જો વિકલ સમીકરણ x y^{prime}=y+x^2 sin x નો ઉકે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.આ $\frac{y}{x}$ નું

Vedclass · Accepted Answer

$\alpha=\cot \frac{\alpha}{2}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.આ $\frac{y}{x}$ નું વિકલન છે,તેથી $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} ight) = \sin x$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.આપેલ છે કે $y(\pi) = 0$,તેથી $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.આમ,$y = -x \cos x - x$.$x = \alpha$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય માટે,આપણે $\frac{d y}{d x} = 0$ લઈએ.$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.$x = \alpha$ આગળ,$\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.$\cos \frac{\alpha}{2} 
eq 0$ હોવાથી,$\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

જો વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime}=y+x^2 \sin x$ નો ઉકેલ $y(\pi)=0$ શરતને આધીન $y=f(x)$ હોય અને $f(x)$ ને $x=\alpha$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય (extreme value) હોય,તો

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$,$x > -2$,અને $\phi(0) = 4$ હોય,તો $\phi(2)$ ની કિંમત .... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module