જો $I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx$ અને $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ હોય,તો

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx =$

ધારો કે $h(x) = \int\limits_0^x {g(t)dt}$,જ્યાં $g(x)$ એ વિકલનીય અને અયુગ્મ વિધેય છે $\forall x \in R$ અને $g(x)$ એ $3$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
વિધાન $1: h(x) + h(-x) = 0$ $\forall x \in R$
વિધાન $2: h(x) + h(-x) = 2 \int\limits_0^x {g(t)dt}$ $\forall x \in R$
વિધાન $3: h(3n) = 0$ $\forall n \in I$
તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

$U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

જો $I_1 = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}} {\cos ^2}x\,dx$,$I_2 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$ અને $I_3 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}} dx$ હોય; તો