WBJEE 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए:
अंश = $\log_{3} 5 \times \log_{25} 27 \times \log_{49} 7$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 27}{\log 25} \times \frac{\log 7}{\log 49}$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{3 \log 3}{2 \log 5} \times \frac{\log 7}{2 \log 7}$
$= \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
हर = $\log_{81} 3 = \log_{3^4} 3 = \frac{1}{4} \log_{3} 3 = \frac{1}{4}$
मान = $\frac{3/4}{1/4} = 3$

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं जहाँ $c$ कर्ण है,इसलिए $a^2 + b^2 = c^2$,जिसका अर्थ है $a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b)$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(a^2) = \log((c+b)(c-b)) = \log(c+b) + \log(c-b)$।
अब,दिया गया व्यंजक $E = \frac{\log_{c+b} a + \log_{c-b} a}{2 \log_{c+b} a \cdot \log_{c-b} a}$ है।
आधार परिवर्तन नियम $\log_x y = \frac{\log y}{\log x}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\frac{\log a}{\log(c+b)} + \frac{\log a}{\log(c-b)}}{2 \cdot \frac{\log a}{\log(c+b)} \cdot \frac{\log a}{\log(c-b)}}$।
अंश का सरलीकरण: $\frac{\log a (\log(c-b) + \log(c+b))}{\log(c+b) \log(c-b)}$।
हर का सरलीकरण: $\frac{2 (\log a)^2}{\log(c+b) \log(c-b)}$।
अतः,$E = \frac{\log a \cdot \log(a^2)}{2 (\log a)^2} = \frac{\log a \cdot 2 \log a}{2 (\log a)^2} = 1$।

(D) समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$ है।
इसी प्रकार,$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
नए मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जो मूल समीकरण के समान ही हैं।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+x+1=0$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2\sqrt{3}$,और $c = -22$ है।
$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-22) = 12 + 88 = 100$.
चूंकि $D > 0$,मूल वास्तविक और असमान हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 10}{2} = \sqrt{3} \pm 5$.
चूंकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए मूल $\sqrt{3} + 5$ और $\sqrt{3} - 5$ अपरिमेय हैं।
अतः,मूल वास्तविक,अपरिमेय और असमान हैं।

(A) त्रिभुज $PQR$ में,$P + Q + R = \pi$ है। चूँकि $\angle R = \pi / 2$,इसलिए $P + Q = \pi / 2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\tan(P/2)$ और $\tan(Q/2)$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $\tan(P/2) + \tan(Q/2) = -b/a$
मूलों का गुणनफल: $\tan(P/2) \tan(Q/2) = c/a$
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b}{a - c} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$

(C) दिया गया समीकरण $x^2+15|x|+14=0$ है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को $|x|^2+15|x|+14=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2+15t+14=0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(t+1)(t+14)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = -1$ या $t = -14$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,हमने $t = |x|$ माना है,जो कि ऋणेतर $(t \ge 0)$ होना चाहिए।
चूंकि $-1$ और $-14$ दोनों $0$ से छोटे हैं,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समीकरण का कोई हल नहीं है।

(D) दिया गया है $z = \frac{4}{1-i}$.
$\bar{z}$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का संयुग्मी लेते हैं:
$\bar{z} = \overline{\left(\frac{4}{1-i}\right)} = \frac{\bar{4}}{\overline{1-i}}$.
चूंकि वास्तविक संख्या $4$ का संयुग्मी $4$ है और $(1-i)$ का संयुग्मी $(1+i)$ है,
अतः $\bar{z} = \frac{4}{1+i}$.

(A) माना $\arg (z) = \theta$,जहाँ $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$ है।
चूँकि $\bar{z}$,$z$ का वास्तविक अक्ष पर प्रतिबिंब है,इसलिए $\arg (\bar{z}) = -\arg (z) = -\theta$ होगा।
यहाँ $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\frac{\pi}{2} < -\theta < \pi$ होगा।
अब,$-\bar{z} = -1 \cdot \bar{z} = e^{i\pi} \cdot \bar{z}$ है।
अतः,$\arg (-\bar{z}) = \arg (e^{i\pi}) + \arg (\bar{z}) = \pi + (-\theta) = \pi - \theta$ होगा।
हमें $\arg (\bar{z}) - \arg (-\bar{z}) = -\theta - (\pi - \theta) = -\theta - \pi + \theta = -\pi$ की गणना करनी है।
मुख्य मान के लिए,हम $- \pi + 2\pi = \pi$ प्राप्त कर सकते हैं।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $t_n = \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
हम इसे $t_n = \frac{(2n+1) - 1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right) = \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots \right)$ प्राप्त होता है।
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ के विस्तार के अनुसार,$x = -1$ के लिए,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ होता है।
अतः,योग $e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ है।
इसलिए,मान $e^{-1}$ है।

