TS EAMCET 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (ધારો).
તેથી,$x = \log_a k$,$y = \log_b k$,$z = \log_c k$,$w = \log_d k$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{x} = \log_k a$,$\frac{1}{y} = \log_k b$,$\frac{1}{z} = \log_k c$,$\frac{1}{w} = \log_k d$.
આપણે $x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,$x\left(\log_k b + \log_k c + \log_k d\right) = x \log_k(bcd)$.
$x = \log_a k$ હોવાથી,પદાવલિ $\log_a k \cdot \log_k(bcd)$ બને છે.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,$\log_a k \cdot \log_k(bcd) = \log_a(bcd)$.

(B) આપેલ છે,$\frac{3x}{(x-a)(x-b)} = \frac{2}{x-a} + \frac{1}{x-b}$
બંને બાજુ $(x-a)(x-b)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3x = 2(x-b) + 1(x-a)$
$3x = 2x - 2b + x - a$
$3x = 3x - (a + 2b)$
બંને બાજુ અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = -(a + 2b)$
$a + 2b = 0$
$a = -2b$
તેથી,$\frac{a}{b} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $a:b = -2:1$.

(D) પ્રથમ,$8$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. ગોળાકારમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$8$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતો $(8-1)! = 7!$ છે.
પુરુષોને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $8$ જગ્યાઓ બને છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $4$ સ્ત્રીઓને આ $8$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવી પડશે.
$8$ જગ્યાઓમાં $4$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતો ${}^{8}P_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $7! \times {}^{8}P_{4}$ છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $275$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2200}}{2} = \frac{3 \pm 47}{2}$
$n$ ધન હોવાથી,$n = \frac{50}{2} = 25$.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $n = 25$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,
શ્રેણીમાં $\frac{3}{4}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$S = \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\theta$ પ્રથમ ચરણમાં છે અને $5 \tan \theta = 4$.
પદાવલિના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$
$\tan \theta = \frac{4}{5}$ મૂકતા:
$\frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{\frac{4}{5} + 2} = \frac{4 - 3}{\frac{4 + 10}{5}} = \frac{1}{\frac{14}{5}} = \frac{5}{14}$.

(D) આપેલ છે,$\cos (A-B)=3/5$ અને $\tan A \tan B=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$.
કોમ્પોનેન્ડો અને ડિવિડેન્ડોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \frac{2+1}{2-1}$.
આ $\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = 3$ માં પરિણમે છે.
$\cos (A-B) = 3/5$ મૂકતા:
$\frac{3/5}{\cos (A+B)} = 3$.
$\cos (A+B) = -1/5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\sin A+\sin B=\sqrt{3}(\cos B-\cos A)$.
પદોને ગોઠવતા,$\sin A+\sqrt{3}\cos A=\sqrt{3}\cos B-\sin B$ મળે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2}\sin A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B$ મળે.
આને $\sin A \cos \frac{\pi}{3}+\cos A \sin \frac{\pi}{3}=\sin \frac{\pi}{3} \cos B-\cos \frac{\pi}{3} \sin B$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$ અને $\sin(x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(A+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3}-B)$ મળે.
તેથી,$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-B$,જેનો અર્થ છે કે $A=-B$.
હવે,$\sin 3A+\sin 3B = \sin 3(-B)+\sin 3B = -\sin 3B+\sin 3B = 0$.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(6,3), B(-6,3)$ અને $C(-6,-3)$ છે. $AB$ સમક્ષિતિજ છે અને $BC$ શિરોલંબ છે,તેથી $\triangle ABC$ એ $B(-6,3)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$1$. $P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $P = (\frac{-6-6}{2}, \frac{3-3}{2}) = (-6,0)$. તેથી,$i \rightarrow D$.
$2$. રેખા $AC$ નું સમીકરણ $x = 2y$ છે. $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $(y=0)$ $Q(0,0)$ છે. તેથી,$ii \rightarrow A$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $R$ એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ છે. અહીં,$R = B(-6,3)$. તેથી,$iii \rightarrow F$.
$4$. મધ્યકેન્દ્ર $S = (\frac{6-6-6}{3}, \frac{3+3-3}{3}) = (-2,1)$. તેથી,$iv \rightarrow C$.
સાચો ક્રમ $D, A, F, C$ છે.

