WBJEE 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
दिया गया है कि $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण सतह पर इसके मान का $1 \%$ है,इसलिए $g' = \frac{1}{100} g$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{g}{100} = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$
$\frac{1}{100} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{10} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-1}$
$1 + \frac{h}{R} = 10$
$\frac{h}{R} = 9$
$h = 9 R$।
अतः,ऊँचाई $9 R$ है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$,इसलिए $U_i = -\frac{GMm}{R}$।
सतह से $h = nR$ ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r = R + nR = R(1+n)$ होगी।
अतः,$U_f = -\frac{GMm}{R(1+n)}$।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R(1+n)} - (-\frac{GMm}{R})$ है।
$\Delta U = \frac{GMm}{R} \left(1 - \frac{1}{1+n}\right) = \frac{GMm}{R} \left(\frac{1+n-1}{1+n}\right) = \frac{GMm}{R} \left(\frac{n}{1+n}\right)$।
चूँकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$।
यह मान रखने पर,$\Delta U = \frac{gR^2 m}{R} \left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right) mgR$।

(B) एक आदर्श गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना $T_1 = 120 \,K$ पर चाल $v_1 = v$ है और $T_2 = 480 \,K$ पर चाल $v_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{480}{120}}$।
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$v_2 = 2v$।

(C) लड़का स्थिर गति से खंभे पर चढ़ रहा है, जिसका अर्थ है कि उसका त्वरण $0$ है। इसलिए, उस पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाला कुल बल $0$ है。
लड़के पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल उसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और घर्षण बल $(f)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है。
संतुलन के लिए, $f = mg$ होना चाहिए。
दिया गया है कि घर्षण बल $f = \mu N$, जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल (लड़के द्वारा खंभे पर लगाया गया क्षैतिज बल) है。
अतः, $\mu N = mg$.
दिए गए मानों को रखने पर: $0.8 \times N = 40 \,kg \times 10 \,m/s^2$.
$0.8 \times N = 400 \,N$.
$N = \frac{400}{0.8} = 500 \,N$.
इस प्रकार, लड़के द्वारा लगाया गया क्षैतिज बल $500 \,N$ है。

(B) चरण $1$: निकाय का सामान्य त्वरण ज्ञात कीजिए।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2 \,kg + 1 \,kg = 3 \,kg$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 3 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = Ma$:
$a = \frac{F}{M} = \frac{3 \,N}{3 \,kg} = 1 \,m/s^2$.
चरण $2$: ब्लॉकों के बीच संपर्क बल ज्ञात कीजिए।
$1 \,kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल $2 \,kg$ के ब्लॉक द्वारा लगाया गया संपर्क बल $N_1$ है।
$1 \,kg$ के ब्लॉक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$N_1 = m_2 \times a = 1 \,kg \times 1 \,m/s^2 = 1 \,N$.
अतः, दोनों ब्लॉकों के बीच संपर्क बल $1 \,N$ है।

(B) स्प्रिंग का बल नियतांक $k$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{l}$।
जब $L$ लंबाई और $k$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = \frac{L}{n}$ हो जाती है।
चूंकि $k' l' = k L$,इसलिए $k' = k \frac{L}{l'} = k \frac{L}{L/n} = n k$ होता है।
इस प्रश्न में,स्प्रिंग को $n = 3$ बराबर भागों में काटा गया है।
अतः,प्रत्येक भाग का बल नियतांक $k' = 3 k$ होगा।

(C) जब कोई वस्तु किसी द्रव में तैरती है, तो वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। माना वस्तु का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $d$ है।
स्थिति $1$: पानी में तैरना (घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$)
डूबा हुआ आयतन $V_{in} = V - 0.4V = 0.6V$.
वस्तु का भार = विस्थापित पानी का भार
$V \cdot d \cdot g = (0.6V) \cdot \rho_w \cdot g$
$d = 0.6 \cdot 1 = 0.6 \text{ g/cm}^3$.
स्थिति $2$: तेल में तैरना (घनत्व $\rho_{oil}$)
डूबा हुआ आयतन $V_{in} = V - 0.6V = 0.4V$.
वस्तु का भार = विस्थापित तेल का भार
$V \cdot d \cdot g = (0.4V) \cdot \rho_{oil} \cdot g$
$0.6 = 0.4 \cdot \rho_{oil}$
$\rho_{oil} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.
अतः, तेल का आपेक्षिक घनत्व $1.5$ है।

