WBJEE 2010 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ और $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $\frac{\cot 54^\circ}{\tan 36^\circ} + \frac{\tan 20^\circ}{\cot 70^\circ}$
सर्वसमिका $\tan 36^\circ = \tan(90^\circ - 54^\circ) = \cot 54^\circ$ और $\cot 70^\circ = \cot(90^\circ - 20^\circ) = \tan 20^\circ$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cot 54^\circ}{\cot 54^\circ} + \frac{\tan 20^\circ}{\tan 20^\circ}$
$= 1 + 1 = 2$.

(B) ग्राहम के विसरण के नियम के अनुसार,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया गया है $\frac{r_{H_2}}{r_{hydrocarbon}} = 3\sqrt{3}$,जहाँ $M_{H_2} = 2 \ g/mol$.
अतः,$3\sqrt{3} = \sqrt{\frac{M_{hydrocarbon}}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3\sqrt{3})^2 = \frac{M_{hydrocarbon}}{2} \Rightarrow 27 = \frac{M_{hydrocarbon}}{2}$.
$M_{hydrocarbon} = 54 \ g/mol$.
आणविक सूत्र $C_nH_{2n-2}$ है,इसलिए $12n + (2n-2) = 54$.
$14n - 2 = 54$ $\Rightarrow 14n = 56$ $\Rightarrow n = 4$.

(A) कीटो-एनोल चलावयवता प्रदर्शित करने के लिए,यौगिक के पास कम से कम एक $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु होना चाहिए जो $\alpha$-कार्बन (कार्बोनिल समूह से जुड़ा कार्बन) से जुड़ा हो।
$1$. $C_6H_5COC_6H_5$ (बेंजोफेनोन): कार्बोनिल कार्बन दो फेनिल समूहों से जुड़ा है। कार्बोनिल समूह के बगल वाले कार्बन पर कोई $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु नहीं है। इसलिए,यह कीटो-एनोल चलावयवता नहीं दिखा सकता है।
$2$. $C_6H_5COCH_3$ (एसिटोफेनोन): इसमें कार्बोनिल कार्बन से जुड़े मिथाइल समूह पर तीन $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु हैं,इसलिए यह चलावयवता प्रदर्शित करता है।
$3$. $C_6H_5COCH_2COCH_3$ और $CH_3COCH_2COCH_3$: दोनों में दो कार्बोनिल समूहों के बीच सक्रिय मिथाइलीन समूह $(-CH_2-)$ होता है,जिसमें अम्लीय $\alpha$-हाइड्रोजन होते हैं,जो कीटो-एनोल चलावयवता की अनुमति देते हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
यहाँ $\frac{r_{H_2}}{r_{gas}} = 3\sqrt{3}$ दिया गया है,जहाँ $M_{H_2} = 2 \ g/mol$.
अतः,$3\sqrt{3} = \sqrt{\frac{M_{gas}}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3\sqrt{3})^2 = \frac{M_{gas}}{2} \implies 9 \times 3 = \frac{M_{gas}}{2} \implies 27 = \frac{M_{gas}}{2}$.
इस प्रकार,$M_{gas} = 54 \ g/mol$.
आणविक सूत्र $C_n H_{2n-2}$ है,इसलिए $12n + (2n - 2) = 54$.
$14n - 2 = 54 \implies 14n = 56 \implies n = 4$.

(A) प्रक्षेपण बिंदु $O$ पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K = \frac{1}{2} mu^2$
जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $u$ प्रक्षेपण का प्रारंभिक वेग है।
उच्चतम बिंदु (अर्थात अधिकतम ऊँचाई $H$) पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,और वेग केवल क्षैतिज घटक के बराबर होता है:
$v = u \cos \beta$
अतः,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा:
$K^{\prime} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(u \cos \beta)^2 = \frac{1}{2} mu^2 \cos^2 \beta$
प्रश्न के अनुसार,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की $\frac{3}{4}$ है:
$K^{\prime} = \frac{3}{4} K$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} mu^2 \cos^2 \beta = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} mu^2 \right)$
$\cos^2 \beta = \frac{3}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\beta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 30^{\circ}$

