मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. तो:

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $f^{\prime}$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(2)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(3)$ $f$,$(-\infty, 0)$ पर वर्धमान है
$(4)$ $f^{\prime}$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A$. यदि $y = |x| + |x - 2|$ है,तो $x = 2$ पर,$\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. यदि $f(x) = |\cos 2x|$ है,तो $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. यदि $f(x) = \sin(\pi[x])$ है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. यदि $f(x) = \log|x - 1|$,$x \neq 1$ है,तो $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. अस्तित्व में नहीं है

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ दो वास्तविक-मान वाले फलन हैं जो $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $k_{1}$ और $k_{2}$ वास्तविक स्थिरांक हैं। यदि $(g \circ f)$,$x=0$ पर अवकलनीय है,तो $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ और $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$ है,तो $f(4)-g(4)$ का मान $...........$ के बराबर है।

मान लीजिए $C$ वक्र $y = x^3$ है (जहाँ $x$ सभी वास्तविक मान लेता है)। $A(t, t^3)$ पर स्पर्श रेखा वक्र को पुनः $B(T, T^3)$ पर मिलती है। यदि $B$ पर प्रवणता (gradient),$A$ पर प्रवणता की $K$ गुना है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।