WBJEE 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ = $\log_{3} 5 \times \log_{25} 27 \times \log_{49} 7$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 27}{\log 25} \times \frac{\log 7}{\log 49}$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{3 \log 3}{2 \log 5} \times \frac{\log 7}{2 \log 7}$
$= \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
છેદ = $\log_{81} 3 = \log_{3^4} 3 = \frac{1}{4} \log_{3} 3 = \frac{1}{4}$
કિંમત = $\frac{3/4}{1/4} = 3$

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ છે જ્યાં $c$ કર્ણ છે,તેથી $a^2 + b^2 = c^2$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b)$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(a^2) = \log((c+b)(c-b)) = \log(c+b) + \log(c-b)$.
હવે,આપેલ પદ $E = \frac{\log_{c+b} a + \log_{c-b} a}{2 \log_{c+b} a \cdot \log_{c-b} a}$ છે.
આધાર બદલવાના નિયમ $\log_x y = \frac{\log y}{\log x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\frac{\log a}{\log(c+b)} + \frac{\log a}{\log(c-b)}}{2 \cdot \frac{\log a}{\log(c+b)} \cdot \frac{\log a}{\log(c-b)}}$.
અંશનું સાદું રૂપ: $\frac{\log a (\log(c-b) + \log(c+b))}{\log(c+b) \log(c-b)}$.
છેદનું સાદું રૂપ: $\frac{2 (\log a)^2}{\log(c+b) \log(c-b)}$.
આમ,$E = \frac{\log a \cdot \log(a^2)}{2 (\log a)^2} = \frac{\log a \cdot 2 \log a}{2 (\log a)^2} = 1$.

(D) સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ હોય.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
તે જ રીતે,$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
નવા બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જે મૂળ બીજ સમાન છે.
તેથી,માંગેલ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$,અને $c = -22$ છે.
$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-22) = 12 + 88 = 100$.
$D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને અસમાન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 10}{2} = \sqrt{3} \pm 5$.
$\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,બીજ $\sqrt{3} + 5$ અને $\sqrt{3} - 5$ અસંમેય છે.
તેથી,બીજ વાસ્તવિક,અસંમેય અને અસમાન છે.

(A) ત્રિકોણ $PQR$ માં,$P + Q + R = \pi$ છે. $\angle R = \pi / 2$ હોવાથી,$P + Q = \pi / 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan(P/2)$ અને $\tan(Q/2)$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\tan(P/2) + \tan(Q/2) = -b/a$
બીજનો ગુણાકાર: $\tan(P/2) \tan(Q/2) = c/a$
નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b}{a - c} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+15|x|+14=0$ છે.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $|x|^2+15|x|+14=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2+15t+14=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $(t+1)(t+14)=0$ મળે છે.
આનાથી $t = -1$ અથવા $t = -14$ મળે છે.
જોકે,આપણે $t = |x|$ વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે,જે અ-ઋણ $(t \ge 0)$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $-1$ અને $-14$ બંને $0$ કરતા નાના છે,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ,સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ છે કે $z = \frac{4}{1-i}$.
$\bar{z}$ શોધવા માટે,આપણે પદનો અનુબદ્ધ લઈએ:
$\bar{z} = \overline{\left(\frac{4}{1-i}\right)} = \frac{\bar{4}}{\overline{1-i}}$.
વાસ્તવિક સંખ્યા $4$ નો અનુબદ્ધ $4$ છે અને $(1-i)$ નો અનુબદ્ધ $(1+i)$ છે,
તેથી $\bar{z} = \frac{4}{1+i}$.

(A) ધારો કે $\arg (z) = \theta$,જ્યાં $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$ છે.
$\bar{z}$ એ $z$ નું વાસ્તવિક અક્ષ પરનું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$\arg (\bar{z}) = -\arg (z) = -\theta$ થાય.
અહીં $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} < -\theta < \pi$ મળે.
હવે,$-\bar{z} = -1 \cdot \bar{z} = e^{i\pi} \cdot \bar{z}$ થાય.
તેથી,$\arg (-\bar{z}) = \arg (e^{i\pi}) + \arg (\bar{z}) = \pi + (-\theta) = \pi - \theta$ મળે.
આપણે $\arg (\bar{z}) - \arg (-\bar{z}) = -\theta - (\pi - \theta) = -\theta - \pi + \theta = -\pi$ ની ગણતરી કરવાની છે.
મુખ્ય કિંમત માટે,આપણે $- \pi + 2\pi = \pi$ મેળવી શકીએ છીએ.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $t_n = \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
આપણે તેને $t_n = \frac{(2n+1) - 1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$n=1$ થી $\infty$ સુધીનો સરવાળો લેતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right) = \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots \right)$ મળે છે.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ ના વિસ્તરણ મુજબ,$x = -1$ માટે,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ થાય.
આમ,સરવાળો $e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ છે.
તેથી,કિંમત $e^{-1}$ છે.