(A) $PCl_5$ में,केंद्रीय फास्फोरस परमाणु $(P)$ के पास $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह $5$ क्लोरीन परमाणुओं के साथ $5$ सहसंयोजक बंध बनाता है।
स्टेरिक संख्या के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Steric Number} = \frac{1}{2} (V + M - C + A)$,जहाँ $V = 5$ ($P$ के संयोजी इलेक्ट्रॉन),$M = 5$ (एकल संयोजी परमाणु),$C = 0$ (धनात्मक आवेश),और $A = 0$ (ऋणात्मक आवेश)।
$\text{Steric Number} = \frac{1}{2} (5 + 5) = 5$.
$5$ की स्टेरिक संख्या $sp^3d$ संकरण को दर्शाती है,जिसके परिणामस्वरूप त्रिकोणीय द्विपिरामिडीय ज्यामिति प्राप्त होती है।

(C) $CO$ ($14$ इलेक्ट्रॉन) का आणविक कक्षक विन्यास इस प्रकार है: $\sigma(1s)^2, \sigma^*(1s)^2, \sigma(2s)^2, \sigma^*(2s)^2, \pi(2p_x)^2 = \pi(2p_y)^2, \sigma(2p_z)^2$.
आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_b)$ = $10$.
प्रति-आबंधी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_a)$ = $4$.
आबंध कोटि = $\frac{N_b - N_a}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$.

(C) अणु का द्विध्रुव आघूर्ण व्यक्तिगत बंध द्विध्रुवों का सदिश योग होता है। क्लोरोबेंजीन के लिए,द्विध्रुव आघूर्ण $1.5 \ D$ है। मान लीजिए $C-Cl$ बंध का द्विध्रुव आघूर्ण $\mu$ है।
$o-$डाइक्लोरोबेंजीन के लिए,दो $C-Cl$ बंध एक-दूसरे से $60^{\circ}$ के कोण पर होते हैं।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{net} = \sqrt{\mu^2 + \mu^2 + 2\mu^2 \cos(60^{\circ})}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $\mu_{net} = \sqrt{2\mu^2 + 2\mu^2(0.5)} = \sqrt{3\mu^2} = \mu \sqrt{3}$।
दिया गया है $\mu = 1.5 \ D$,अतः $o-$डाइक्लोरोबेंजीन का द्विध्रुव आघूर्ण $1.5 \times 1.732 \approx 2.54 \ D$ होगा।

(D) यौगिक में हाइड्रोजन बंधन की मजबूती अंतर-आणविक आकर्षण के लिए उपलब्ध $-OH$ समूहों की संख्या पर निर्भर करती है।
प्रोपेन$-1,2,3-$ट्रायोल (ग्लिसरॉल) में तीन $-OH$ समूह होते हैं,जो अन्य विकल्पों की तुलना में अधिक मात्रा में अंतर-आणविक हाइड्रोजन बंधन बनाने की अनुमति देते हैं।
इसलिए,यह सबसे मजबूत हाइड्रोजन बंधन प्रदर्शित करता है।

(C) $K_P$ और $K_C$ के बीच का संबंध समीकरण $K_P = K_C(RT)^{\Delta n}$ द्वारा दिया जाता है।
अभिक्रिया $CaCO_{3(s)} \rightleftharpoons CaO_{(s)} + CO_{2(g)}$ के लिए,गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन $\Delta n = 1 - 0 = 1$ है।
दिया गया है: $K_P = 167$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,और $T = 800 + 273 = 1073 \ K$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $K_C = \frac{K_P}{(RT)^{\Delta n}} = \frac{167}{(0.0821 \times 1073)^1}$.
$K_C = \frac{167}{88.0933} \approx 1.896$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $K_C = 1.89$ प्राप्त होता है।

(C) ऑक्साइड का क्षारीय गुण तत्व के धात्विक गुण पर निर्भर करता है।
आवर्त में बाएं से दाएं जाने पर धात्विक गुण घटता है,इसलिए ऑक्साइड का क्षारीय गुण भी बाएं से दाएं जाने पर घटता है।
समूह में ऊपर से नीचे जाने पर धात्विक गुण बढ़ता है,इसलिए ऑक्साइड का क्षारीय गुण ऊपर से नीचे जाने पर बढ़ता है।
अतः,ऑक्साइड का क्षारीय गुण बाएं से दाएं जाने पर घटता है और ऊपर से नीचे जाने पर बढ़ता है।

