अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y}{x log_{e} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ

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$2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ और $Q = \frac{1}{x}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।माना $u = \log_{e} x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. अतः,$\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.इसलिए,$IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है।$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.माना $v = \log_{e} x$,तो $dv = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ हो जाता है।अतः,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.जब $x = e$ है तब $y = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.$C$ का मान रखने पर,$y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.दोनों पक्षों को $\log_{e} x$ से भाग देने या $2$ से गुणा करने पर,$2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$,जो सरल होकर $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ का हल,जब $x = e$ पर $y = 1$ की शर्त दी गई हो,क्या है?

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यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,तो $y\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(2y - x) \frac{dy}{dx} = 1$ का हल ज्ञात कीजिए।

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ का हल है

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