(B) ધ્રુવીય યામ $(r_1, \theta_1)$,$(r_2, \theta_2)$ અને $(r_3, \theta_3)$ ધરાવતા શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) + r_2 r_3 \sin(\theta_3 - \theta_2) + r_3 r_1 \sin(\theta_1 - \theta_3)|$
આપેલ કિંમતો $(1, 0)$,$(2, \frac{\pi}{3})$ અને $(3, \frac{2\pi}{3})$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |1 \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{3} - 0) + 2 \cdot 3 \sin(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + 3 \cdot 1 \sin(0 - \frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |2 \sin(\frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \sin(-\frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}| = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ એ રેખા $5x+\lambda y-8=0$ પર હોવું જોઈએ.
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $20 + 2\lambda - 24 = 0$.
$2\lambda - 4 = 0$.
$2\lambda = 4$.
$\lambda = 2$.

(B) આપેલ લક્ષ: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{\sin x}}{2(x-\sin x)}$
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}(e^{x-\sin x}-1)}{2(x-\sin x)}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x - \sin x$:
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $u = x - \sin x \rightarrow 0$.
તેથી,લક્ષ આ મુજબ થશે: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}}{2} \times \lim _{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u}$
$L = \frac{e^0}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ,બિંદુઓ $A(-3, 4, -2)$ અને $B(2, 1, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
બિંદુ $P$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ છે.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-2x^2+3x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
આપણે $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$
કિંમતો મૂકતા:
$(3)^2 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 2(4)(2)$
$9 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 16$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9 - 16 = -7$

(C) આપેલ છે કે $1, 2, 3, 4$ એ સમીકરણ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ છે.
તેથી,આપણે બહુપદીને આ રીતે લખી શકીએ:
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$((x-1)(x-4))((x-2)(x-3)) = (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
ધારો કે $y = x^2-5x$. તો પદાવલિ $(y+4)(y+6) = y^2+10y+24$ બને છે.
$y = x^2-5x$ પાછું મૂકતા:
$(x^2-5x)^2 + 10(x^2-5x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$.
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a = -10, b = 35, c = -50, d = 24$.
હવે,$a+2b+c$ ની ગણતરી કરતા:
$a+2b+c = -10 + 2(35) - 50 = -10 + 70 - 50 = 10$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
ધારો કે $p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ અને $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{1}{1+\gamma}$ અને $\beta = \frac{1}{1+\delta}$.
$\alpha$ એ $a x^2+b x+c=0$ નું બીજ હોવાથી,$a(\frac{1}{1+x})^2 + b(\frac{1}{1+x}) + c = 0$.
$a + b(1+x) + c(1+x)^2 = 0$.
$a + b + bx + c(1 + 2x + x^2) = 0$.
$c x^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$.
આને $p x^2+q x+r=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r = a+b+c$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} - \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \ldots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લઘુગણકીય વિસ્તરણ: $\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
આપેલ શ્રેણીને વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણે $x = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\log _e\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^4}{4} + \ldots$
$= \log _e\left(\frac{3}{2}\right)$.