(A) मान लीजिए कि केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा संदर्भ है। दो द्रवों के बीच का इंटरफेस ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर है।
चूंकि नली एक ऊर्ध्वाधर तल में है,इसलिए सबसे निचले बिंदु पर दबाव दोनों तरफ से समान होना चाहिए।
मान लीजिए कि बाईं ओर के द्रव का घनत्व $\delta$ है और दाईं ओर के द्रव का घनत्व $\rho$ है।
सबसे निचले बिंदु से $\delta$ घनत्व वाले द्रव स्तंभ के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h_1 = R(1 - \cos \theta)$ है।
सबसे निचले बिंदु से $\rho$ घनत्व वाले द्रव स्तंभ के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h_2 = R(1 - \cos \theta)$ है।
संतुलन के लिए,नली के सबसे निचले बिंदु पर दबाव दोनों तरफ से समान होना चाहिए।
एक गोलाकार नली में द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव उसके द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर गहराई के समानुपाती होता है।
संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:
$\delta g R(\cos \theta + \sin \theta) = \rho g R(\cos \theta - \sin \theta)$
दोनों पक्षों को $gR$ से विभाजित करने पर:
$\delta(\cos \theta + \sin \theta) = \rho(\cos \theta - \sin \theta)$
$\delta \cos \theta + \delta \sin \theta = \rho \cos \theta - \rho \sin \theta$
$\sin \theta(\rho + \delta) = \cos \theta(\rho - \delta)$
$\tan \theta = \frac{\rho - \delta}{\rho + \delta}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\rho - \delta}{\rho + \delta}\right)$

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का श्यान द्रव में सीमांत वेग $v_t = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ गोले का घनत्व है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
चूंकि गोले एक ही धातु के हैं,$\rho$ स्थिर है,इसलिए $v_t \propto r^2$.
गोले का द्रव्यमान $M = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ है,जिसका अर्थ है $M \propto r^3$,या $r \propto M^{1/3}$.
इसे सीमांत वेग के समानुपात में रखने पर,हमें $v_t \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ प्राप्त होता है।
दिए गए द्रव्यमान $M_1 = M$ और $M_2 = 8M$ के लिए,उनके सीमांत वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$ है।
मान रखने पर,$\frac{v}{nv} = \left(\frac{M}{8M}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,$\frac{1}{n} = \frac{1}{4}$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और क्षैतिज घटक $u \cos \beta$ रहता है।
अतः,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m (u \cos \beta)^2 = K \cos^2 \beta$ होगी।
दिया गया है कि $K' = \frac{3}{4} K$,इसलिए $K \cos^2 \beta = \frac{3}{4} K$।
इसे सरल करने पर $\cos^2 \beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\beta = 30^{\circ}$।

(B) गेंद की गति एक क्षैतिज प्रक्षेप्य गति है।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए, प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \text{ m/s}$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $H = 19.6 \text{ m}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ है।
गति के समीकरण $H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$19.6 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{19.6}{4.9} = 4$
$t = \sqrt{4} = 2 \text{ s}$.
अतः, गेंद को जमीन तक पहुँचने में $2 \text{ s}$ का समय लगेगा।

(C) सरल आवर्त गति में एक कण की कुल ऊर्जा $E$ का मान $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होता है।
विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की आधी है,इसलिए $U = \frac{E}{2}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \right)$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $x^2 = \frac{A^2}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि कण को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर $x$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है।
ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग $x$ तक खिंचती है,जो ऊपर की ओर $F_1 = kx$ का प्रत्यानयन बल प्रदान करती है।
दो झुकी हुई स्प्रिंगें ऊर्ध्वाधर के साथ $135^\circ$ के कोण पर हैं। जब कण $x$ नीचे जाता है,तो प्रत्येक झुकी हुई स्प्रिंग की लंबाई में परिवर्तन $\Delta l = x \cos(135^\circ - 90^\circ) = x \cos(45^\circ) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ होता है।
प्रत्येक झुकी हुई स्प्रिंग के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रत्यानयन बल का घटक $F_2 = k \Delta l \cos(45^\circ) = k (\frac{x}{\sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{kx}{2}$ है।
कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = F_1 + 2 F_2 = kx + 2(\frac{kx}{2}) = kx + kx = 2kx$ है।
अतः,तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq} = 2k$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ है।