(D) $COMBINE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $C, O, M, B, I, N, E$.
स्वर $O, I, E$ हैं ($3$ स्वर)।
व्यंजन $C, M, B, N$ हैं ($4$ व्यंजन)।
कुल $7$ स्थान हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं ($4$ विषम स्थान)।
हमें $4$ विषम स्थानों में $3$ स्वरों को रखना है,जिसे $^4P_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीके।
शेष $4$ अक्षरों (व्यंजनों) को शेष $4$ स्थानों में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके।
कुल क्रमचयों की संख्या $= ^4P_3 \times 4! = 24 \times 24 = 576$।

(D) अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दिया गया है $S = \frac{4}{5}$ और $a = \frac{3}{4}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{4}{5} = \frac{\frac{3}{4}}{1-r}$.
दोनों पक्षों को $(1-r)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{4}{5}(1-r) = \frac{3}{4}$.
$1-r = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{16}$.
$r = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $G.M. = \sqrt{ab} = 10$,इसलिए $ab = 100$।
दिया गया है कि $H.M. = \frac{2ab}{a+b} = 8$।
$H.M.$ के समीकरण में $ab = 100$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(100)}{a+b} = 8$ $\Rightarrow \frac{200}{a+b} = 8$ $\Rightarrow a+b = \frac{200}{8} = 25$।
अब हमारे पास $a+b = 25$ और $ab = 100$ है।
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ है।
$x^2 - 25x + 100 = 0$।
$(x-20)(x-5) = 0$।
अतः,वे संख्याएँ $5$ और $20$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{x^n+y^n} = \sqrt{xy}$.
इसका अर्थ है $x^{n+1} + y^{n+1} = (xy)^{1/2} (x^n + y^n)$.
$x^{n+1} + y^{n+1} = x^{n+1/2} y^{1/2} + x^{1/2} y^{n+1/2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^{n+1} - x^{n+1/2} y^{1/2} = x^{1/2} y^{n+1/2} - y^{n+1}$.
$x^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2}) = y^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2})$.
यदि $x \neq y$ है,तो दोनों पक्षों को $(x^{1/2} - y^{1/2})$ से विभाजित करने पर:
$x^{n+1/2} = y^{n+1/2}$.
$(x/y)^{n+1/2} = 1$.
चूंकि $(x/y)^0 = 1$,इसलिए $n + 1/2 = 0$.
अतः,$n = -1/2$.

(A) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_{n} = (2n-1)^{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_{n} = 8n^{3} - 12n^{2} + 6n - 1$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} (8k^{3} - 12k^{2} + 6k - 1)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_{n} = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^{2} - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.
$S_{n} = 2n^{2}(n+1)^{2} - 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - n$.
$S_{n} = 2n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} - 4n^{3} - 6n^{2} - 2n + 3n^{2} + 2n$.
$S_{n} = 2n^{4} - n^{2} = n^{2}(2n^{2}-1)$.

(B) $(a-2b)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $t_{r+1} = {}^{n}C_{r} (a)^{n-r} (-2b)^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $5$ वें और $6$ वें पद का योग शून्य है,इसलिए $t_5 + t_6 = 0$ है।
इसका अर्थ है ${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (-2b)^4 + {}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-2b)^5 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,${}^{n}C_4 (a)^{n-4} (16b^4) = -{}^{n}C_5 (a)^{n-5} (-32b^5)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को ${}^{n}C_4 (a)^{n-5} (b^4)$ से विभाजित करने पर,$a = -\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} (-2b)$ प्राप्त होता है।
सूत्र ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{n}C_5}{{}^{n}C_4} = \frac{n-4}{5}$ होता है।
अतः,$a = -\frac{n-4}{5} (-2b) = \frac{2(n-4)}{5} b$ है।
इसलिए,$\frac{a}{b} = \frac{2(n-4)}{5}$ है।

(C) हमारे पास $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ है।
चूंकि $8 = (1 + 7)$,हम $8^n = (1 + 7)^n$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 7)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(7) + {^nC_2}(7^2) + \dots + {^nC_n}(7^n)$।
चूंकि ${^nC_0} = 1$,हमें $8^n = 1 + 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$8^n - 1 = 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$।
यह व्यंजक सभी $n \in N$ के लिए $7$ से विभाज्य है।

(D) पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n-1}C_r + {}^{n-1}C_{r-1} = {}^{n}C_r$ का उपयोग करते हुए:
${}^{n-1}C_3 + {}^{n-1}C_4 = {}^{n}C_4$.
दी गई असमिका:
${}^{n}C_4 > {}^{n}C_3$.
क्रमचय-संचय का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$.
फैक्टोरियल को सरल करने पर:
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$.
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$.
चूंकि $n-3 > 0$,हमें प्राप्त होता है:
$n-3 > 4$,जिसका अर्थ है $n > 7$.
अतः,$n$ का मान $7$ से ठीक बड़ा है।