(A) આપેલ છે,$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^n=1$.
આપણે સંકર સંખ્યાને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,સમીકરણ $(e^{i\pi/6})^n = 1$ બને છે,જે $e^{in\pi/6} = 1$ છે.
$e^{i\theta} = 1$ માટે,$\theta$ એ $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોવો જોઈએ.
આમ,$\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$n = 12k$.
$k=1$ માટે,$n=12$.
તેથી,$n=12$ એ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી $\bar{a} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(i)$ $a \bar{a} = |a|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. જે $(D)$ સાથે જોડાય છે.
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right) = \arg(a) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. જે $(A)$ સાથે જોડાય છે.
$(iii)$ $a - \bar{a} = \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -i \sqrt{3}$. જે $(B)$ સાથે જોડાય છે.
$(iv)$ $\frac{4}{3a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3} + i \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} + i \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ, $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. જે $(F)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી, સાચું જોડાણ $(i)-D, (ii)-A, (iii)-B, (iv)-F$ છે.

(A) આપેલ છે,$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
આ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
$b-a, c-b, a$ એ $GP$ માં હોવાથી,$(c-b)^2 = (b-a)a$ થાય.
$AP$ માં,$b-a = c-b = d$ (સામાન્ય તફાવત).
$GP$ ની શરતમાં $c-b = b-a$ મૂકતા:
$(b-a)^2 = (b-a)a$.
જો $b \neq a$ હોય,તો $b-a = a$ મળે,જેનો અર્થ છે $b = 2a$.
$2b = a + c$ માં $b = 2a$ મૂકતા,$2(2a) = a + c$ મળે,તેથી $4a = a + c$,જેનો અર્થ છે $c = 3a$.
આમ,$a: b: c = a: 2a: 3a = 1: 2: 3$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \ldots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,
$n = -1/2$ માટે,$(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \ldots$
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$ અને $T_n = \sum_{k=1}^{n} k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ છે.
$S_n$ ના સૂત્રમાં $T_n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $S_n = (T_n)^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $S_n = T_n^2$ છે.

(A) આપણી પાસે $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ છે.
$e^x$ ને $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ તરીકે વિસ્તૃત કરતા:
$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$.
$x^k$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
પ્રથમ પદમાંથી સહગુણક $\frac{1}{k!}$ મળે.
બીજા પદમાંથી $n+1=k$ લેતા,સહગુણક $-2 \times \frac{1}{(k-1)!}$ મળે.
ત્રીજા પદમાંથી $n+2=k$ લેતા,સહગુણક $-1 \times \frac{1}{(k-2)!}$ મળે.
કુલ સહગુણક: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$.

(D) આપણી પાસે છે,$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_{2n}x^{2n}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + 2na_{2n}x^{2n-1}$.
હવે,$x=1$ મૂકતા:
$n(1+1+1)^{n-1}(1+2(1)) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
તેથી,$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n} = n \cdot 3^n$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
તેથી,$\tan A - \tan B = \tan(A-B)(1 + \tan A \tan B)$.
$A = 80^{\circ}$ અને $B = 10^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan 80^{\circ} - \tan 10^{\circ} = \tan(80^{\circ}-10^{\circ})(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}) = \tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})$.
હવે,$\frac{\tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} = \frac{\tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})}{\tan 70^{\circ}} = 1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}$.
કારણ કે $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ}$,તેથી $1 + \cot 10^{\circ} \tan 10^{\circ} = 1 + 1 = 2$.

(B) $(1, -2)$ અને $(3, 2)$ બિંદુઓને જોડતી રેખા $L_1$ ધારો. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
બીજી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $x + 2y - 7 = 0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
હવે,ઢાળનો ગુણાકાર: $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) ધારો કે $A = (2, -1)$ અને $B = (6, 5)$. રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{5 - (-1)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $3x - 2y - 8 = 0$ છે.
લંબ રેખા $PD$ નો ઢાળ $m' = -\frac{2}{3}$ છે.
$P(4, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PD$ નું સમીકરણ $2x + 3y - 11 = 0$ છે.
ગણતરી મુજબ,લંબપાદ $AB$ ને $5: 8$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2+4xy+5y^2-4x-22y+7=0$ છે.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=2, b=5, g=-2, f=-11, c=7$ મળે છે.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને એવા બિંદુ $(h', k')$ પર સ્થળાંતરિત કરવું જોઈએ જે આંશિક વિકલન $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ નો ઉકેલ હોય.
$\frac{\partial}{\partial x} = 4x+4y-4 = 0 \implies x+y=1$
$\frac{\partial}{\partial y} = 4x+10y-22 = 0 \implies 2x+5y=11$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$x = 1-y$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2(1-y)+5y=11 \implies 2-2y+5y=11 \implies 3y=9 \implies y=3$.
તેથી $x = 1-3 = -2$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(-2, 3)$ પર સ્થળાંતરિત કરવું જોઈએ.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે અને રેખા $y=3x+c$ છે,જેને $\frac{y-3x}{c}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2=4(1)^2$
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$.