(C) प्रथम आयनन ऊर्जा $(IE_1)$ सामान्यतः आवर्त में प्रभावी नाभिकीय आवेश बढ़ने के कारण बढ़ती है। हालाँकि,नाइट्रोजन $(N)$ में स्थिर अर्ध-पूरित $2p^3$ इलेक्ट्रॉनिक विन्यास होता है,जो इसे ऑक्सीजन $(O)$ की तुलना में इलेक्ट्रॉन निकालना कठिन बनाता है।
अतः,$N$ की $IE_1 > O$ है।
चूंकि फ्लोरीन $(F)$ का परमाणु आकार ऑक्सीजन से छोटा होता है और प्रभावी नाभिकीय आवेश अधिक होता है,इसलिए $F$ की $IE_1 > O$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,सही क्रम $N > O < F$ है।

(C) मैंगनस लवण $(Mn^{2+})$ का $KNO_3$ और ठोस $NaOH$ के साथ संलयन पोटेशियम मैंगनेट $(K_2MnO_4)$ बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया: $Mn^{2+} + 2NO_3^{-} + 4OH^{-} \rightarrow MnO_4^{2-} + 2NO_2^{-} + 2H_2O$ है।
$MnO_4^{2-}$ में,$Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था की गणना इस प्रकार है: $x + 4(-2) = -2$,जिससे $x = +6$ प्राप्त होता है।
अतः,$Mn$ की ऑक्सीकरण संख्या $+2$ से बदलकर $+6$ हो जाती है।

(A) कीटो-एनोल चलावयवता के लिए कार्बोनिल समूह $(C=O)$ के बगल में कम से कम एक $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु का होना आवश्यक है।
$C_6H_5COC_6H_5$ (बेंजोफेनोन) में,कार्बोनिल कार्बन दो फेनिल समूहों $(C_6H_5)$ से जुड़ा होता है।
इस अणु में कोई भी $\alpha$-कार्बन नहीं है जिसके पास $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु हो।
इसलिए,यह कीटो-एनोल चलावयवता प्रदर्शित नहीं कर सकता है।

(D) अल्ट्रा-वायलेट प्रकाश की उपस्थिति में एल्केन की क्लोरीन के साथ अभिक्रिया एक मुक्त मूलक प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
किसी एल्केन के केवल एक मोनो-क्लोरो-एल्केन बनाने के लिए,एल्केन में सभी हाइड्रोजन परमाणु समान होने चाहिए।
$Neopentane$ $(2,2-dimethylpropane)$ में,सभी $12$ हाइड्रोजन परमाणु समान प्राथमिक कार्बन परमाणुओं से जुड़े होते हैं।
इसलिए,इनमें से किसी भी एक हाइड्रोजन परमाणु को क्लोरीन परमाणु द्वारा प्रतिस्थापित करने पर समान उत्पाद,$1-chloro-2,2-dimethylpropane$ प्राप्त होता है।

(A) ऑर्थो-हाइड्रोजन और पैरा-हाइड्रोजन हाइड्रोजन अणु $(H_2)$ के परमाणु नाभिकीय चक्रण (nuclear spin) समावयवी हैं।
ऑर्थो-हाइड्रोजन में,दो प्रोटॉन के नाभिकीय चक्रण समानांतर होते हैं,जबकि पैरा-हाइड्रोजन में,नाभिकीय चक्रण प्रति-समानांतर होते हैं।
चूंकि उनकी इलेक्ट्रॉनिक संरचना समान होती है,इसलिए उनके रासायनिक गुण समान होते हैं।
हालाँकि,उनकी नाभिकीय चक्रण अवस्थाओं में अंतर के कारण,वे भिन्न भौतिक गुण प्रदर्शित करते हैं,जैसे कि अलग तापीय चालकता और विशिष्ट ऊष्मा।

(C) $B_2H_6$ (डाइबोरेन) अणु में दो ब्रिजिंग हाइड्रोजन परमाणु होते हैं।
$B_2H_6$ में,प्रत्येक बोरॉन परमाणु $sp^3$ संकरित होता है।
दो हाइड्रोजन परमाणु दो बोरॉन परमाणुओं के बीच सेतु (bridge) के रूप में कार्य करते हैं,जिससे दो $3c-2e$ (तीन-केंद्र-दो-इलेक्ट्रॉन) बंध बनते हैं,जिन्हें हाइड्रोजन ब्रिज बॉन्ड या बनाना बॉन्ड के रूप में भी जाना जाता है।