(A) बर्फ को $-20^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक गर्म करने की प्रक्रिया में कई चरण शामिल हैं:
$1$. बर्फ को $-20^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक गर्म करना: तापमान आपूर्ति की गई ऊष्मा के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. $0^{\circ} C$ पर बर्फ का पानी में पिघलना: तापमान स्थिर रहता है (अवस्था परिवर्तन)।
$3$. पानी को $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक गर्म करना: तापमान आपूर्ति की गई ऊष्मा के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$4$. $100^{\circ} C$ पर पानी का भाप में बदलना: तापमान स्थिर रहता है (अवस्था परिवर्तन)।
इसलिए,तापमान-ऊष्मा ग्राफ में दो रैखिक वृद्धि और दो क्षैतिज स्थिर-तापमान खंड होने चाहिए। विकल्प $A$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता के संगत तरंग दैर्ध्य $(\lambda_m)$ और कृष्णिका के परम ताप $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है।
सूत्र: $\lambda_m T = b$
दिए गए मान:
$\lambda_m = 480 \, nm = 480 \times 10^{-9} \, m$
$b = 2.88 \times 10^{-3} \, mK$
गणना:
$T = \frac{b}{\lambda_m}$
$T = \frac{2.88 \times 10^{-3}}{480 \times 10^{-9}}$
$T = \frac{2.88}{480} \times 10^6$
$T = 0.006 \times 10^6 = 6000 \, K$
अतः, सूर्य की सतह का तापमान $6000 \, K$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर एक कृष्णिका द्वारा $T_0$ तापमान वाले वातावरण में ऊष्मा हानि की दर $E \propto (T^4 - T_0^4)$ होती है।
दिए गए तापमान $T_1 = 327^{\circ} C = 600 \ K$,$T_2 = 427^{\circ} C = 700 \ K$ और $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ हैं।
ऊष्मा हानि की दरों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(700)^4 - (300)^4}$.
$(100)^4$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{6^4 - 3^4}{7^4 - 3^4} = \frac{1296 - 81}{2401 - 81}$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{1215}{2320}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{243}{464}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 4 \sin(4 \pi t - 0.04 x + \pi / 3)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \pi \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.04 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $(v)$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होता है: $v = \frac{\omega}{k}$.
मान रखने पर: $v = \frac{4 \pi}{0.04} = \frac{400 \pi}{4} = 100 \pi \ m/s$.

(C) दिया गया तरंग समीकरण $x = x_0 \sin 2 \pi (nt - x/\lambda)$ है।
इसे मानक रूप $x = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = x_0$,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$,और तरंग संख्या $k = 2 \pi / \lambda$ प्राप्त होता है।
अधिकतम कण वेग $V_p$ का मान $V_p = A \omega = x_0 (2 \pi n) = 2 \pi n x_0$ होता है।
तरंग वेग $V_w$ का मान $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$V_p = 4 V_w$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi n x_0 = 4 (n \lambda)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर,$2 \pi x_0 = 4 \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \frac{2 \pi x_0}{4} = \frac{\pi x_0}{2}$.

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $P$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
यदि संवेग में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नया संवेग $P' = P + 0.20P = 1.2P$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $K' = \frac{(P')^2}{2m} = \frac{(1.2P)^2}{2m} = \frac{1.44P^2}{2m}$ होगी।
$K = \frac{P^2}{2m}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K' = 1.44K$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{K' - K}{K} \times 100 \% = \frac{1.44K - K}{K} \times 100 \% = 0.44 \times 100 \% = 44 \%$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 3 \mu F$ है।
परिपथ को देखने पर,हम संधारित्रों की व्यवस्था को समझ सकते हैं।
मध्य शाखा में दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = C + C = 2C = 2 \times 3 = 6 \mu F$ होगी।
यह संयोजन उसी शाखा में स्थित एक अन्य संधारित्र $C$ के साथ श्रेणी क्रम में है। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_s = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \mu F$ होगी।
अंत में,यह शाखा शीर्ष संधारित्र $C$ के साथ समानांतर क्रम में है। इसलिए $A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C + C_s = 3 + 2 = 5 \mu F$ होगी।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और $n$ बूंदों के मिलने से बनी बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = r n^{1/3}$
प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q = C_0 V = (4 \pi \varepsilon_0 r) V$ है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = n q = n (4 \pi \varepsilon_0 r) V$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ है।
$Q$ और $R$ के मान रखने पर:
$V' = \frac{n (4 \pi \varepsilon_0 r) V}{4 \pi \varepsilon_0 (r n^{1/3})}$
$V' = n \times \frac{1}{n^{1/3}} V = n^{2/3} V$.