(B) $(1+x)^{59}$ के विस्तार में $59+1 = 60$ पद हैं।
माना गुणांक $C_0, C_1, C_2, \dots, C_{59}$ हैं।
सभी गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{59} C_r = (1+1)^{59} = 2^{59}$ है।
चूंकि $C_r = C_{59-r}$,पहले $30$ गुणांकों का योग अंतिम $30$ गुणांकों के योग के बराबर है।
माना $S$ अंतिम $30$ गुणांकों का योग है।
तब $2S = \sum_{r=0}^{59} C_r = 2^{59}$।
अतः,$S = \frac{2^{59}}{2} = 2^{58}$।

(D) दिया गया विस्तार: $(1-x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है।
चरण $1$: $x = 1$ रखने पर:
$(1 - 1 + 1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$
$1 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
चरण $2$: $x = -1$ रखने पर:
$(1 - (-1) + (-1)^2)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$
$3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
चरण $3$: समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$
अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$।

(C) दिया गया है $\frac{\cos A}{3} = \frac{1}{5} \implies \cos A = \frac{3}{5}$.
चूंकि $-\frac{\pi}{2} < A < 0$,$A$ चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin A$ ऋणात्मक होगा।
$\sin A = -\sqrt{1 - \cos^2 A} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$.
इसी प्रकार,$\frac{\cos B}{4} = \frac{1}{5} \implies \cos B = \frac{4}{5}$.
चूंकि $-\frac{\pi}{2} < B < 0$,$B$ चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin B$ ऋणात्मक होगा।
$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$.
अब,$2 \sin A + 4 \sin B = 2(-\frac{4}{5}) + 4(-\frac{3}{5}) = -\frac{8}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{20}{5} = -4$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\cot 54^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 54^{\circ}) = \tan 36^{\circ}$.
$\cot 70^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \tan 20^{\circ}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan 36^{\circ}}{\tan 36^{\circ}} + \frac{\tan 20^{\circ}}{\tan 20^{\circ}} = 1 + 1 = 2$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$.
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cot x - \tan x = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2 \cot 2x$.
अतः,$\frac{\cot x - \tan x}{\cot 2x} = \frac{2 \cot 2x}{\cot 2x} = 2$.

(D) हम जानते हैं कि $\cos 55^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 55^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ} = 2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}$।
अब,व्यंजक $\frac{2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 2 \cos 45^{\circ}$ हो जाता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए मान $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(D) दिए गए समीकरण $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$ और $y = \sin x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x \in [-2\pi, 2\pi]$ के लिए $\sin x = \frac{1}{2}$ को हल करते हैं।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ पर होता है।
अंतराल $[-2\pi, 0]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$ और $x = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ पर होता है।
अतः,हल $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $4$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\sin 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = n \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{4}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2 n \pi \pm \alpha$ होता है:
$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
अतः,$\theta = \frac{n \pi}{4}$ या $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(B) माना कि रेखा $3x + y - 9 = 0$,बिंदुओं $A(1, 3)$ और $B(2, 7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{7k+3}{k+1})$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $3x + y = 9$ पर स्थित है,इसलिए:
$3(\frac{2k+1}{k+1}) + (\frac{7k+3}{k+1}) = 9$
$6k + 3 + 7k + 3 = 9(k + 1)$
$13k + 6 = 9k + 9$
$4k = 3$
$k = \frac{3}{4}$।
चूंकि $k > 0$ है,इसलिए विभाजन $3: 4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से होता है।

(A) दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3}x$,$y = -\sqrt{3}x$ और $y = 1$ हैं।
इन्हें $y = \tan(60^{\circ})x$,$y = \tan(120^{\circ})x$ और $y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाएं $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हैं और $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
इन दो रेखाओं के बीच का कोण $120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
रेखा $y = 1$,$y = \sqrt{3}x$ को $(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ पर और $y = -\sqrt{3}x$ को $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$ पर काटती है।
रेखा $y = 1$ पर आधार की लंबाई $\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
अन्य दो भुजाओं की लंबाई $\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि तीनों भुजाएं समान हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) दी गई रेखा $x+y=0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$1 = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1 \implies m+1 = 1-m \implies 2m = 0 \implies m = 0$.
$(1,1)$ से गुजरने वाली और $0$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = 0(x-1) \implies y-1 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1 \implies m+1 = -1+m \implies 1 = -1$,जो असंभव है (इसका अर्थ है कि रेखा ऊर्ध्वाधर है)।
$(1,1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $x=1$ या $x-1=0$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $x-1=0$ और $y-1=0$ हैं।