(A) આપેલ છે,ત્રિજ્યા $r = 3$.
વર્તુળ ચોથા ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(h, k) = (3, -3)$ થશે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$.
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$.
વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 9$.
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 18 = 9$.
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 = 0$.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ માટે પોલર (polar) નું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = x + 1$ છે.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે,જે માંગેલ પ્રતિવર્તી બિંદુ છે.

(D) કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2 \lambda x+c=0$ છે.
લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ એ સિસ્ટમના પોઈન્ટ સર્કલના કેન્દ્રો છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r=0$ હોય ત્યારે પોઈન્ટ સર્કલ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$g=\lambda$,$f=0$,અને અચળ પદ $c$ છે.
તેથી,$r = \sqrt{\lambda^2-c}$.
લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ અલગ હોવા માટે,ત્રિજ્યા કાલ્પનિક હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\lambda^2-c < 0$,અથવા $c > \lambda^2$.
જોકે,સિસ્ટમ પાસે વાસ્તવિક અને અલગ લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ હોવા માટેની શરત $c > 0$ છે.

(B) આપેલ પરવલય $y^2+6y-2x+5=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2+6y+9-9-2x+5=0$
$(y+3)^2-4-2x=0$
$(y+3)^2=2(x+2)$.
$(y-k)^2=4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, -3)$ મળે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
નિયામિકા માટે,$4a=2 \implies a=\frac{1}{2}$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h-a$ છે.
$x = -2 - \frac{1}{2} = -2.5$,અથવા $2x+5=0$.
વિધાન $II$ માં આપેલ નિયામિકા $y+3=0$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $\frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} = 1$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (k, -1)$,$a^2 = 3$,અને $b^2 = 2$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{(1)(k)}{3} + \frac{(2)(-1)}{2} = 1$
$\frac{k}{3} - 1 = 1$
$\frac{k}{3} = 2$
$k = 6$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $lx + my - 1 = 0$ છે,તેથી $n = -1$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,રેખા $lx + my + n = 0$ અભિલંબ હોવાની શરત $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{n^2}$ છે.
$n = -1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{(-1)^2} = (a^2 + b^2)^2$.