(D) $COMBINE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $C, O, M, B, I, N, E$.
સ્વરો $O, I, E$ છે ($3$ સ્વરો).
વ્યંજનો $C, M, B, N$ છે ($4$ વ્યંજનો).
કુલ $7$ સ્થાનો છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે ($4$ એકી સ્થાનો).
આપણે $4$ એકી સ્થાનોમાં $3$ સ્વરો ગોઠવવાના છે,જે $^4P_3$ રીતે કરી શકાય.
$^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતો.
બાકીના $4$ અક્ષરો (વ્યંજનો) બાકીના $4$ સ્થાનોમાં $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= ^4P_3 \times 4! = 24 \times 24 = 576$.

(D) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે $S = \frac{4}{5}$ અને $a = \frac{3}{4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{\frac{3}{4}}{1-r}$.
બંને બાજુ $(1-r)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $\frac{4}{5}(1-r) = \frac{3}{4}$.
$1-r = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$.
$r = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $G.M. = \sqrt{ab} = 10$,તેથી $ab = 100$.
આપેલ છે કે $H.M. = \frac{2ab}{a+b} = 8$.
$H.M.$ ના સમીકરણમાં $ab = 100$ મૂકતા:
$\frac{2(100)}{a+b} = 8$ $\Rightarrow \frac{200}{a+b} = 8$ $\Rightarrow a+b = \frac{200}{8} = 25$.
હવે આપણી પાસે $a+b = 25$ અને $ab = 100$ છે.
$a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ છે.
$x^2 - 25x + 100 = 0$.
$(x-20)(x-5) = 0$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $5$ અને $20$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{x^n+y^n} = \sqrt{xy}$.
આથી $x^{n+1} + y^{n+1} = (xy)^{1/2} (x^n + y^n)$.
$x^{n+1} + y^{n+1} = x^{n+1/2} y^{1/2} + x^{1/2} y^{n+1/2}$.
પદોને ગોઠવતા,$x^{n+1} - x^{n+1/2} y^{1/2} = x^{1/2} y^{n+1/2} - y^{n+1}$.
$x^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2}) = y^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2})$.
જો $x \neq y$ હોય,તો બંને બાજુ $(x^{1/2} - y^{1/2})$ વડે ભાગતા:
$x^{n+1/2} = y^{n+1/2}$.
$(x/y)^{n+1/2} = 1$.
$(x/y)^0 = 1$ હોવાથી,$n + 1/2 = 0$.
તેથી,$n = -1/2$.

(A) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_{n} = (2n-1)^{3}$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_{n} = 8n^{3} - 12n^{2} + 6n - 1$ મળે છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} (8k^{3} - 12k^{2} + 6k - 1)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^{2} - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_{n} = 2n^{2}(n+1)^{2} - 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - n$.
$S_{n} = 2n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} - 4n^{3} - 6n^{2} - 2n + 3n^{2} + 2n$.
$S_{n} = 2n^{4} - n^{2} = n^{2}(2n^{2}-1)$.

(B) $(a-2b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $t_{r+1} = {}^{n}C_{r} (a)^{n-r} (-2b)^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $5$ મા અને $6$ મા પદનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી $t_5 + t_6 = 0$.
આથી ${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (-2b)^4 + {}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-2b)^5 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (16b^4) = -{}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-32b^5)$.
બંને બાજુ ${}^{n}C_4 (a)^{n-5} (b^4)$ વડે ભાગતા,$a = -\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} (-2b)$.
સૂત્ર ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} = \frac{n-4}{5}$.
આમ,$a = -\frac{n-4}{5} (-2b) = \frac{2(n-4)}{5} b$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{2(n-4)}{5}$.

(C) આપણી પાસે $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ છે.
કારણ કે $8 = (1 + 7)$,આપણે $8^n = (1 + 7)^n$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 7)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(7) + {^nC_2}(7^2) + \dots + {^nC_n}(7^n)$.
કારણ કે ${^nC_0} = 1$,આપણને મળે $8^n = 1 + 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$8^n - 1 = 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$.
આ પદ તમામ $n \in N$ માટે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n-1}C_r + {}^{n-1}C_{r-1} = {}^{n}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n-1}C_3 + {}^{n-1}C_4 = {}^{n}C_4$.
આપેલ અસમતા:
${}^{n}C_4 > {}^{n}C_3$.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$.
ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$.
$n-3 > 0$ હોવાથી:
$n-3 > 4$,જે દર્શાવે છે કે $n > 7$.
આમ,$n$ એ $7$ કરતા સહેજ મોટો છે.