(B) चरण $1$: $H^{+}$ आयनों के कुल मिलीमोल की गणना करें।
$HCl$ से $H^{+}$ के मिलीमोल $= 0.1 \ (M) \times 2 \ mL \times 1 = 0.2 \ mmol$.
$H_2SO_4$ से $H^{+}$ के मिलीमोल $= 0.1 \ (M) \times 2 \ mL \times 2 = 0.4 \ mmol$.
$H^{+}$ के कुल मिलीमोल $= 0.2 + 0.4 = 0.6 \ mmol$.
चरण $2$: अंतिम मिश्रण में $H^{+}$ की सांद्रता की गणना करें।
कुल आयतन $= 2 \ mL + 2 \ mL + 2 \ mL = 6 \ mL$.
$[H^{+}] = \frac{\text{कुल मिलीमोल}}{\text{कुल आयतन } (mL)} = \frac{0.6}{6} = 0.1 \ (M)$.
चरण $3$: $pH$ की गणना करें।
$pH = -\log_{10} [H^{+}] = -\log_{10} (0.1) = 1$.

(B) दिया गया है $K_a = 10^{-5}$,इसलिए $pK_a = -\log(10^{-5}) = 5$।
एक-तिहाई उदासीनीकरण पर,बने लवण की मात्रा $1/3$ है और शेष अम्ल की मात्रा प्रारंभिक सांद्रता का $2/3$ है।
हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण के अनुसार:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}$
$pH = 5 + \log \frac{1/3}{2/3}$
$pH = 5 + \log \frac{1}{2}$
$pH = 5 - \log 2$।

(A) संतुलित रासायनिक समीकरण है: $2 Na_2S_2O_3 + I_2 \longrightarrow Na_2S_4O_6 + 2 NaI$.
इस अभिक्रिया में,$Na_2S_2O_3$ में सल्फर की ऑक्सीकरण अवस्था $+2$ से बदलकर $Na_2S_4O_6$ में $+2.5$ हो जाती है।
प्रति सल्फर परमाणु ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन $0.5$ है। चूंकि $Na_2S_2O_3$ में $2$ सल्फर परमाणु हैं,इसलिए कुल परिवर्तन ($n$-factor) $2 \times 0.5 = 1$ है।
तुल्यांकी भार $E$ का सूत्र $E = \frac{M}{n\text{-factor}}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$E = \frac{M}{1} = M$.
इसलिए,तुल्यांकी भार सोडियम थायोसल्फेट के मोलर द्रव्यमान के बराबर है।

(A) $1$. $NaOH$ का मोलर द्रव्यमान ज्ञात करें: $Na(23) + O(16) + H(1) = 40 \ g/mol$.
$2$. $NaOH$ के मोलों की संख्या ज्ञात करें: $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{4 \ g}{40 \ g/mol} = 0.1 \ mol$.
$3$. विलयन के आयतन को $mL$ से $L$ में बदलें: $V = \frac{250 \ mL}{1000} = 0.25 \ L$.
$4$. मोलरता $(M)$ की गणना करें: $M = \frac{n}{V} = \frac{0.1 \ mol}{0.25 \ L} = 0.4 \ M$.

(B) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया गया है,$\frac{r_{H_2}}{r_{C_n H_{2n-2}}} = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$.
अतः,$\sqrt{\frac{M_{C_n H_{2n-2}}}{M_{H_2}}} = \sqrt{27}$.
चूंकि $M_{H_2} = 2 \ g/mol$,इसलिए $\frac{M_{C_n H_{2n-2}}}{2} = 27$.
$M_{C_n H_{2n-2}} = 54 \ g/mol$.
$C_n H_{2n-2}$ का आणविक द्रव्यमान $12n + (2n - 2) = 14n - 2$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$14n - 2 = 54$,जिससे $14n = 56$ प्राप्त होता है,अतः $n = 4$.