(C) परिपथ आरेख से, $2 \Omega$, $3 \Omega$ और $6 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
माना उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ है। तब, $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1 \Omega^{-1}$।
अतः, $R_p = 1 \Omega$।
यह समानांतर संयोजन $4 \Omega$ के प्रतिरोधक और $2 \text{ V}$ की बैटरी के साथ श्रेणी क्रम में है।
इसलिए, परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = R_p + 4 \Omega = 1 \Omega + 4 \Omega = 5 \Omega$ है।
अमीटर द्वारा मापी गई धारा $I$ ओम के नियम के अनुसार है: $I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{2 \text{ V}}{5 \Omega} = 0.4 \text{ A}$।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
जब तार को $n$ गुना लंबा किया जाता है,तो नई लंबाई $L' = nL$ हो जाती है।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \times L = A' \times L'$।
अतः,$A' = \frac{A \times L}{L'} = \frac{A \times L}{nL} = \frac{A}{n}$।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $R' = \rho \frac{L'}{A'} = \rho \frac{nL}{A/n} = n^2 \left( \rho \frac{L}{A} \right) = n^2 R$।

(B) कुंडली में प्रेरित $emf$ $(e)$ का सूत्र $e = -L \frac{dI}{dt}$ होता है।
$emf$ को शून्य होने के लिए,धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ शून्य होनी चाहिए।
दिया गया है $I = t^2 e^{-t}$।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) \cdot e^{-t} + t^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{-t})$.
$\frac{dI}{dt} = 2t e^{-t} + t^2 (-e^{-t}) = e^{-t} (2t - t^2) = e^{-t} t(2 - t)$.
$\frac{dI}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $e^{-t} t(2 - t) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^{-t} \neq 0$ होता है,इसलिए समाधान $t = 0$ या $t = 2 \ s$ है।
$t = 0$ पर धारा शून्य है,लेकिन $t = 2 \ s$ पर धारा अपने अधिकतम मान पर पहुँचती है,जिससे $emf$ शून्य हो जाता है।

(B) दिया गया है: चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 5t^2 - 4t + 1 \text{ Wb}$ और प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$\phi$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 1) = 10t - 4$ प्राप्त होता है।
प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R} = \frac{|-d\phi/dt|}{R} = \frac{|-(10t - 4)|}{10} = \frac{|4 - 10t|}{10}$ है।
$t = 0.2 \text{ s}$ पर, धारा $I = \frac{|4 - 10(0.2)|}{10} = \frac{|4 - 2|}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \text{ A}$ होगी।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह द्वारा घेरे गए कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
इस प्रश्न में,बिंदु आवेश $+q$ को घन के केंद्र में रखा गया है,जो एक बंद सतह है।
इसलिए,घन से निकलने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होगा।

(A) $I$ धारा वाले $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ होता है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I(\pi a^2)$ होता है।
अनुपात $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 I}{2a} \times \frac{1}{I \pi a^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi a^3}$ है।
जब धारा $I$ को दोगुना $(I' = 2I)$ और त्रिज्या $a$ को दोगुना $(a' = 2a)$ किया जाता है,तो नया अनुपात $x'$ होगा:
$x' = \frac{\mu_0}{2 \pi (a')^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (2a)^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (8a^3)} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0}{2 \pi a^3} \right) = \frac{x}{8}$।

(D) प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E_{fission} = 200 MeV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E_{fission} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 3.2 \times 10^{-11} J$.
आवश्यक शक्ति $P = 3.2 W$ है,जिसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $3.2 J$ ऊर्जा की आवश्यकता है।
प्रति सेकंड विखंडनों की संख्या $(n)$ कुल शक्ति और प्रति विखंडन ऊर्जा के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{P}{E_{fission}} = \frac{3.2 J/s}{3.2 \times 10^{-11} J} = 10^{11} \text{ विखंडन/सेकंड}$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर शेष मात्रा है।
$20 \%$ क्षय के लिए, शेष मात्रा $N_1 = 80 \% \text{ of } N_0 = 0.8 N_0$ है। अतः, $0.8 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = 0.8$.
$80 \%$ क्षय के लिए, शेष मात्रा $N_2 = 20 \% \text{ of } N_0 = 0.2 N_0$ है। अतः, $0.2 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \Rightarrow e^{-\lambda t_2} = 0.2$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
यह $e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 4$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln(4) = 2 \ln(2)$.
चूँकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$, इसलिए $\frac{\ln 2}{T_{1/2}}(t_2 - t_1) = 2 \ln 2$.
अतः, $t_2 - t_1 = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 20 \text{ min} = 40 \text{ min}$.