(B) $(1+x)^{59}$ ના વિસ્તરણમાં $59+1 = 60$ પદો છે.
ધારો કે સહગુણકો $C_0, C_1, C_2, \dots, C_{59}$ છે.
બધા સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{59} C_r = (1+1)^{59} = 2^{59}$ છે.
કારણ કે $C_r = C_{59-r}$,પ્રથમ $30$ સહગુણકોનો સરવાળો એ છેલ્લા $30$ સહગુણકોના સરવાળા જેટલો જ થાય.
ધારો કે $S$ એ છેલ્લા $30$ સહગુણકોનો સરવાળો છે.
તેથી $2S = \sum_{r=0}^{59} C_r = 2^{59}$.
આમ,$S = \frac{2^{59}}{2} = 2^{58}$.

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(1-x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.
પગલું $1$: $x = 1$ મૂકતા:
$(1 - 1 + 1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$
$1 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
પગલું $2$: $x = -1$ મૂકતા:
$(1 - (-1) + (-1)^2)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$
$3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{\cos A}{3} = \frac{1}{5} \implies \cos A = \frac{3}{5}$.
અહીં $-\frac{\pi}{2} < A < 0$ હોવાથી,$A$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $\sin A$ ઋણ થશે.
$\sin A = -\sqrt{1 - \cos^2 A} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$.
તે જ રીતે,$\frac{\cos B}{4} = \frac{1}{5} \implies \cos B = \frac{4}{5}$.
અહીં $-\frac{\pi}{2} < B < 0$ હોવાથી,$B$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $\sin B$ ઋણ થશે.
$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$.
હવે,$2 \sin A + 4 \sin B = 2(-\frac{4}{5}) + 4(-\frac{3}{5}) = -\frac{8}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{20}{5} = -4$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot 54^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 54^{\circ}) = \tan 36^{\circ}$.
$\cot 70^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \tan 20^{\circ}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan 36^{\circ}}{\tan 36^{\circ}} + \frac{\tan 20^{\circ}}{\tan 20^{\circ}} = 1 + 1 = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$.
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cot x - \tan x = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2 \cot 2x$.
તેથી,$\frac{\cot x - \tan x}{\cot 2x} = \frac{2 \cot 2x}{\cot 2x} = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 55^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 55^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}$ મળે છે.
$\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ} = 2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 2 \cos 45^{\circ}$ બને છે.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,કિંમત $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$ અને $y = \sin x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x \in [-2\pi, 2\pi]$ માટે $\sin x = \frac{1}{2}$ ઉકેલીએ.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$ પર મળે છે.
અંતરાલ $[-2\pi, 0]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$ અને $x = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ,ઉકેલો $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}\}$ છે.
આમ,કુલ $4$ છેદબિંદુઓ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = n \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{4}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2 n \pi \pm \alpha$ છે:
$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
આમ,$\theta = \frac{n \pi}{4}$ અથવા $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(B) ધારો કે રેખા $3x + y - 9 = 0$ એ $A(1, 3)$ અને $B(2, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{7k+3}{k+1})$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $3x + y = 9$ પર હોવાથી:
$3(\frac{2k+1}{k+1}) + (\frac{7k+3}{k+1}) = 9$
$6k + 3 + 7k + 3 = 9(k + 1)$
$13k + 6 = 9k + 9$
$4k = 3$
$k = \frac{3}{4}$.
$k > 0$ હોવાથી,વિભાજન $3: 4$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$,$y = -\sqrt{3}x$ અને $y = 1$ છે.
આ રેખાઓ $y = \tan(60^{\circ})x$,$y = \tan(120^{\circ})x$ અને $y = 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
રેખાઓ $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
રેખા $y = 1$ એ $y = \sqrt{3}x$ ને $(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ પર અને $y = -\sqrt{3}x$ ને $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ પર છેદે છે.
રેખા $y = 1$ પરના પાયાની લંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
બાકીની બે બાજુઓની લંબાઈ $\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ રેખા $x+y=0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$1 = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1 \implies m+1 = 1-m \implies 2m = 0 \implies m = 0$.
$(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $0$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = 0(x-1) \implies y-1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1 \implies m+1 = -1+m \implies 1 = -1$,જે અશક્ય છે (આનો અર્થ એ છે કે રેખા શિરોલંબ છે).
$(1,1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x=1$ અથવા $x-1=0$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $x-1=0$ અને $y-1=0$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(3q, 0)$,$B(0, 3p)$ અને $C(1, 1)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$AC$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 0}{1 - 3q} = \frac{1}{1 - 3q}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3p - 1}{0 - 1} = 1 - 3p$.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{1}{1 - 3q} = 1 - 3p$.
$1 = (1 - 3p)(1 - 3q)$.
$1 = 1 - 3q - 3p + 9pq$.
$3p + 3q = 9pq$.
બંને બાજુ $3pq$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 3$ મળે.