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = (2n-1)^3$ है।
हमें $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3$ ज्ञात करना है।
पद का विस्तार करने पर: $(2k-1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k - 1$.
अब,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1) = 8 \sum k^3 - 12 \sum k^2 + 6 \sum k - \sum 1$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$,$\sum 1 = n$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = 8 \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_n = 2n^2(n^2+2n+1) - 2n(2n^2+3n+1) + 3n^2+3n - n$.
$S_n = 2n^4 + 4n^3 + 2n^2 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n^2 + 2n$.
$S_n = 2n^4 - n^2 = n^2(2n^2-1)$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\sin 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \implies \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{2}$,इसलिए $\cos 2 \theta = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2 n \pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}$
$2$ से विभाजित करने पर,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
इस प्रकार,$\theta$ के व्यापक मान $\frac{n \pi}{4}$ और $n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ हैं।

(D) प्रोटॉन की संख्या $(p)$ परमाणु क्रमांक $(Z)$ निर्धारित करती है।
यहाँ,$Z = 16$,जो सल्फर $(S)$ तत्व के अनुरूप है।
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(e^-)$ $18$ है।
कुल आवेश की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{आवेश} = \text{प्रोटॉन की संख्या} - \text{इलेक्ट्रॉन की संख्या} = 16 - 18 = -2$.
अतः,स्पीशीज $S^{2-}$ है।

(B) सोमरफेल्ड ने हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखाओं की सूक्ष्म संरचना को समझाने के लिए दीर्घवृत्तीय कक्षाओं को प्रस्तुत किया। उनके मॉडल के अनुसार,इलेक्ट्रॉन नाभिक को एक फोकस पर रखकर दीर्घवृत्तीय कक्षा में गति करता है। प्रक्षेप पथ एक बंद दीर्घवृत्त जैसा वक्र है,जो पेरिहेलियन (नाभिक के सबसे निकटतम बिंदु) पर संकीर्ण और एफेलियन (नाभिक से सबसे दूरस्थ बिंदु) पर चपटा होता है।

(A) $yz$ तल को $x = 0$ समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यदि किसी कक्षक का नोडल तल $yz$ तल के साथ संपाती है,तो उसमें इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य होगी।
$p_x$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन घनत्व $x$-अक्ष के अनुदिश वितरित होता है और इसका नोडल तल $yz$ तल होता है।
अतः,$p_x$ कक्षक के लिए $yz$ तल में इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य है।

(A) गिब्स मुक्त ऊर्जा को $G = H - TS$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अवकलन लेने पर,हमें $dG = dH - TdS - SdT$ प्राप्त होता है।
चूंकि $H = U + PV$,इसका अवकलन $dH = dU + PdV + VdP$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dU = TdS - PdV$ है।
$dH$ के समीकरण में $dU$ का मान रखने पर,$dH = (TdS - PdV) + PdV + VdP = TdS + VdP$ प्राप्त होता है।
अब,$dG$ के समीकरण में $dH$ का मान रखने पर:
$dG = (TdS + VdP) - TdS - SdT$।
इसे सरल करने पर,हमें $dG = VdP - SdT$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभियाँ $S(-ae, 0)$ और $T(ae, 0)$ हैं और $B(0, b)$ है।
चूँकि $\triangle STB$ समबाहु है,इसलिए $ST = SB$ होगा।
$2ae = a$ होने के कारण,$e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\ln y = \ln(1+x) + \ln(1+x^2) + \ln(1+x^4) + \dots + \ln(1+x^{2^n})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^2} + \frac{4x^3}{1+x^4} + \dots + \frac{2^n x^{2^n-1}}{1+x^{2^n}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^2} + \dots + \frac{2^n x^{2^n-1}}{1+x^{2^n}} \right]$.
$x=0$ पर,$y = (1+0)(1+0) \dots (1+0) = 1$.
अवकलज व्यंजक में $x=0$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 1 \cdot \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \dots + 0 \right] = 1 \cdot 1 = 1$.