(B) जब एक मछली पानी की सतह से $h$ गहराई पर होती है,तो वह पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण बाहरी दुनिया को एक गोलाकार खिड़की के माध्यम से देखती है।
इस वृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ है।
दिया गया है: गहराई $h = 12 \ m$ और अपवर्तनांक $\mu = 4/3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$r = \frac{12}{\sqrt{(4/3)^2 - 1}}$
$r = \frac{12}{\sqrt{16/9 - 1}}$
$r = \frac{12}{\sqrt{7/9}}$
$r = \frac{12 \times 3}{\sqrt{7}}$
$r = \frac{36}{\sqrt{7}} \ m$.

(D) जब किसी लेंस पर पॉलिश की जाती है, तो वह एक दर्पण की तरह कार्य करता है। निकाय की तुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_L + P_M$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
दिया गया है, लेंस की फोकस दूरी $f = 20 \,cm$। लेंस की शक्ति $P_L = \frac{1}{f} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$।
समतल सतह पर पॉलिश की गई है, इसलिए यह एक समतल दर्पण की तरह कार्य करता है। समतल दर्पण की शक्ति $P_M = 0$ होती है।
अतः, $P_{eq} = 2 \times P_L + 0 = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \,cm^{-1}$।
निकाय की तुल्य फोकस दूरी $F$ को $P_{eq} = -\frac{1}{F}$ द्वारा दिया जाता है (ऋणात्मक चिह्न क्योंकि यह अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है)।
इसलिए, $-\frac{1}{F} = \frac{1}{10}$, जिससे $F = -10 \,cm$ प्राप्त होता है।
फोकस दूरी का परिमाण $10 \,cm$ है।

(C) दो समतल दर्पणों द्वारा $\theta$ कोण पर बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ द्वारा दी जाती है,यदि $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है,या यदि यह एक विषम पूर्णांक है और वस्तु सममित रूप से रखी गई है।
दिया गया है $n = 5$,तो $5 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{360^{\circ}}{\theta} = 6$.
अतः,$\theta = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$.
जब कोण को $30^{\circ}$ कम किया जाता है,तो नया कोण $\theta' = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ होता है।
प्रतिबिंबों की नई संख्या $n' = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} - 1 = 12 - 1 = 11$ है।

(D) दिया गया है:
$\beta = 50$
इनपुट प्रतिरोध $R_i = 1 \text{ k}\Omega = 10^3 \Omega$
शिखर इनपुट वोल्टेज $V_i = 0.01 \text{ V}$
चरण $1$: बेस धारा का शिखर मान $(\Delta I_B)$ ज्ञात करें:
$\Delta I_B = \frac{V_i}{R_i} = \frac{0.01 \text{ V}}{10^3 \Omega} = 10^{-5} \text{ A}$
चरण $2$: कलेक्टर धारा का शिखर मान $(\Delta I_C)$ ज्ञात करें:
संबंध $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B$
$\Delta I_C = 50 \times 10^{-5} \text{ A}$
$\Delta I_C = 5 \times 10^{-4} \text{ A} = 500 \times 10^{-6} \text{ A} = 500 \mu\text{A}$

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब पूरी व्यवस्था को $n$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ हो जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{(\lambda / n) D}{d} = \frac{1}{n} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{n}$ होगा।
अतः, नई फ्रिंज चौड़ाई $\frac{\beta}{n}$ है।

(B) दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $I_1 / I_2 = 9 / 1$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $A_1 / A_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{9 / 1} = 3 / 1$ होगा।
मान लीजिए $A_1 = 3k$ और $A_2 = k$ है।
उच्चिष्ठ की तीव्रता $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2 = (3k + k)^2 = (4k)^2 = 16k^2$ द्वारा दी जाती है।
निम्निष्ठ की तीव्रता $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2 = (3k - k)^2 = (2k)^2 = 4k^2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की तीव्रताओं का अनुपात $I_{\max} / I_{\min} = 16k^2 / 4k^2 = 4 / 1$ है।