(C) माना बिंदु $A(3q, 0)$,$B(0, 3p)$ और $C(1, 1)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,$AC$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AC$ की ढाल $= \frac{1 - 0}{1 - 3q} = \frac{1}{1 - 3q}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{3p - 1}{0 - 1} = 1 - 3p$.
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1}{1 - 3q} = 1 - 3p$.
$1 = (1 - 3p)(1 - 3q)$.
$1 = 1 - 3q - 3p + 9pq$.
$3p + 3q = 9pq$.
दोनों पक्षों को $3pq$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 3$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x = 0$ और $y = 0$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
रेखा $x = 0$ से $P$ की दूरी $|x|$ है और रेखा $y = 0$ से $P$ की दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यह समीकरण $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग निरूपित करता है।
चूंकि वर्ग समचतुर्भुज का एक विशेष प्रकार है और विकल्पों में वर्ग नहीं दिया गया है,इसलिए प्रश्न में त्रुटि हो सकती है। यदि दूरियों के वर्गों का योग स्थिर होता,तो यह एक वृत्त होता। लेकिन $|x| + |y| = 1$ के लिए बिंदु पथ एक वर्ग ही होता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$L_1: \sqrt{3} x - y = 4 \sqrt{3} \alpha$ $(1)$
$L_2: \alpha(\sqrt{3} x + y) = 4 \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} x + y = \frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$(\sqrt{3} x - y)(\sqrt{3} x + y) = (4 \sqrt{3} \alpha) \times \left(\frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}\right)$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{48}{16}} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,यह $2$ उत्केंद्रता वाला एक अतिपरवलय है।

(A) वृत्त $S: x^2+y^2-6x-8y=0$ और रेखा $L: x+y-1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2+y^2-6x-8y + \lambda(x+y-1) = 0$
$x^2+y^2 + (\lambda-6)x + (\lambda-8)y - \lambda = 0$.
चूंकि $AB$ एक व्यास है,इसलिए इस वृत्त का केंद्र रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda-6}{2}, -\frac{\lambda-8}{2})$ है।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\lambda-6}{2} - \frac{\lambda-8}{2} - 1 = 0$
$-(\lambda-6) - (\lambda-8) - 2 = 0$
$-2\lambda + 12 = 0 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2-2y-6=0$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,उस पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।
मान लीजिए कि एक नाभिलंब जीवा के दो अंतिम बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
जीवा $PQ$ की ढाल $m = \frac{2at_2 - 2at_1}{at_2^2 - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।
चूंकि जीवा नाभि $(a, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए ढाल $m = \frac{2at_1 - 0}{at_1^2 - a} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$ भी है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$।
$t_1^2 - 1 = t_1(t_1 + t_2) = t_1^2 + t_1 t_2$।
$-1 = t_1 t_2$।
अतः,$t_1 t_2 = -1$।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $T(-ae, 0)$ हैं।
$B(0, b)$ लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है।
चूँकि $\triangle STB$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $SB = ST = TB$ होगा।
$ST = ae - (-ae) = 2ae$.
$SB = \sqrt{(ae-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2}e^{2} + b^{2}}$.
चूँकि $SB = ST$,इसलिए $SB^{2} = ST^{2}$ होगा।
$a^{2}e^{2} + b^{2} = (2ae)^{2} = 4a^{2}e^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
संबंध $b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करने पर:
$a^{2}(1-e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2}$.
$4e^{2} = 1$.
$e^{2} = \frac{1}{4}$.
$e = \frac{1}{2}$ (चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$)।

(D) सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin |x|}{x}$ ज्ञात करने के लिए,हम वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin(-x)}{x} = \lim _{x \rightarrow 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
चूंकि वाम-पक्ष सीमा $(-1)$ दक्षिण-पक्ष सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) माना $L = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x f(5)-5 f(x)}{x-5}$ है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करेंगे:
$L = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{\frac{d}{dx}(x f(5)-5 f(x))}{\frac{d}{dx}(x-5)}$
$L = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{f(5)-5 f'(x)}{1}$
$x=5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = f(5)-5 f'(5)$
दिया गया है कि $f(5)=7$ और $f'(5)=7$:
$L = 7 - 5(7) = 7 - 35 = -28$.

(B) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x + \cos x - 1}{x^2}$.
सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x + \cos x - 1}{x^2} = \operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - \cos^2 x}{x^2}$.
$\cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x(1 - \cos x)}{x^2} = \operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \cos x \cdot \operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \cos x = 1$ और $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
अतः,सीमा का मान $1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(A) $1^{\infty}$ रूप के लिए हम मानक सीमा सूत्र $\operatorname{Lt}_{x \rightarrow a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow a} g(x)[f(x)-1]}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$f(x) = \frac{1+5x^2}{1+3x^2}$ और $g(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
जैसे ही $x \rightarrow 0$,$f(x) \rightarrow 1$ और $g(x) \rightarrow \infty$ होता है।
अतः,सीमा $e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{1+5x^2}{1+3x^2} - 1 \right)}$ है।
$= e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{1+5x^2 - (1+3x^2)}{1+3x^2} \right)}$.
$= e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{2x^2}{1+3x^2} \right)}$.
$= e^{\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{2}{1+3x^2}}$.
$= e^{\frac{2}{1+0}} = e^2$.