(A) वक्र $y=f(x)$ के बिंदु $(x_0, y_0)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $\theta = 3\pi/4$ दिया गया है,इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = \tan(3\pi/4) = -1$ है।
हम जानते हैं कि अभिलंब की प्रवणता और फलन के अवकलज के बीच संबंध $m_n = -1/f'(x_0)$ होता है।
दिए गए बिंदु $(3,4)$ का उपयोग करने पर,$m_n = -1/f'(3)$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की प्रवणता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-1/f'(3) = -1$।
अतः,$f'(3) = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} dx$.
गुणधर्म $\log \sqrt{x} = \log(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \log x$ का उपयोग करने पर,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} \log x}{3 x} dx = \frac{1}{6} \int \frac{\log x}{x} dx$.
माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{6} \int u du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{12} + C$.
$u = \log x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{(\log x)^2}{12} + C$.
वैकल्पिक रूप से,प्रतिस्थापन $t = \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x$ लेने पर,$dt = \frac{1}{2x} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{x} dx = 2 dt$.
$I = \int \frac{t}{3} (2 dt) = \frac{2}{3} \int t dt = \frac{2}{3} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{t^2}{3} + C = \frac{1}{3} (\log \sqrt{x})^2 + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) अल्कोहल $(R-OH)$ की $PCl_5$ के साथ अभिक्रिया से अल्काइल क्लोराइड $(R-Cl)$ प्राप्त होता है:
$C_2 H_5 OH + PCl_5 \rightarrow C_2 H_5 Cl + POCl_3 + HCl$
अतः,$X$ का मान $C_2 H_5 OH$ है।
कार्बोक्सिलिक एसिड $(R-COOH)$ की $PCl_5$ के साथ अभिक्रिया से एसिड क्लोराइड $(R-COCl)$ प्राप्त होता है:
$CH_3 CO_2 H + PCl_5 \rightarrow CH_3 COCl + POCl_3 + HCl$
अतः,$Y$ का मान $CH_3 CO_2 H$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) बेंजीनडायज़ोनियम क्लोराइड $(C_6H_5N_2^+Cl^-)$ की उबलते पानी के साथ अभिक्रिया फिनोल बनाने की एक मानक विधि है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_6H_5N_2^+Cl^- + H_2O \xrightarrow{\Delta} C_6H_5OH + N_2 \uparrow + HCl$
यहाँ,डायज़ोनियम समूह को हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप फिनोल का निर्माण होता है।

(C) जब एसीटोन $(CH_3COCH_3)$ को शुष्क $HCl$ गैस के साथ संतृप्त किया जाता है,तो यह स्व-एल्डोल संघनन (self-aldol condensation) और उसके बाद निर्जलीकरण (dehydration) से गुजरकर मेसिटिल ऑक्साइड $(CH_3COCH=C(CH_3)_2)$ बनाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$2CH_3COCH_3 \xrightarrow{HCl(g)} CH_3COCH=C(CH_3)_2 + H_2O$
नोट: फोरोन एक गौण उत्पाद के रूप में बनता है,लेकिन मुख्य उत्पाद मेसिटिल ऑक्साइड है।

(D) विटामिन $C$ को रासायनिक रूप से $Ascorbic \ acid$ के रूप में जाना जाता है। यह एक जल-घुलनशील विटामिन है जो विभिन्न खाद्य पदार्थों में पाया जाता है और कोलेजन के संश्लेषण तथा प्रतिरक्षा प्रणाली के कार्य के लिए आवश्यक है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है। क्षय स्थिरांक $\lambda$ इस प्रकार है: $\lambda = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N_t}$.
रेडियोधर्मिता $90 \%$ कम हो जाती है,इसलिए शेष मात्रा $N_t = N_0 - 0.90 N_0 = 0.10 N_0$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{2.303}{10} \log \frac{N_0}{0.10 N_0} = \frac{2.303}{10} \log(10) = \frac{2.303}{10} \times 1 = 0.2303 \ year^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2}$ इस प्रकार है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.2303} \approx 3.01 \ years$.
अतः,अर्ध-आयु लगभग $3 \ years$ है।

(B) अभिक्रिया $RCl + H_2O \rightarrow ROH + HCl$ है।
चूंकि पानी बड़ी अधिकता में मौजूद है,इसलिए अभिक्रिया के दौरान इसकी सांद्रता व्यावहारिक रूप से स्थिर रहती है।
यह अभिक्रिया को छद्म-प्रथम कोटि (pseudo-first-order) की अभिक्रिया बनाता है,जहाँ अभिक्रिया की कोटि $1$ है।
हालाँकि,आण्विकता प्राथमिक चरण में एक साथ टकराने वाले अभिक्रियाशील अणुओं की संख्या से निर्धारित होती है,जो कि $2$ ($RCl$ और $H_2O$) है।
इसलिए,आण्विकता $2$ है और अभिक्रिया की कोटि $1$ है।

