रासमान है।
अतः,$x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) > 0$,इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ में वर्धमान है।
यदि $x > \frac{1}{2}$ है,तो $x > 1-x$ होता है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x) < f^{\prime}(1-x)$ क्योंकि $f^{\prime}$ ह्रासमान है।
अतः,$x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(1-x) < 0$,इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ में ह्रासमान है।

(B) माना $f(x) = \cos x + x \sin x - 1$.
$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = -\sin x + (1 \cdot \sin x + x \cos x) = x \cos x$.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$x > 0$ और $\cos x > 0$ दोनों हैं।
इसलिए,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f'(x) = x \cos x > 0$ है।
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,किसी भी $x > 0$ के लिए,$f(x) > f(0)$ होगा।
$f(0)$ की गणना करें:
$f(0) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.
अतः,$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f(x) > 0$ है।
$\cos x + x \sin x - 1 > 0$
$\cos x + x \sin x > 1$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = 1 - \sqrt{x^2}$ है।
चूंकि $\sqrt{x^2} = |x|$,फलन को $f(x) = 1 - |x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 1 - |0| = 1$ होता है।
किसी भी $x \neq 0$ के लिए,$|x| > 0$ होता है,इसलिए $f(x) = 1 - |x| < 1$ होता है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) \leq f(0)$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अतः,$f$ का $x = 0$ पर अधिकतम मान (maxima) है।

(A) दिया गया फलन $f(x)=2x^{3}-9ax^{2}+12a^{2}x+1$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 6x^{2}-18ax+12a^{2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x)=0$ रखें:
$6(x^{2}-3ax+2a^{2})=0 \Rightarrow 6(x-a)(x-2a)=0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=a$ और $x=2a$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 12x-18a$.
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$x=a$ के लिए: $f''(a) = 12a-18a = -6a$. चूँकि $a>0$,इसलिए $f''(a) < 0$,अतः $f(x)$ का $p=a$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x=2a$ के लिए: $f''(2a) = 12(2a)-18a = 6a$. चूँकि $a>0$,इसलिए $f''(2a) > 0$,अतः $f(x)$ का $q=2a$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
शर्त $p^{2}=q$ दी गई है,मान रखने पर:
$a^{2} = 2a$.
चूँकि $a>0$,$a$ से विभाजित करने पर:
$a = 2$.

(A) दिया गया है कि $f(0) = f(1) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
हमें यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(0) = 0$ है।
अब,अंतराल $[0, c]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c]$ पर सतत है और $(0, c)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही,$f^{\prime}(0) = 0$ और $f^{\prime}(c) = 0$ है।
अंतराल $[0, c]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोल का प्रमेय लागू करने पर,$(0, c)$ में कम से कम एक बिंदु $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $(f^{\prime})^{\prime}(c_1) = f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ हो।
अतः,किसी $c_1 \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ होगा।

(C) माना $u = f(x) \varphi(x)$ है। तब,गुणन नियम (product rule) के अनुसार,$du = (f(x) \varphi^{\prime}(x) + \varphi(x) f^{\prime}(x)) dx$ है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{du}{(u+1) \sqrt{u-1}}$।
अब,माना $u-1 = p^2$,जिसका अर्थ है $u = p^2 + 1$ और $du = 2p dp$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2p dp}{(p^2 + 1 + 1) \sqrt{p^2}} = \int \frac{2p dp}{(p^2 + 2) p} = \int \frac{2 dp}{p^2 + 2}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{p}{\sqrt{2}}) + c = \sqrt{2} \tan^{-1}(\frac{p}{\sqrt{2}}) + c$।
$p = \sqrt{u-1} = \sqrt{f(x) \varphi(x) - 1}$ वापस रखने पर:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1} \sqrt{\frac{f(x) \varphi(x) - 1}{2}} + c$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
अब,इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}} = \frac{a}{y}$।
समाकलन $\int_{0}^{a} \frac{a}{y} dx$ हो जाता है।
चूंकि $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$,इसलिए समाकलन $\int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ है।
इसका मान ज्ञात करने पर,हमें प्राप्त होता है $a \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} = a \left( \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \right) = a \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi a}{2}$।

(D) माना $I = \sum_{n=1}^{10} \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$.
प्रथम समाकलन पद पर विचार करें: $J_n = \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx$.
माना $x = -t$,तो $dx = -dt$. जब $x = -2n-1$,तब $t = 2n+1$. जब $x = -2n$,तब $t = 2n$.
अतः,$J_n = \int_{2n+1}^{2n} \sin^{27}(-t) (-dt) = \int_{2n}^{2n+1} -\sin^{27} t \, dt = -\int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} t \, dt$.
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sum_{n=1}^{10} (-\int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx) + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$.
$I = -\sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx = 0$.