(B) આપણને વિધેય $f(x) = \frac{\sin(1+[x])}{[x]}$ આપેલ છે,જ્યાં $[x] \neq 0$.
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ શોધવા માટે,આપણે $0$ થી સહેજ નાની $x$ ની કિંમતો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$x \in (-1, 0)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = -1$ થાય છે.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(1+[x])}{[x]} = \frac{\sin(1+(-1))}{-1} = \frac{\sin(0)}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{\sin x}}{2(x-\sin x)}$
અંશમાં $e^{\sin x}$ સામાન્ય લેતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}(e^{x-\sin x}-1)}{2(x-\sin x)}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x - \sin x$:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{\sin x}}{2} \cdot \frac{e^{x-\sin x}-1}{x-\sin x} \right)$
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $e^{\sin x} \rightarrow e^0 = 1$ અને $\frac{e^{x-\sin x}-1}{x-\sin x} \rightarrow 1$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,નીચેના પ્રમાણિત નિત્યસમ સાચા છે:
$1$. અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને બહિરત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ નો ગુણાકાર $r r_1 r_2 r_3 = \Delta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$2$. બહિરત્રિજ્યાઓના બે-બેના ગુણાકારનો સરવાળો $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આથી,બંને વિધાનો $(I)$ અને $(II)$ સાચા છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $a+b+c = 2s$,જ્યાં $s$ એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{r}{s-b}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
તેથી,$(a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right) = 2s \left(\frac{r}{s-a} + \frac{r}{s-b}\right)$.
$= 2sr \left(\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)}\right) = 2sr \left(\frac{c}{(s-a)(s-b)}\right)$.
$r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ હોવાથી,આ પદ સાદું રૂપ આપતા $2c \cot \frac{C}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ છે,તેથી $C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $A = 45^{\circ}$ અને સૌથી મોટો ખૂણો $C = 75^{\circ}$ છે,તેથી સાઈન નિયમ મુજબ સૌથી નાની બાજુ $a$ અને સૌથી મોટી બાજુ $c$ નો ગુણોત્તર $\frac{a}{c} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ થાય.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\frac{a}{c} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
આમ,ગુણોત્તર $(\sqrt{3}-1) : 1$ છે.

(D) ધારો કે $y = \operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta)$.
તેથી,$\operatorname{sech} y = \sin \theta$.
કારણ કે $\operatorname{sech} y = \frac{1}{\cosh y}$,તેથી $\cosh y = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$.
આમ,$y = \cosh^{-1}(\operatorname{cosec} \theta)$.
વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કોસાઇન વિધેયના લઘુગણકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$,આપણને મળે છે:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1})$.
કારણ કે $\operatorname{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$,તેથી:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \log\left(\frac{1 + \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \log\left(\frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \log(\cot(\theta/2))$.
તેથી,$\operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta) = \log \cot \frac{\theta}{2}$.

(C) આપેલ છે કે,$f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$,જ્યાં $\frac{p}{q} \in Q$.
જો $p < q$ હોય,તો $p^2 - q^2 < 0$ થાય.
ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા ન હોવાથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
જોકે,ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ એ સંકર સંખ્યા (કાલ્પનિક સંખ્યા) છે,તેથી વિધાન $II$ સાચું છે.
તેથી,$I$ ખોટું છે અને $II$ સાચું છે.

(D) ધારો કે વસ્તુની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે $B$ એ જમીન પરનું બિંદુ છે જે વસ્તુ $A$ ની બરાબર નીચે છે,અને $C$ તથા $D$ એ જમીન પરના બે બિંદુઓ છે જેથી $CD = d$ અને $BD = x$ થાય.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{x+d} \Rightarrow x+d = h \cot \alpha$ $(i)$
$\triangle ABD$ માં,$\tan \beta = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot \beta$ (ii)
(ii) માંથી $x$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$h \cot \beta + d = h \cot \alpha$
$d = h \cot \alpha - h \cot \beta$
$d = h(\cot \alpha - \cot \beta)$
$h = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

(B) અમે અંદરના મૂળથી બહારની તરફ પદનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ:
$\sqrt{14-6 \sqrt{5}} = \sqrt{9+5-2(3)(\sqrt{5})} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = 3-\sqrt{5}$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા:
$\sqrt{6-3 \sqrt{5} + (3-\sqrt{5})} = \sqrt{9-4 \sqrt{5}}$.
અમે $\sqrt{9-4 \sqrt{5}}$ ને $\sqrt{9-2(2)(\sqrt{5})} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2$ તરીકે સાદું રૂપ આપીએ છીએ.
હવે,આ કિંમતને મુખ્ય પદમાં મૂકતા:
$\sqrt{2+\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)} = \sqrt{2+\sqrt{5}-\sqrt{5}+2} = \sqrt{4} = 2$.