(A) ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए,उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों की ऊर्जा से कम होती है।
ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में दिखाए अनुसार,अग्र अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,f})$ संक्रमण अवस्था और अभिकारकों के बीच का ऊर्जा अंतर है।
पश्च अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,b})$ संक्रमण अवस्था और उत्पादों के बीच का ऊर्जा अंतर है।
चूंकि उत्पाद अभिकारकों की तुलना में निचले ऊर्जा स्तर पर होते हैं,इसलिए उत्पादों से संक्रमण अवस्था तक पहुँचने के लिए ऊर्जा अवरोध $(E_{a,b})$,अभिकारकों से ऊर्जा अवरोध $(E_{a,f})$ से अधिक होता है।
अतः,$(E_{a,b}) > (E_{a,f})$.

(A) एस्पिरिन को रासायनिक रूप से $2$-एसीटॉक्सीबेंज़ोइक एसिड या एसिटाइलसैलिसिलिक एसिड के रूप में जाना जाता है।
यह सैलिसिलिक एसिड का एसिटिक एनहाइड्राइड के साथ एसिटाइलेशन करके तैयार किया जाता है।
इसकी संरचना में बेंजीन रिंग के साथ ऑर्थो स्थिति पर एक कार्बोक्सिलिक एसिड समूह $(-COOH)$ और एक एसीटॉक्सी समूह $(-OCOCH_3)$ जुड़ा होता है।

(B) अक्रिय युग्म प्रभाव $p$-ब्लॉक तत्वों में देखा जाता है,जिसमें बाह्यतम $s$-कक्षक के दो इलेक्ट्रॉन बंध बनाने में भाग नहीं लेते हैं।
$Sn$ ($5^{th}$ आवर्त),$Pb$ ($6^{th}$ आवर्त) और $In$ ($5^{th}$ आवर्त) $p$-ब्लॉक के तत्व हैं जो अक्रिय युग्म प्रभाव प्रदर्शित करते हैं।
$Fe$ एक $d$-ब्लॉक तत्व (संक्रमण धातु) है और यह अक्रिय युग्म प्रभाव प्रदर्शित नहीं करता है।

(A) हीमोग्लोबिन लाल रक्त कोशिकाओं में पाया जाने वाला एक जटिल प्रोटीन है जो पूरे शरीर में ऑक्सीजन के परिवहन के लिए जिम्मेदार है।
इसमें 'हीम' नामक एक प्रोस्थेटिक समूह होता है,जिसमें एक पोरफिरिन रिंग होती है जो एक केंद्रीय आयरन आयन के साथ समन्वित होती है।
कार्यात्मक हीमोग्लोबिन में,यह आयरन आयन फेरस अवस्था में होता है,जिसे $Fe^{2+}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) जब $AgCl$,$KCN$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह घुलकर एक घुलनशील संकुल यौगिक बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$AgCl(s) + 2KCN(aq) \rightarrow K[Ag(CN)_2](aq) + KCl(aq)$
इस अभिक्रिया में,सिल्वर क्लोराइड,पोटेशियम साइनाइड के साथ अभिक्रिया करके डाइसायनोआर्जेनटेट$(I)$ संकुल आयन,$[Ag(CN)_2]^-$,बनाता है,जो जल में घुलनशील है।

(C) हाइड्रोजन इलेक्ट्रोड के लिए अर्ध-सेल अभिक्रिया: $2H^+ (aq) + 2e^- \rightarrow H_2 (g)$ है।
नेर्न्स्ट समीकरण का उपयोग करते हुए: $E = E^0 - \frac{0.0591}{n} \log \frac{P_{H_2}}{[H^+]^2}$।
यहाँ $E^0 = 0 \ V$,$n = 2$,$P_{H_2} = 1 \ atm$,और $[H^+] = 10^{-pH} = 10^{-10} \ M$ है।
मान रखने पर: $E = 0 - \frac{0.0591}{2} \log \frac{1}{(10^{-10})^2}$।
$E = -\frac{0.0591}{2} \log (10^{20})$।
$E = -\frac{0.0591}{2} \times 20$।
$E = -0.0591 \times 10 = -0.591 \ V$।
अतः,विभव लगभग $-0.59 \ V$ है।