(C) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
રેખા $x = 0$ થી $P$ નું અંતર $|x|$ છે અને રેખા $y = 0$ થી $P$ નું અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ દર્શાવે છે.
ચોરસ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક પ્રકાર છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાં ચોરસનો ઉલ્લેખ નથી. જો પ્રશ્નમાં અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો અચળ હોય તેમ આપેલું હોત,તો તે વર્તુળ થાત. પરંતુ $|x| + |y| = 1$ માટે બિંદુપથ ચોરસ જ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$L_1: \sqrt{3} x - y = 4 \sqrt{3} \alpha$ $(1)$
$L_2: \alpha(\sqrt{3} x + y) = 4 \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} x + y = \frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\sqrt{3} x - y)(\sqrt{3} x + y) = (4 \sqrt{3} \alpha) \times \left(\frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}\right)$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{48}{16}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,તે $2$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતું અતિવલય છે.

(A) વર્તુળ $S: x^2+y^2-6x-8y=0$ અને રેખા $L: x+y-1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2+y^2-6x-8y + \lambda(x+y-1) = 0$
$x^2+y^2 + (\lambda-6)x + (\lambda-8)y - \lambda = 0$.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,આ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x+y-1=0$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda-6}{2}, -\frac{\lambda-8}{2})$ છે.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{\lambda-6}{2} - \frac{\lambda-8}{2} - 1 = 0$
$-(\lambda-6) - (\lambda-8) - 2 = 0$
$-2\lambda + 12 = 0 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-2y-6=0$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,તેના પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(at^2, 2at)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના બે અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{2at_2 - 2at_1}{at_2^2 - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ થાય.
આ જીવા નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = \frac{2at_1 - 0}{at_1^2 - a} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$ પણ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$.
$t_1^2 - 1 = t_1(t_1 + t_2) = t_1^2 + t_1 t_2$.
$-1 = t_1 t_2$.
તેથી,$t_1 t_2 = -1$.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $T(-ae, 0)$ છે.
$B(0, b)$ એ ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ છે.
$\triangle STB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB = ST = TB$ થાય.
$ST = ae - (-ae) = 2ae$.
$SB = \sqrt{(ae-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2}e^{2} + b^{2}}$.
$SB = ST$ હોવાથી,$SB^{2} = ST^{2}$ થાય.
$a^{2}e^{2} + b^{2} = (2ae)^{2} = 4a^{2}e^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2}(1-e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2}$.
$4e^{2} = 1$.
$e^{2} = \frac{1}{4}$.
$e = \frac{1}{2}$ (કારણ કે ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$).

(D) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin |x|}{x}$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ.
$x < 0$ માટે,$|x| = -x$,તેથી $\lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin(-x)}{x} = \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
$x > 0$ માટે,$|x| = x$,તેથી $\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $(-1)$ એ જમણી બાજુના લક્ષ $(1)$ જેટલું નથી,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x f(5)-5 f(x)}{x-5}$.
અહીં લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{\frac{d}{dx}(x f(5)-5 f(x))}{\frac{d}{dx}(x-5)}$
$L = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{f(5)-5 f'(x)}{1}$
$x=5$ મૂકતા:
$L = f(5)-5 f'(5)$
આપેલ છે કે $f(5)=7$ અને $f'(5)=7$:
$L = 7 - 5(7) = 7 - 35 = -28$.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x + \cos x - 1}{x^2}$.
નિત્યસમ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x + \cos x - 1}{x^2} = \operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - \cos^2 x}{x^2}$.
$\cos x$ સામાન્ય લેતા:
$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x(1 - \cos x)}{x^2} = \operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \cos x \cdot \operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \cos x = 1$ અને $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) $1^{\infty}$ સ્વરૂપ માટે આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow a} g(x)[f(x)-1]}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$f(x) = \frac{1+5x^2}{1+3x^2}$ અને $g(x) = \frac{1}{x^2}$ છે.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $f(x) \rightarrow 1$ અને $g(x) \rightarrow \infty$ થાય છે.
તેથી,લક્ષ $e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{1+5x^2}{1+3x^2} - 1 \right)}$ થશે.
$= e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{1+5x^2 - (1+3x^2)}{1+3x^2} \right)}$.
$= e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{2x^2}{1+3x^2} \right)}$.
$= e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{2}{1+3x^2}}$.
$= e^{\frac{2}{1+0}} = e^2$.