(A) આપેલ છે,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (ધારો કે).
આધાર $a$ સાથે લઘુગણક લેતા:
$x = y \log_a b = z \log_a c = w \log_a d$.
તેથી,$\frac{1}{y} = \frac{\log_a b}{x}$,$\frac{1}{z} = \frac{\log_a c}{x}$,અને $\frac{1}{w} = \frac{\log_a d}{x}$.
હવે,$x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right) = x\left(\frac{\log_a b}{x} + \frac{\log_a c}{x} + \frac{\log_a d}{x}\right)$.
$= x \cdot \frac{1}{x} (\log_a b + \log_a c + \log_a d)$.
$= \log_a(bcd)$.

(D) આપેલ અસમતાઓ:
$1$) $x^2 - 3x - 10 < 0$
$(x - 5)(x + 2) < 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (-2, 5)$.
$2$) $10x - x^2 - 16 > 0$
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતાની નિશાની બદલાશે):
$x^2 - 10x + 16 < 0$
$(x - 2)(x - 8) < 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (2, 8)$.
બંને અસમતાઓ એકસાથે સંતોષાય તેવા $x$ ના મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે બંને ગણનો છેદગણ લેવો પડે:
$x \in (-2, 5) \cap (2, 8) = (2, 5)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
ધારો કે $yz$-સમતલ $A(-3, 4, -2)$ અને $B(2, 1, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
બિંદુ $P$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0
\implies 2k = 3
\implies k = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ છે.

(D) $10$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_2 = 45$ છે.
$6$ સફેદ દડામાંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_2 = 15$ છે.
$4$ કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_2 = 6$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $15 + 6 = 21$ છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $\frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ છે.

(C) $40$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_4 = 91390$ છે.
$4$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\{k, k+1, k+2, k+3\}$ સ્વરૂપના ગણની સંખ્યા છે,જ્યાં $1 \le k \le 37$.
આ સંખ્યા $37$ છે.
$4$ સંખ્યાઓ ક્રમિક હોય તેની સંભાવના $= \frac{37}{91390} = \frac{1}{2470}$ છે.
તેઓ ક્રમિક ન હોય તેની સંભાવના $= 1 - \frac{1}{2470} = \frac{2469}{2470}$ છે.

(A) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
યાદચ્છિક ચલના વર્ગનું અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ નીચે મુજબ છે:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ નું વિચરણ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(B) આપેલ છે,$y=\frac{1}{4} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
ગુણધર્મ $\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \tanh ^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{1}{4} (2 \tanh ^{-1} x) - \frac{1}{2} \tan ^{-1} x = \frac{1}{2} \tanh ^{-1} x - \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\tanh ^{-1} x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\tan ^{-1} x)$.
કારણ કે $\frac{d}{d x}(\tanh ^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$ અને $\frac{d}{d x}(\tan ^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,તેથી:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)$.
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \left(\frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2x^2}{1-x^4}\right) = \frac{x^2}{1-x^4}$.

(D) આપેલ છે કે,$x=\cos \theta$ અને $y=\sin 5 \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta$ અને $\frac{d y}{d \theta}=5 \cos 5 \theta$.
તેથી,$\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = \frac{5 \cos 5 \theta}{-\sin \theta} = -5 \cos 5 \theta \csc \theta$.
હવે,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d \theta}{d x}$ શોધો.
$\frac{d}{d \theta} (-5 \cos 5 \theta \csc \theta) = -5 [(-5 \sin 5 \theta) \csc \theta + \cos 5 \theta (-\csc \theta \cot \theta)] = 25 \sin 5 \theta \csc \theta + 5 \cos 5 \theta \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{d \theta}{d x} = \frac{1}{-\sin \theta} = -\csc \theta$ વડે ગુણતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -25 \sin 5 \theta \csc^2 \theta - 5 \cos 5 \theta \csc^2 \theta \cot \theta$.
હવે પદ $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}$ માં કિંમત મૂકતા:
કારણ કે $1-x^2 = \sin^2 \theta$ અને $x = \cos \theta$:
$\sin^2 \theta (-25 \sin 5 \theta \csc^2 \theta - 5 \cos 5 \theta \csc^2 \theta \cot \theta) - \cos \theta (-5 \cos 5 \theta \csc \theta)$
$= -25 \sin 5 \theta - 5 \cos 5 \theta \cot \theta + 5 \cos 5 \theta \cot \theta$
$= -25 \sin 5 \theta = -25 y$.