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A+C$. चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अर्थात $B = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,हमारे पास $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$ है।
इसलिए,$\frac{a+c}{b} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
चूंकि $A+C = 2B$,हमारे पास $\frac{A+C}{2} = B$ है।
अतः,$\frac{a+c}{b} = \frac{2 \sin B \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sin B} = 2 \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+C = \pi - B$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$\frac{A+C-B}{2} = \frac{\pi-B-B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ प्राप्त होता है।
अतः,$2ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$।
सर्वसमिका $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$2ac \cos B$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ है।
इस मान को रखने पर,$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-5=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C$ $(-g, -f) = (1, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
इसलिए,अभिलंब वह रेखा है जो केंद्र $C(1, -2)$ और दिए गए बिंदु $A(2, 1)$ से होकर गुजरती है।
$(1, -2)$ और $(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{1 - (-2)}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$ है।
बिंदु $(2, 1)$ से गुजरने वाली और $m=3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 1) = 3(x - 2)$ है।
इसे सरल करने पर,$y - 1 = 3x - 6$,अर्थात $y = 3x - 5$ प्राप्त होता है।

(D) माना $A$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। $A$ के लिए संभावित परिणाम $18$ हैं।
माना $B$ योग $8$ प्राप्त करने की घटना है। $B$ के लिए संभावित परिणाम $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ हैं,अर्थात $|B| = 5$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे परिणाम हैं जहाँ पहला पासा सम है और योग $8$ है,जो $(2,6), (4,4), (6,2)$ हैं। अतः,$|A \cap B| = 3$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} - \frac{3}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(C) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.3$ है।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 = 0.9$।
हमें $P(A') + P(B')$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$,
$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
मान रखने पर,$P(A') + P(B') = 2 - 0.9 = 1.1$।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(1 - \cos x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{1 - \cos x}{2})}{x^4}$
चूँकि $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$,यह पद इस प्रकार होगा:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^4}$
सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,छोटी $\theta$ के लिए $\sin \theta \approx \theta$ लेने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 (\sin^2(\frac{x}{2}))^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^4}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{x^4}{16}}{x^4} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(A) गुणनफल $AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह $A$ की पंक्तियों का आव्यूह $B$ के स्तंभों से गुणा करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 5) & (2 \times -1 + 1 \times 2 + 3 \times 0) \\ (4 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 5) & (4 \times -1 + 1 \times 2 + 0 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2 + 0 + 15) & (-2 + 2 + 0) \\ (4 + 0 + 0) & (-4 + 2 + 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 17 & 0 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (1)(-1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$।
व्युत्क्रम आव्यूह का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x+\omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & \omega^2 & 1+x \\ 1 & x+\omega & \omega^2\end{array}\right|=0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है:
$C_1 = \begin{bmatrix} x + \omega^2 + \omega + 1 \\ \omega + \omega^2 + 1 + x \\ 1 + x + \omega + \omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ x \\ x \end{bmatrix}$.
अतः,सारणिक $x \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & 1 \\ 1 & \omega^2 & 1+x \\ 1 & x+\omega & \omega^2 \end{array}\right| = 0$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $x = 0$ एक हल है।

(B) दिया गया व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2-1}{\cos 2}\right)$ है।
सर्वसमिकाओं $\sin 2 = 2\sin 1 \cos 1$,$1 = \sin^2 1 + \cos^2 1$,और $\cos 2 = \cos^2 1 - \sin^2 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin 2 - 1}{\cos 2} = \frac{2\sin 1 \cos 1 - (\sin^2 1 + \cos^2 1)}{\cos^2 1 - \sin^2 1} = \frac{-(\cos 1 - \sin 1)^2}{(\cos 1 - \sin 1)(\cos 1 + \sin 1)}$.
चूंकि $\cos 1 > \sin 1$ है $(1 \text{ रेडियन} \approx 57.3^\circ)$,इसे सरल करने पर $\frac{-(\cos 1 - \sin 1)}{\cos 1 + \sin 1} = \frac{\sin 1 - \cos 1}{\cos 1 + \sin 1}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\cos 1$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{\tan 1 - 1}{1 + \tan 1} = \tan(1 - \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan ^{-1}(\tan(1 - \frac{\pi}{4})) = 1 - \frac{\pi}{4}$।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\cos^{-1}\left(\frac{1-|x|}{2}\right)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और $\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
सबसे पहले,$\cos^{-1}\left(\frac{1-|x|}{2}\right) \geq 0$ होना चाहिए। चूंकि $\cos^{-1}(u)$ का परिसर $[0, \pi]$ है,यह $u \in [-1, 1]$ के लिए हमेशा सत्य है।
अब,$-1 \leq \frac{1-|x|}{2} \leq 1$ को हल करते हैं।
$2$ से गुणा करने पर: $-2 \leq 1 - |x| \leq 2$.
$1$ घटाने पर: $-3 \leq -|x| \leq 1$.
$-1$ से गुणा करने पर (असमिकाएं बदल जाएंगी): $-1 \leq |x| \leq 3$.
चूंकि $|x|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,$|x| \leq 3$ का अर्थ है $-3 \leq x \leq 3$.
अतः,प्रांत $x \in [-3, 3]$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x)$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ की जाँच करते हैं।
माना $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ है।
तब $g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$ है।
$\sqrt{1 + x^2} + x$ से गुणा और भाग करने पर,हमें मिलता है $g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$ है।
अतः,$g(x)$ एक विषम फलन है।
अब,$f(x) = \sec(g(x))$ है।
चूँकि $\sec(- \theta) = \sec(\theta)$ होता है,इसलिए $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$ है।
इसलिए,$f(x)$ एक सम फलन है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = 5 - x^2$ और $g(x) = 3x - 4$ हैं।
$(f \circ g)(-1)$ ज्ञात करने के लिए,हम फलनों के संयोजन की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$।
सबसे पहले,$g(-1)$ की गणना करें:
$g(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7$।
अब,इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)$।
$f(x)$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f(-7) = 5 - (-7)^2 = 5 - 49 = -44$।
अतः,$(f \circ g)(-1)$ का मान $-44$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x + 2$ जहाँ $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
फलन के मानों की गणना करने पर:
$f(1) = 1 + 2 = 3$
$f(2) = 2 + 2 = 4$
$f(3) = 3 + 2 = 5$
$f(4) = 4 + 2 = 6$
चूंकि समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का समुच्चय $B$ में एक अलग प्रतिबिंब है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) है।
चूंकि परिसर $\{3, 4, 5, 6\}$ सह-प्रांत $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है।