(B) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A+C$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$A+C = 2B$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = B$.
આમ,$\frac{a+c}{b} = \frac{2 \sin B \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sin B} = 2 \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $A+C = \pi - B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$\frac{A+C-B}{2} = \frac{\pi-B-B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ મળે.
તેથી,$2ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$.
નિત્યસમ $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2ac \cos B$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા,$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$ મળે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f) = (1, -2)$ છે.
વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અભિલંબ એ કેન્દ્ર $C(1, -2)$ અને આપેલ બિંદુ $A(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
$(1, -2)$ અને $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{1 - (-2)}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$ છે.
બિંદુ $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m=3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 1) = 3(x - 2)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$y - 1 = 3x - 6$,એટલે કે $y = 3x - 5$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસા પર બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $A$ માટેના શક્ય પરિણામો $18$ છે.
ધારો કે $B$ એ સરવાળો $8$ મળવાની ઘટના છે. $B$ માટેના શક્ય પરિણામો $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ છે,એટલે કે $|B| = 5$.
છેદગણ $A \cap B$ માં એવા પરિણામો છે જ્યાં પ્રથમ પાસો બેકી હોય અને સરવાળો $8$ હોય,જે $(2,6), (4,4), (6,2)$ છે. તેથી,$|A \cap B| = 3$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} - \frac{3}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(C) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 = 0.9$.
આપણે $P(A') + P(B')$ શોધવાનું છે.
$P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$ હોવાથી,
$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
કિંમત મૂકતા,$P(A') + P(B') = 2 - 0.9 = 1.1$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(1 - \cos x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{1 - \cos x}{2})}{x^4}$
$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ થશે:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^4}$
લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,નાની $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \theta$ લેતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin^2(\frac{x}{2}))^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^4}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{x^4}{16}}{x^4} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(A) ગુણાકાર $AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ ની હારનો શ્રેણિક $B$ ના સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 5) & (2 \times -1 + 1 \times 2 + 3 \times 0) \\ (4 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 5) & (4 \times -1 + 1 \times 2 + 0 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 + 0 + 15) & (-2 + 2 + 0) \\ (4 + 0 + 0) & (-4 + 2 + 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 17 & 0 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (1)(-1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}x+\omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & \omega^2 & 1+x \\ 1 & x+\omega & \omega^2\end{array}\right|=0$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
$C_1 = \begin{bmatrix} x + \omega^2 + \omega + 1 \\ \omega + \omega^2 + 1 + x \\ 1 + x + \omega + \omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ x \\ x \end{bmatrix}$.
આમ,નિશ્ચાયક $x \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & 1 \\ 1 & \omega^2 & 1+x \\ 1 & x+\omega & \omega^2 \end{array}\right| = 0$ થાય છે.
આ સૂચવે છે કે $x = 0$ એ એક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ પદ $\tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2-1}{\cos 2}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\sin 2 = 2\sin 1 \cos 1$,$1 = \sin^2 1 + \cos^2 1$,અને $\cos 2 = \cos^2 1 - \sin^2 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin 2 - 1}{\cos 2} = \frac{2\sin 1 \cos 1 - (\sin^2 1 + \cos^2 1)}{\cos^2 1 - \sin^2 1} = \frac{-(\cos 1 - \sin 1)^2}{(\cos 1 - \sin 1)(\cos 1 + \sin 1)}$.
અહીં $\cos 1 > \sin 1$ હોવાથી $(1 \text{ રેડિયન} \approx 57.3^\circ)$,આ પદ $\frac{-(\cos 1 - \sin 1)}{\cos 1 + \sin 1} = \frac{\sin 1 - \cos 1}{\cos 1 + \sin 1}$ માં પરિણમે છે.
અંશ અને છેદને $\cos 1$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\tan 1 - 1}{1 + \tan 1} = \tan(1 - \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
તેથી,$\tan ^{-1}(\tan(1 - \frac{\pi}{4})) = 1 - \frac{\pi}{4}$.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\cos^{-1}\left(\frac{1-|x|}{2}\right)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ અને $\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\cos^{-1}\left(\frac{1-|x|}{2}\right) \geq 0$ હોવું જરૂરી છે. $\cos^{-1}(u)$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,આ શરત $u \in [-1, 1]$ માટે હંમેશા સાચી છે.
હવે,$-1 \leq \frac{1-|x|}{2} \leq 1$ ઉકેલીએ.
$2$ વડે ગુણતા: $-2 \leq 1 - |x| \leq 2$.
$1$ બાદ કરતા: $-3 \leq -|x| \leq 1$.
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતા બદલાશે): $-1 \leq |x| \leq 3$.
$|x|$ હંમેશા અઋણ હોવાથી,$|x| \leq 3$ નો અર્થ છે $-3 \leq x \leq 3$.
આમ,પ્રદેશ $x \in [-3, 3]$ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ તપાસીએ.
ધારો કે $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$.
તો $g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$.
$\sqrt{1 + x^2} + x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે $g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$.
આમ,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
હવે,$f(x) = \sec(g(x))$.
કારણ કે $\sec(- \theta) = \sec(\theta)$,તેથી $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$.
તેથી,$f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = 5 - x^2$ અને $g(x) = 3x - 4$ છે.
$(f \circ g)(-1)$ શોધવા માટે,આપણે વિધેયોના સંયોજનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
સૌ પ્રથમ,$g(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$g(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7$.
હવે,આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકો:
$(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)$.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-7) = 5 - (-7)^2 = 5 - 49 = -44$.
આમ,$(f \circ g)(-1)$ ની કિંમત $-44$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x + 2$ જ્યાં $x \in \{1, 2, 3, 4\}$.
વિધેયની કિંમતો ગણતા:
$f(1) = 1 + 2 = 3$
$f(2) = 2 + 2 = 4$
$f(3) = 3 + 2 = 5$
$f(4) = 4 + 2 = 6$
ગણ $A$ ના દરેક ઘટક માટે ગણ $B$ માં અલગ પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય એક-એક છે.
અહીં વિસ્તાર $\{3, 4, 5, 6\}$ એ સહ-પ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ને સમાન નથી,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,વિધેય એક-એક છે.