(A) पृथ्वी की पपड़ी में धातुओं की प्रचुरता इस प्रकार है: $Aluminium$ $(Al)$ सबसे प्रचुर धातु है,जो वजन के अनुसार लगभग $8.3\%$ है। $Iron$ $(Fe)$ दूसरी सबसे प्रचुर धातु है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) अभिक्रिया दो चरणों में पूरी होती है:
$1$. नाइट्रोबेंजीन $(C_6H_5NO_2)$ का $NH_4Cl / Zn$ डस्ट द्वारा अपचयन होकर फेनिलहाइड्रॉक्सिलएमीन $(C_6H_5NHOH)$ बनता है।
$2$. इसके बाद फेनिलहाइड्रॉक्सिलएमीन का $H_2SO_4 / Na_2Cr_2O_7$ द्वारा ऑक्सीकरण होकर नाइट्रोसोबेंजीन $(C_6H_5NO)$ प्राप्त होता है।

(C) पायरोफॉस्फोरिक अम्ल $(H_4P_2O_7)$ की संरचना में दो फॉस्फेट इकाइयाँ एक ऑक्सीजन परमाणु द्वारा जुड़ी होती हैं,जो $P-O-P$ बंध बनाती हैं।
इसकी संरचना $(HO)_2P(O)-O-P(O)(OH)_2$ है।
अन्य अम्ल जैसे हाइपोफॉस्फोरस अम्ल $(H_3PO_2)$,फॉस्फोरस अम्ल $(H_3PO_3)$,और ऑर्थोफॉस्फोरिक अम्ल $(H_3PO_4)$ में $P-O-P$ बंध नहीं होता है।

(C) एनहाइड्राइड एक ऐसा यौगिक है जो अम्ल से पानी निकालने पर बनता है।
फॉस्फोरिक अम्ल $(H_3 PO_4)$ के लिए,निर्जलीकरण अभिक्रिया इस प्रकार है:
$4 H_3 PO_4 \longrightarrow P_4 O_{10} + 6 H_2 O$
अतः,$P_4 O_{10}$ ऑर्थोफॉस्फोरिक अम्ल $(H_3 PO_4)$ का एनहाइड्राइड है।

(C) ओजोन $(O_3)$ अणु का आकार कोणीय होता है और यह दो संरचनाओं का अनुनाद संकर है। अनुनाद के कारण ओजोन में बंध कोटि $1.5$ है,जो एकल बंध $(1)$ और द्वि-बंध $(2)$ के बीच होती है। आणविक ऑक्सीजन $(O_2)$ में बंध कोटि $2$ होती है। चूंकि बंध लंबाई बंध कोटि के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए $O_3$ में $O-O$ बंध लंबाई $O_2$ में $O=O$ बंध लंबाई से अधिक होती है। अतः,कथन $C$ गलत है।

(A) सह-बहुलक (co-polymer) दो या दो से अधिक विभिन्न प्रकार की एकलक इकाइयों से बना एक बहुलक है।
$Buna-S$,$1,3-butadiene$ और स्टाइरीन के बहुलकीकरण द्वारा निर्मित एक सह-बहुलक है।
$Buna-S$ की संरचना: $(-CH_2-CH=CH-CH_2-CH(C_6H_5)-CH_2-)_n$ है।
टेफ्लॉन,$PVC$,और पॉलीप्रोपाइलीन होमोपॉलीमर हैं।

(D) रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया द्रव्यमान संख्या और परमाणु संख्या के संरक्षण का पालन करती है।
$1$. $\beta$-क्षय के लिए: ${ }_{89}^{227} Ac \xrightarrow{-\beta} { }_{90}^{227} Th + { }_{-1}^{0} e$. अतः,$[A] = { }_{90}^{227} Th$.
$2$. $\alpha$-क्षय के लिए: ${ }_{90}^{227} Th \xrightarrow{-\alpha} { }_{88}^{223} Ra + { }_{2}^{4} He$. अतः,$[B] = { }_{88}^{223} Ra$.
$3$. आगे का $\alpha$-क्षय: ${ }_{88}^{223} Ra \xrightarrow{-\alpha} { }_{86}^{219} Rn + { }_{2}^{4} He$. यह अनुक्रम की पुष्टि करता है।
अतः,$[A]$ का मान ${ }_{90}^{227} Th$ है और $[B]$ का मान ${ }_{88}^{223} Ra$ है।