(C) दिया गया है,$y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \ldots (1+x^{2^{n}})$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \ldots + \log(1+x^{2^{n}})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}} \right]$.
$x=0$ पर,$y = (1+0)(1+0) \ldots (1+0) = 1$.
अवकलज व्यंजक में $x=0$ रखने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1 \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \ldots + 0 \right] = 1 \times 1 = 1$.

(B) दिया गया वक्र $y = x^2 - 3x + 2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$।
दी गई रेखा $y = x$ है,जिसकी ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा $y = x$ के लंबवत है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ की शर्त को पूरा करना होगा।
अतः,$1 \times (2x - 3) = -1$,जिसका अर्थ है $2x - 3 = -1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = 2$,इसलिए $x = 1$।
$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = 1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$।
अतः,बिंदु $(1, 0)$ है।

(C) वक्र का समीकरण $xy = 4$ है,जिसे $y = \frac{4}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है,वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल,रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए:
$-\frac{4}{x^2} = -\frac{a}{b} \implies \frac{a}{b} = \frac{4}{x^2}$।
सभी $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है,इसलिए $\frac{a}{b} > 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $a$ और $b$ का चिह्न समान होना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,$a < 0$ और $b < 0$ की स्थिति $\frac{a}{b} > 0$ को संतुष्ट करती है।

(B) हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = f \times \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \times \frac{f}{v} = -\frac{f}{v^3}$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = At^2 + Bt + C$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dx}{dt} = 2At + B$।
अब,$v^2$ की गणना करें: $v^2 = (2At + B)^2 = 4A^2t^2 + 4ABt + B^2$।
आगे,$4Ax$ की गणना करें: $4Ax = 4A(At^2 + Bt + C) = 4A^2t^2 + 4ABt + 4AC$।
अब,$4Ax$ में से $v^2$ घटाएं: $4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$।
व्यंजक को सरल करने पर: $4Ax - v^2 = 4AC - B^2$।

(B) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 40$ किस अंतराल में ह्रासमान (monotonically decreasing) है,हम पहले इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 40) = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.
अब,अवकलज का गुणनखंड करते हैं:
$f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)$.
एक फलन ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
हम वेवी कर्व (wavy curve) विधि का उपयोग करके $f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
- $x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
- $0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
- $1 < x < 2$ के लिए,$f'(x) < 0$.
- $x > 2$ के लिए,$f'(x) > 0$.
अतः,फलन $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$ के लिए ह्रासमान है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $1 < x < 2$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot \frac{d}{dx}(x^4 - x^3 + x^2)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot (4x^3 - 3x^2 + 2x)$
$f'(x) = e^{(x^4 - x^3 + x^2)} \cdot x(4x^2 - 3x + 2)$.
द्विघात व्यंजक $4x^2 - 3x + 2$ के लिए,विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23 < 0$ है।
चूंकि गुणांक $4 > 0$ और $D < 0$ है,इसलिए $4x^2 - 3x + 2$ हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$f'(x)$ का चिह्न केवल $x$ पर निर्भर करता है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$,इसलिए फलन ह्रासमान (decreasing) है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$,इसलिए फलन वर्धमान (increasing) है।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f(0) = e^{(0^4 - 0^3 + 0^2)} = e^0 = 1$ है।

(A) विस्थापन $x = t^4 - k t^3$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$.
न्यूनतम वेग की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 6kt$.
$t = 2$ पर वेग न्यूनतम होने के लिए,समय के सापेक्ष वेग का अवकलन $t = 2$ पर शून्य होना चाहिए:
$\frac{dv}{dt} \big|_{t=2} = 12(2)^2 - 6k(2) = 0$.
$12(4) - 12k = 0$.
$48 - 12k = 0$.
$12k = 48$.
$k = 4$.
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(B) वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ ढाल अधिकतम है,हमें $f'(x)$ को अधिकतम करना होगा। मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ है।
$g(x)$ के अधिकतम होने के लिए,हम $g'(x) = f''(x) = 0$ रखते हैं।
$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$ है।
$f''(x) = 0$ रखने पर $2e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e^x \neq 0$,इसलिए $\cos x = 0$ होगा।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = 0$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।
हम $g(x)$ का द्वितीय अवकलज जाँचते हैं,जो $g'(x) = f''(x) = 2e^x \cos x$ है।
$g''(x) = f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$ है।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2e^{\pi/2}(0 - 1) = -2e^{\pi/2} < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \frac{3\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{3\pi}{2}) = 2e^{3\pi/2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi/2} > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,ढाल $x = \frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम है।