(C) આપેલ છે,$y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \ldots (1+x^{2^{n}})$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \ldots + \log(1+x^{2^{n}})$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}} \right]$.
$x=0$ આગળ,$y = (1+0)(1+0) \ldots (1+0) = 1$.
વિકલિતના પદમાં $x=0$ મૂકતા:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1 \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \ldots + 0 \right] = 1 \times 1 = 1$.

(B) આપેલ વક્ર $y = x^2 - 3x + 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ મેળવવા માટે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$.
આપેલ રેખા $y = x$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
સ્પર્શક રેખા $y = x$ ને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ શરતનું પાલન કરશે.
તેથી,$1 \times (2x - 3) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $2x - 3 = -1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = 2$,તેથી $x = 1$.
$y$-યામ શોધવા માટે $x = 1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
આમ,બિંદુ $(1, 0)$ છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $xy = 4$ છે,જેને $y = \frac{4}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રનો સ્પર્શક હોવાથી,વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$-\frac{4}{x^2} = -\frac{a}{b} \implies \frac{a}{b} = \frac{4}{x^2}$.
બધા $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી,$\frac{a}{b} > 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,$a < 0$ અને $b < 0$ ની શરત $\frac{a}{b} > 0$ નું પાલન કરે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = f \times \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \times \frac{f}{v} = -\frac{f}{v^3}$.
$f$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $f = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = At^2 + Bt + C$.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનો ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{dx}{dt} = 2At + B$.
હવે,$v^2$ ની ગણતરી કરો: $v^2 = (2At + B)^2 = 4A^2t^2 + 4ABt + B^2$.
આગળ,$4Ax$ ની ગણતરી કરો: $4Ax = 4A(At^2 + Bt + C) = 4A^2t^2 + 4ABt + 4AC$.
હવે,$4Ax$ માંથી $v^2$ બાદ કરો: $4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $4Ax - v^2 = 4AC - B^2$.

(B) વિધેય $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 40$ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 40) = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.
હવે,વિકલનના અવયવો પાડીએ:
$f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)$.
વિધેય ત્યારે જ ઘટતું વિધેય કહેવાય જ્યારે $f'(x) < 0$ હોય.
આપણે વેવી કર્વ (wavy curve) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને $f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2)$ ની નિશાની તપાસીએ:
- $x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
- $0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$.
- $1 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
- $x > 2$ માટે,$f'(x) > 0$.
આમ,વિધેય $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$ માટે ઘટતું વિધેય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો અંતરાલ $1 < x < 2$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot \frac{d}{dx}(x^4 - x^3 + x^2)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot (4x^3 - 3x^2 + 2x)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot x(4x^2 - 3x + 2)$.
દ્વિઘાત પદ $4x^2 - 3x + 2$ માટે,વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23 < 0$ છે.
અહીં સહગુણક $4 > 0$ અને $D < 0$ હોવાથી,$4x^2 - 3x + 2$ હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,$f'(x)$ ની નિશાની માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે.
$x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું વિધેય છે.
આમ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ આગળ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = e^{(0^4 - 0^3 + 0^2)} = e^0 = 1$ થાય.

