मान लीजिए M = int_{0}^{pi / 2} frac{cos x}{x+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया है,$M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$। सर्वसमिका $\sin x \cos

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{\pi+4}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है,$M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$। सर्वसमिका $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ का उपयोग करने पर,$N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$। मान लीजिए $2x = t$,तो $dx = \frac{dt}{2}$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=\pi/2$। $N = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(t/2 + 1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(\frac{t+2}{2})^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$। अब,$M - N = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{x+2} - \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} \right) dx$। $\int \frac{\cos x}{x+2} dx$ पर खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = \frac{1}{x+2}$ और $dv = \cos x dx$ लेने पर,$du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ और $v = \sin x$ प्राप्त होता है। $M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$। अतः,$M - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$।

मान लीजिए $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ है। तो,$(M - N)$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तो $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{3}{25} \int_0^{25 \pi} \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|} \, dx =$

मान लीजिए $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,और $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. तब,

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module