(B) $\int_{0}^{2} [x^{2}] dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंतराल $[0, 2]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^{2}$ एक पूर्णांक है: $x^{2} = 1, 2, 3, 4$।
इससे हमें $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ बिंदु प्राप्त होते हैं।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{0}^{1} [x^{2}] dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^{2}] dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} [x^{2}] dx$
$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx$
$= 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + 3[x]_{\sqrt{3}}^{2}$
$= (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$
$= 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

(C) दिया गया व्यंजक अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $f(x)$ के निश्चित समाकलन के लिए रीमान योग (Riemann sum) है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{j=0}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{j}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$
यहाँ,हम $\frac{j}{n} = x$ और $\frac{1}{n} = dx$ प्रतिस्थापित करते हैं।
निम्न सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{0}{n} = 0$ है।
ऊपरी सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n} = 1$ है।
अतः,सीमा का मान $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के बराबर है।

(C) दिया गया क्षेत्र असमिकाओं $x^{2}+y^{2} \leq 1$ और $x+y \geq 1$ द्वारा परिभाषित है।
असमिका $x^{2}+y^{2} \leq 1$ केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाती है।
असमिका $x+y \geq 1$ रेखा $x+y=1$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ और रेखा $x+y=1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
क्षेत्र का क्षेत्रफल वृत्त के चाप और $(1, 0)$ तथा $(0, 1)$ को जोड़ने वाली जीवा द्वारा परिबद्ध वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल है।
यह क्षेत्रफल वृत्तीय सेक्टर (प्रथम चतुर्थांश के चाप के संगत) के क्षेत्रफल में से मूल बिंदु $(0, 0)$,$(1, 0)$ और $(0, 1)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
प्रथम चतुर्थांश में वृत्तीय सेक्टर का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \pi \times (1)^{2} = \frac{\pi}{4}$।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$।

(B) परवलयों $x = -2y^{2}$ और $x = 1 - 3y^{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
अतः,वक्र $y = -1$ और $y = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
क्षेत्रफल $A$ दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
चूंकि फलन $(1 - y^{2})$ एक सम फलन है,हम समाकलन को सरल बना सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$A = 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया समीकरण: $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = e^{x}(A \cos x + B \sin x) + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
$y' = y + e^{x}(-A \sin x + B \cos x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = y' + [e^{x}(-A \sin x + B \cos x) + e^{x}(-A \cos x - B \sin x)]$
प्रथम अवकलज से,हम जानते हैं कि $e^{x}(-A \sin x + B \cos x) = y' - y$।
इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' = y' + (y' - y) - e^{x}(A \cos x + B \sin x)$
चूंकि $y = e^{x}(A \cos x + B \sin x)$,इसलिए:
$y'' = 2y' - y - y$
$y'' - 2y' + 2y = 0$
अतः,अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$ है।

