मान लीजिए t_{n} अनंत श्रेणी frac{1}{1 !} + fr | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $n^{th}$ पद का अंश $a_{n} = 1, 10, 21, 34, 49, \ldots$ है। यह एक द्विघात अनुक्रम है। प्रथम अंतर $9, 11, 13, 15, \ldots$ है,जो एक समांतर

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(B) मान लीजिए $n^{th}$ पद का अंश $a_{n} = 1, 10, 21, 34, 49, \ldots$ है। यह एक द्विघात अनुक्रम है। प्रथम अंतर $9, 11, 13, 15, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। सामान्य पद $a_{n} = An^{2} + Bn + C$ द्वारा दिया जाता है। $n=1$ के लिए,$a_{1} = A + B + C = 1$. $n=2$ के लिए,$a_{2} = 4A + 2B + C = 10$. $n=3$ के लिए,$a_{3} = 9A + 3B + C = 21$. इन समीकरणों को हल करने पर: $(a_{2}-a_{1}) = 3A + B = 9$ और $(a_{3}-a_{2}) = 5A + B = 11$. घटाने पर $2A = 2 \Rightarrow A = 1$ प्राप्त होता है। तब $3(1) + B = 9 \Rightarrow B = 6$. तब $1 + 6 + C = 1 \Rightarrow C = -6$. अतः,$a_{n} = n^{2} + 6n - 6$. श्रेणी का $n^{th}$ पद $t_{n} = \frac{n^{2} + 6n - 6}{n!}$ है। जैसे $n \rightarrow \infty$,फैक्टोरियल $n!$ बहुपद $n^{2} + 6n - 6$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। इसलिए,$\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2} + 6n - 6}{n!} = 0$.

मान लीजिए $t_{n}$ अनंत श्रेणी $\frac{1}{1 !} + \frac{10}{2 !} + \frac{21}{3 !} + \frac{34}{4 !} + \frac{49}{5 !} + \ldots$ के $n^{th}$ पद को दर्शाता है। तो $\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}$ क्या है?

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