(D) किसी फलन $f(x)$ के लिए $[a, b]$ अंतराल में रोले का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(x)=|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-2, 2)$ के भीतर आता है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ $f(x)=\tan x$,$x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत नहीं है,जो $[0, \pi]$ के भीतर आता है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(C)$ $f(x)=1+(x-2)^{\frac{2}{3}}$,$x=2$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(1, 3)$ के भीतर आता है क्योंकि $f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}$। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $f(x)=x(x-2)^2$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है। साथ ही,$f(0) = 0(0-2)^2 = 0$ और $f(2) = 2(2-2)^2 = 0$। चूँकि $f(0) = f(2)$,सभी शर्तें पूरी होती हैं। इसलिए,रोले का प्रमेय लागू होता है।

(B) हम जानते हैं कि $1 + \cos x = 2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$\int \sqrt{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \, dx = \int \sqrt{2} \left| \cos \left(\frac{x}{2}\right) \right| \, dx$.
मान लीजिए $\cos \left(\frac{x}{2}\right) > 0$,तो हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{2} \int \cos \left(\frac{x}{2}\right) \, dx$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{1/2} + C = 2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{x}{2}\right) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{\log \sqrt{x}}{3 x} d x$ है।
$z = \log \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log x$ प्रतिस्थापित करें।
तब,$dz = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x} = 2 dz$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{z}{3} (2 dz) = \frac{2}{3} \int z dz$।
$z$ का $z$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{2}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + C = \frac{1}{3} z^2 + C$।
$z = \log \sqrt{x}$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} (\log \sqrt{x})^2 + C$।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(e^x + e^{-x})^2}$.
अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{2x} dx}{(e^x \cdot e^x + e^{-x} \cdot e^x)^2} = \int \frac{e^{2x} dx}{(e^{2x} + 1)^2}$.
माना $u = e^{2x} + 1$. तब $du = 2e^{2x} dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{du/2}{u^2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{1}{2u} + C$.
$u = e^{2x} + 1$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2(e^{2x} + 1)} + C = -\frac{1}{2}(e^{2x} + 1)^{-1} + C$.

(C) हम मानक समाकलन सूत्र जानते हैं: $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
दिया गया समाकलन: $I = \int e^{x} \left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}\right) dx$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{2}{x}$.
तब,$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^{-1}) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $I = \int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
अतः,$I = e^{x} \left(\frac{2}{x}\right) + C = \frac{2 e^{x}}{x} + C$.

(A) दिया गया है कि $\frac{d}{dx}\{f(x)\} = g(x)$.
मान लीजिए $I = \int_a^b f(x) g(x) dx$.
समाकलन में $g(x) dx = df(x)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{f(a)}^{f(b)} f(x) df(x)$.
समाकलन के लिए घात नियम $\int u du = \frac{u^2}{2} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{\{f(x)\}^2}{2} \right]_a^b$.
$I = \frac{1}{2} \left[ f^2(b) - f^2(a) \right]$.

(C) समाकलन $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम वालिस के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ (जब $n$ विषम संख्या हो)।
यहाँ $n = 5$ है,इसलिए:
$I = \frac{(5-1) \times (5-3)}{5 \times 3 \times 1} = \frac{4 \times 2}{5 \times 3 \times 1} = \frac{8}{15}$।
वैकल्पिक रूप से,प्रतिस्थापन विधि द्वारा:
$I = \int_0^{\pi / 2} \sin^4 x \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$।
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$। जब $x = 0, u = 1$; जब $x = \pi / 2, u = 0$।
$I = -\int_1^0 (1 - u^2)^2 \, du = \int_0^1 (1 - 2u^2 + u^4) \, du$।
$I = [u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15}$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$ है।
चूंकि $|\sin x|$ एक सम फलन है,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi / 2]$ में,$\sin x \geq 0$ होता है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ है।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi / 2}$.
$I = 2 [-\cos(\pi / 2) - (-\cos(0))]$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$.

