अवकल समीकरण y frac{dy}{dx} = x left[ frac{y^2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.$y$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy

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$\phi\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=c x^{2}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$.$y$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x \phi(y^2/x^2)}{y \phi'(y^2/x^2)}$ प्राप्त होता है।माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{x \phi(v^2)}{vx \phi'(v^2)} = v + \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{v \phi'(v^2)}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v \phi'(v^2)}{\phi(v^2)} dv = \int \frac{dx}{x}$.माना $u = v^2$,तब $du = 2v dv$,अर्थात $v dv = \frac{1}{2} du$.समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{\phi'(u)}{\phi(u)} du = \ln|x| + C_1$.$\frac{1}{2} \ln|\phi(u)| = \ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln|\phi(v^2)| = 2 \ln|x| + 2C_1 = \ln|x^2| + \ln|c|$.अतः,$\phi(v^2) = c x^2$.$v^2 = y^2/x^2$ रखने पर,$\phi(y^2/x^2) = c x^2$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक स्थिरांक है):

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