(B) दिया गया है $y = \frac{1}{1 + x + \ln x}$.
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{y} = 1 + x + \ln x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}(x + 1)}{x}$.
अब विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $x \frac{dy}{dx} = y(y \ln x - 1)$.
यहाँ $y \ln x - 1 = y \ln x - y(1 + x + \ln x) = y(\ln x - 1 - x - \ln x) = -y(1 + x)$.
इसलिए,$y(y \ln x - 1) = -y^{2}(1 + x)$.
अतः,$x \frac{dy}{dx} = -y^{2}(1 + x)$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) \frac{dy}{dx} = y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x \sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = vx \sin(v) - x$.
$x$ से भाग देने पर: $\sin(v) (v + x \frac{dv}{dx}) = v \sin(v) - 1$.
$v \sin(v) + x \sin(v) \frac{dv}{dx} = v \sin(v) - 1$.
$x \sin(v) \frac{dv}{dx} = -1$.
चरों को पृथक करने पर: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$-\cos(v) = -\log|x| + C$.
चूंकि $y(1) = \frac{\pi}{2}$,$x = 1$ पर $v = \frac{y}{x} = \frac{\pi/2}{1} = \frac{\pi}{2}$.
$-\cos(\frac{\pi}{2}) = -\log(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$-\cos(v) = -\log x$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\frac{y}{x}) = \log x$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$.
मान लीजिए $u = f(x)$,तो $du = f^{\prime}(x) dx$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u$ हो जाता है।
अतः,$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + C$.
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
$C = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + 1$.
$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर:
$y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = e^{-f(x)} + f(x)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $ZOX$ समतल में इकाई सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + z \hat{k}$ है।
चूंकि यह एक इकाई सदिश है,$|\vec{r}|^2 = x^2 + z^2 = 1$ होगा।
दिया है $\vec{\alpha} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{\alpha}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
$\vec{r}$ और $\vec{\alpha}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{\alpha} = |\vec{r}| |\vec{\alpha}| \cos 45^{\circ}$ होगा।
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$।
दिया है $\vec{\beta} = \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{\beta}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
$\vec{r}$ और $\vec{\beta}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{\beta} = |\vec{r}| |\vec{\beta}| \cos 60^{\circ}$ होगा।
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow -z = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
$z$ का मान $2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$ में रखने पर,$2x - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\vec{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$
तीसरे स्तंभ को अलग करने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \\ b & b^{2} & b^{3} \\ c & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| = 0$
दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| = 0$
$(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1\end{array}\right| = 0$
चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ असमतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है। सारणिक $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$ का मान शून्य नहीं है।
अतः,$1+abc = 0$,जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

(A) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है। बिंदु $(2, -1, -3)$ रखने पर,हमें $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल $(3, 2, -4)$ और $(2, -3, 2)$ दिशा अनुपात वाली रेखाओं के समानांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ इन दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$3a + 2b - 4c = 0$ और $2a - 3b + 2c = 0$।
अभिलंब सदिश ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर,$(a, b, c) = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - 12) - j(6 + 8) + k(-9 - 4) = -8i - 14j - 13k$।
अभिलंब सदिश $(8, 14, 13)$ लेने पर,समतल का समीकरण $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,जो सरल होकर $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। $\sin \theta$ का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\sin \theta = \frac{|3|}{(5\sqrt{2})(3)} = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{20}$ है।
माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। तब $xy = \frac{1}{20}$,जिससे $y = \frac{1}{20x}$ प्राप्त होता है।
दोनों में से किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1-x)(1-y) = \frac{3}{5}$ है।
समीकरण में $y = \frac{1}{20x}$ रखने पर:
$(1-x)(1-\frac{1}{20x}) = \frac{3}{5}$
$1 - \frac{1}{20x} - x + \frac{1}{20} = \frac{3}{5}$
$\frac{21}{20} - x - \frac{1}{20x} = \frac{3}{5}$
$20x$ से गुणा करने पर:
$21x - 20x^2 - 1 = 12x$
$20x^2 - 9x + 1 = 0$
$(4x-1)(5x-1) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{5}$ है।
इसलिए,$P(A) = \frac{1}{4}$ या $P(A) = \frac{1}{5}$ है।

(D) मान लीजिए $E$ पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। सफलता की प्रायिकता $p = P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$A$ तब जीतता है यदि $A$ को $1^{st}$,$5^{th}$,$9^{th}$,... बारी में सम संख्या मिलती है।
$P(A \text{ wins}) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = p = \frac{1}{2}$ और सार्व अनुपात $r = q^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{1/2}{1 - 1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) मान लीजिए कि फायर किए गए राउंड की संख्या $n$ है।
एक प्रयास में लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = 10 \% = 0.1$ है।
एक प्रयास में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 0.9$ है।
$n$ प्रयासों में कम से कम एक बार लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n$ द्वारा दी जाती है।
हम चाहते हैं कि यह प्रायिकता $50 \%$ से अधिक हो,इसलिए:
$1 - (0.9)^n > 0.5$
$(0.9)^n < 0.5$
अब,हम $n$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
$n = 6$ के लिए,$(0.9)^6 = 0.531441 > 0.5$ है।
$n = 7$ के लिए,$(0.9)^7 = 0.4782969 < 0.5$ है।
अतः,आवश्यक राउंड की न्यूनतम संख्या $n = 7$ है।