(C) माना $g(x) = f(\cos^2 x)$ है।
चूँकि $\cos^2(x + \pi) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$,फलन $g(x)$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
निश्चित समाकलन के आवर्ती फलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\int_0^{n T} g(x) dx = n \int_0^T g(x) dx$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
यहाँ,$T = \pi$ और $n = 3$ है।
इसलिए,$I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx = 3 \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$।
चूँकि $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ है,इसलिए $I_1 = 3 I_2$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ दिया गया है।
चूंकि $1 < \pi / 2 < 2$,इसलिए $x \in (0, 1)$ के लिए,$x^2 < x^{\pi / 2} < x^1$ होता है।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1+x^2 < 1+x^{\pi / 2} < 1+x$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर असमिका बदल जाती है: $\frac{1}{1+x^2} > \frac{1}{1+x^{\pi / 2}} > \frac{1}{1+x}$।
$0$ से $1$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[\tan^{-1}(x)]_{0}^{1} > I > [\log_{e}(1+x)]_{0}^{1}$।
$\frac{\pi}{4} > I > \log_{e}(2)$।
अतः,सही संबंध $\log_{e} 2 < I < \pi / 4$ है।

(B) दिए गए वक्र $y^2 = x$ (दाहिनी ओर खुलने वाला परवलय) और $y = |x|$ ($V$-आकार का ग्राफ) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y^2 = x$ और $y = |x|$ को बराबर रखते हैं।
चूंकि $y = |x|$,इसलिए $y^2 = x^2$ होता है।
$y^2 = x$ को $x^2 = y^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x - 1) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 1$ पर हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,वक्र $y = \sqrt{x}$ रेखा $y = x$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) $y=3x-5$,$x$-अक्ष $(y=0)$,और रेखाओं $x=3$ तथा $x=5$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{3}^{5} (3x-5) \, dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{3x^2}{2} - 5x \right]_{3}^{5}$
ऊपरी सीमा $x=5$ रखने पर:
$\left( \frac{3(5)^2}{2} - 5(5) \right) = \left( \frac{75}{2} - 25 \right) = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$
निचली सीमा $x=3$ रखने पर:
$\left( \frac{3(3)^2}{2} - 5(3) \right) = \left( \frac{27}{2} - 15 \right) = \frac{27-30}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$
अंतिम क्षेत्रफल की गणना करने पर:
$A = 12.5 - (-1.5) = 12.5 + 1.5 = 14 \text{ वर्ग इकाई}$

(D) दिए गए परवलय $y=4x^2 \implies x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ और $y=\frac{x^2}{9} \implies x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $y=0$ से $y=2$ तक $x = 3\sqrt{y}$ और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{2} (3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2}) dy$.
$A = 2 \int_{0}^{2} (\frac{6\sqrt{y} - \sqrt{y}}{2}) dy = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy$.
$A = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy = 5 [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{0}^{2}$.
$A = 5 \times \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{10}{3} (2^{3/2} - 0)$.
$A = \frac{10}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{2!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{1}{3!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \dots$ है।
यह श्रेणी चरघातांकी फलन $e^{\frac{dy}{dx}}$ का विस्तार है।
अतः,समीकरण को $x = e^{\frac{dy}{dx}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(x) = \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \ln(x)$ है।
इस समीकरण में,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है।
इसलिए,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(B) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ द्वारा दी गई है।
यह $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - y e^{-x} = 2x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = 2x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y e^{-x} = \int 2x e^{-x} dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2x e^{-x} dx = 2x(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
अतः,$y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$.
$e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y = -2x - 2 + C e^x$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले वक्र के लिए,$0 = 0 - 2 + C(1) \Rightarrow C = 2$.
इस प्रकार,$y = 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1)$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \, dy - y \, dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \, dy = y \, dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमारे पास $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$ है,जहाँ $\ln|c|$ समाकलन स्थिरांक है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\ln|y| = \ln|cx|$,जिसका अर्थ है $y = cx$।
समीकरण $y = cx$ मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $100 \frac{d^2 y}{dx^2}-20 \frac{dy}{dx}+y=0$ है।
व्यापक हल ज्ञात करने के लिए,हम सहायक समीकरण $100 m^2 - 20 m + 1 = 0$ लिखते हैं।
इसे $(10 m - 1)^2 = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
$m$ के लिए हल करने पर,हमें $m = \frac{1}{10}$ एक पुनरावृत्त मूल के रूप में प्राप्त होता है।
पुनरावृत्त मूल $m$ वाले द्वितीय-कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के लिए,व्यापक हल $y = (c_1 + c_2 x) e^{mx}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = \frac{1}{10}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = (c_1 + c_2 x) e^{\frac{x}{10}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y'' - 3y' + 2y = 0$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $m^2 - 3m + 2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(m - 1)(m - 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए मूल $m = 1$ और $m = 2$ हैं।
सामान्य हल $y(x) = Ae^x + Be^{2x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करने पर:
$x = 0$ पर,$y(0) = A + B = 1$।
$x = 0$ पर,$y'(0) = A + 2B = 0$।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर,$B = -1$ प्राप्त होता है।
$B = -1$ को $A + B = 1$ में रखने पर,$A = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,विशिष्ट हल $y(x) = 2e^x - e^{2x}$ है।
अब,$x = \log_{e} 2$ पर $y$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(\log_{e} 2) = 2e^{\log_{e} 2} - e^{2\log_{e} 2} = 2(2) - (e^{\log_{e} 2})^2 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$।