(A) સ્થાનાંતર $x = t^4 - k t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$.
વેગ ન્યૂનતમ હોવાની શરત શોધવા માટે,આપણે પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ શોધીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 6kt$.
$t = 2$ પર વેગ ન્યૂનતમ હોવા માટે,સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન $t = 2$ પર શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\frac{dv}{dt} \big|_{t=2} = 12(2)^2 - 6k(2) = 0$.
$12(4) - 12k = 0$.
$48 - 12k = 0$.
$12k = 48$.
$k = 4$.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(B) ઢાળ મહત્તમ હોય તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $f'(x)$ ને મહત્તમ બનાવવું પડશે. ધારો કે $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$.
$g(x)$ મહત્તમ હોય તે માટે,આપણે $g'(x) = f''(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$.
$f''(x) = 0$ લેતા $2e^x \cos x = 0$ મળે છે. $e^x \neq 0$ હોવાથી,$\cos x = 0$ થાય.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = 0$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{3\pi}{2}$ પર થાય છે.
આપણે $g(x)$ નું દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ,જે $g'(x) = f''(x) = 2e^x \cos x$ છે.
$g''(x) = f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2e^{\pi/2}(0 - 1) = -2e^{\pi/2} < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \frac{3\pi}{2}$ પર,$g''(\frac{3\pi}{2}) = 2e^{3\pi/2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi/2} > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
તેથી,ઢાળ $x = \frac{\pi}{2}$ પર મહત્તમ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ માટે $[a, b]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$3$. $f(a) = f(b)$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $f(x)=|x|$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $(-2, 2)$ માં આવે છે. તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(B)$ $f(x)=\tan x$ એ $x=\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત નથી,જે $[0, \pi]$ માં આવે છે. તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(C)$ $f(x)=1+(x-2)^{\frac{2}{3}}$ એ $x=2$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $(1, 3)$ માં આવે છે કારણ કે $f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}$. તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(D)$ $f(x)=x(x-2)^2$ એ બહુપદી વિધેય છે,તેથી તે $[0, 2]$ પર સતત છે અને $(0, 2)$ પર વિકલનીય છે. વળી,$f(0) = 0(0-2)^2 = 0$ અને $f(2) = 2(2-2)^2 = 0$. અહીં $f(0) = f(2)$ હોવાથી,બધી શરતો સંતોષાય છે. તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos x = 2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sqrt{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx = \int \sqrt{2} \left| \cos \left(\frac{x}{2}\right) \right| \, dx$.
ધારો કે $\cos \left(\frac{x}{2}\right) > 0$,તો આપણને મળે:
$\sqrt{2} \int \cos \left(\frac{x}{2}\right) \, dx$.
$x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{1/2} + C = 2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} d x$.
$z = \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x$ લો.
તેથી,$dz = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x} = 2 dz$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{z}{3} (2 dz) = \frac{2}{3} \int z dz$.
$z$ નું $z$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = \frac{2}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + C = \frac{1}{3} z^2 + C$.
$z = \log \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} (\log \sqrt{x})^2 + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(e^x + e^{-x})^2}$.
અંશ અને છેદને $e^{2x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^{2x} dx}{(e^x \cdot e^x + e^{-x} \cdot e^x)^2} = \int \frac{e^{2x} dx}{(e^{2x} + 1)^2}$.
ધારો કે $u = e^{2x} + 1$. તેથી $du = 2e^{2x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{du/2}{u^2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{1}{2u} + C$.
$u = e^{2x} + 1$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2(e^{2x} + 1)} + C = -\frac{1}{2}(e^{2x} + 1)^{-1} + C$.

(C) આપણે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
આપેલ સંકલન: $I = \int e^{x} \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}\right) dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{2}{x}$.
તો,$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^{-1}) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
તેથી,$I = e^{x} \left(\frac{2}{x}\right) + C = \frac{2 e^{x}}{x} + C$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{d}{dx}\{f(x)\} = g(x)$.
ધારો કે $I = \int_a^b f(x) g(x) dx$.
સંકલનમાં $g(x) dx = df(x)$ મૂકતા:
$I = \int_{f(a)}^{f(b)} f(x) df(x)$.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ $\int u du = \frac{u^2}{2} + C$ વાપરતા:
$I = \left[ \frac{\{f(x)\}^2}{2} \right]_a^b$.
$I = \frac{1}{2} \left[ f^2(b) - f^2(a) \right]$.

(C) સંકલન $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ (જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય).
અહીં $n = 5$ છે,તેથી:
$I = \frac{(5-1) \times (5-3)}{5 \times 3 \times 1} = \frac{4 \times 2}{5 \times 3 \times 1} = \frac{8}{15}$.
વૈકલ્પિક રીતે,આદેશની રીત દ્વારા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \sin^4 x \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x \, dx$. જ્યારે $x = 0, u = 1$; જ્યારે $x = \pi / 2, u = 0$.
$I = -\int_1^0 (1 - u^2)^2 \, du = \int_0^1 (1 - 2u^2 + u^4) \, du$.
$I = [u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$ છે.
$|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$.
અંતરાલ $[0, \pi / 2]$ માં,$\sin x \geq 0$ હોવાથી,$|\sin x| = \sin x$ થાય.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi / 2}$.
$I = 2 [-\cos(\pi / 2) - (-\cos(0))]$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$.

(C) ધારો કે $g(x) = f(\cos^2 x)$.
કારણ કે $\cos^2(x + \pi) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$,વિધેય $g(x)$ એ $\pi$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
નિયત સંકલનના આવર્તી વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{n T} g(x) dx = n \int_0^T g(x) dx$,જ્યાં $T$ એ આવર્તમાન છે.
અહીં,$T = \pi$ અને $n = 3$ છે.
તેથી,$I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx = 3 \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$.
જેથી $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ હોવાથી,આપણને $I_1 = 3 I_2$ મળે છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ આપેલ છે.
કારણ કે $1 < \pi / 2 < 2$,તેથી $x \in (0, 1)$ માટે,$x^2 < x^{\pi / 2} < x^1$ થાય.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1+x^2 < 1+x^{\pi / 2} < 1+x$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા અસમતા બદલાય છે: $\frac{1}{1+x^2} > \frac{1}{1+x^{\pi / 2}} > \frac{1}{1+x}$.
$0$ થી $1$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$[\tan^{-1}(x)]_{0}^{1} > I > [\log_{e}(1+x)]_{0}^{1}$.
$\frac{\pi}{4} > I > \log_{e}(2)$.
આમ,સાચો સંબંધ $\log_{e} 2 < I < \pi / 4$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = x$ (જમણી તરફ ખુલતો પરવલય) અને $y = |x|$ ($V$-આકારનો આલેખ) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y^2 = x$ અને $y = |x|$ ને સરખાવીએ.
$y = |x|$ હોવાથી,$y^2 = x^2$ થાય.
$y^2 = x$ ને $x^2 = y^2$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(x - 1) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ પર છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,વક્ર $y = \sqrt{x}$ એ રેખા $y = x$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) $y=3x-5$,$x$-અક્ષ $(y=0)$,અને રેખાઓ $x=3$ તથા $x=5$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{3}^{5} (3x-5) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{3x^2}{2} - 5x \right]_{3}^{5}$
ઉપરની સીમા $x=5$ મૂકતા:
$\left( \frac{3(5)^2}{2} - 5(5) \right) = \left( \frac{75}{2} - 25 \right) = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$
નીચેની સીમા $x=3$ મૂકતા:
$\left( \frac{3(3)^2}{2} - 5(3) \right) = \left( \frac{27}{2} - 15 \right) = \frac{27-30}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$
અંતિમ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા:
$A = 12.5 - (-1.5) = 12.5 + 1.5 = 14 \text{ ચોરસ એકમ}$

(D) આપેલ પરવલયો $y=4x^2 \implies x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ અને $y=\frac{x^2}{9} \implies x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
પ્રથમ ચરણમાં,પ્રદેશ $y=0$ થી $y=2$ સુધી $x = 3\sqrt{y}$ અને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{2} (3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{2} (\frac{6\sqrt{y} - \sqrt{y}}{2}) dy = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy$.
$A = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy = 5 [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{2}$.
$A = 5 \times \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0)$.
$A = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{2!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{1}{3!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \dots$ છે.
આ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^{\frac{dy}{dx}}$ નું વિસ્તરણ છે.
તેથી,સમીકરણને $x = e^{\frac{dy}{dx}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(x) = \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
આમ,વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \ln(x)$ છે.
આ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,જેની કક્ષા $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ $e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x} \frac{dy}{dx} - y e^{-x} = 2x e^{-x}$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = 2x e^{-x}$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y e^{-x} = \int 2x e^{-x} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int 2x e^{-x} dx = 2x(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
તેથી,$y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
$e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y = -2x - 2 + C e^x$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વક્ર માટે,$0 = 0 - 2 + C(1) \Rightarrow C = 2$.
આમ,$y = 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \, dy - y \, dx = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x \, dy = y \, dx$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C$ મળે છે.
આના પરિણામે $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$ મળે છે,જ્યાં $\ln|c|$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\ln|y| = \ln|cx|$,જેનો અર્થ છે કે $y = cx$.
સમીકરણ $y = cx$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $100 \frac{d^2 y}{dx^2}-20 \frac{dy}{dx}+y=0$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે સહાયક સમીકરણ $100 m^2 - 20 m + 1 = 0$ લખીએ છીએ.
આને $(10 m - 1)^2 = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને પુનરાવર્તિત બીજ $m = \frac{1}{10}$ મળે છે.
પુનરાવર્તિત બીજ $m$ ધરાવતા દ્વિતીય ક્રમના સુરેખ વિકલ સમીકરણ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $y = (c_1 + c_2 x) e^{mx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = \frac{1}{10}$ મૂકતા,આપણને $y = (c_1 + c_2 x) e^{\frac{x}{10}}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y'' - 3y' + 2y = 0$ છે.
લાક્ષણિક સમીકરણ $m^2 - 3m + 2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(m - 1)(m - 2) = 0$ મળે,તેથી બીજ $m = 1$ અને $m = 2$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y(x) = Ae^x + Be^{2x}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$ મળે.
પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરતા:
$x = 0$ પર,$y(0) = A + B = 1$.
$x = 0$ પર,$y'(0) = A + 2B = 0$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા,$B = -1$ મળે.
$B = -1$ ને $A + B = 1$ માં મૂકતા,$A = 2$ મળે.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y(x) = 2e^x - e^{2x}$ છે.
હવે,$x = \log_{e} 2$ પર $y$ ની કિંમત શોધતા:
$y(\log_{e} 2) = 2e^{\log_{e} 2} - e^{2\log_{e} 2} = 2(2) - (e^{\log_{e} 2})^2 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$.