(B) આપેલ છે કે $z = \log(\tan x + \tan y)$.
પ્રથમ,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં $z$ ના આંશિક વિકલન મેળવીએ:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y}$
હવે,આ કિંમતોને $(\sin 2x) \frac{\partial z}{\partial x} + (\sin 2y) \frac{\partial z}{\partial y}$ પદમાં મૂકતા:
$= \sin 2x \left( \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y} \right) + \sin 2y \left( \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y} \right)$
$= \frac{(2 \sin x \cos x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (2 \sin y \cos y) \cdot \frac{1}{\cos^2 y}}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2 \tan x + 2 \tan y}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2(\tan x + \tan y)}{\tan x + \tan y} = 2$.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^2 + x - 1$ અને બિંદુ $(1, 1)$ છે.
પ્રથમ,વિકલન શોધો $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
કોઈ બિંદુ $(x, y)$ આગળ ઢાળ $m$ ધરાવતા વક્ર માટે:
સ્પર્શકની લંબાઈ $a = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |1| \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
અસ્પર્શકની લંબાઈ $b = |\frac{y}{m}| = |\frac{1}{3}| = 0.333$.
અભિલંબની લંબાઈ $c = |y| \sqrt{1 + m^2} = |1| \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
અભિલંબના અંશની લંબાઈ $d = |ym| = |1 \times 3| = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $b = 0.333$,$a = 1.054$,$d = 3$,$c = 3.162$.
આમ,ચડતો ક્રમ $b < a < d < c$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનો પરિઘ $S = 2 \pi r = 56 \text{ cm}$ છે.
આથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{56}{2 \pi} = \frac{28}{\pi} \text{ cm}$ થાય.
પરિઘમાં ત્રુટિ $\delta S = 2 \pi \delta r = 0.02 \text{ cm}$ આપેલ છે.
તેથી,$\delta r = \frac{0.02}{2 \pi} \text{ cm}$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta A}{A} = 2 \frac{\delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\delta A}{A} = 2 \times \frac{\frac{0.02}{2 \pi}}{\frac{28}{\pi}} = 2 \times \frac{0.02}{2 \pi} \times \frac{\pi}{28} = \frac{0.02}{28} = \frac{2}{2800} = \frac{1}{1400}$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{1400} \times 100 = \frac{1}{14} \%$.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં થતી ટકાવારી ત્રુટિ $1/14 \%$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
અંશને $A(\text{છેદ}) + B(\frac{d}{dx}(\text{છેદ}))$ સ્વરૂપે લખતા:
$\sin x+8 \cos x = A(4 \sin x+6 \cos x) + B(4 \cos x-6 \sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\sin x$ માટે: $4A - 6B = 1$.
$\cos x$ માટે: $6A + 4B = 8$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A = 1$ અને $B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{(4 \sin x+6 \cos x) + \frac{1}{2}(4 \cos x-6 \sin x)}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
$I = \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \frac{4 \cos x-6 \sin x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
$I = x + \frac{1}{2} \log |4 \sin x+6 \cos x| + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 1 = e^{x+y}$ છે.
ધારો કે $x + y = z$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$ મળે.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{dz}{dx} = e^z$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$e^{-z} dz = dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-z} dz = \int dx$.
આથી $-e^{-z} = x + c$ મળે.
$z = x + y$ પાછું મૂકતા,$-e^{-(x+y)} = x + c$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$x + e^{-(x+y)} + c = 0$ મળે.

(B) આપેલ છે,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,જે $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P = -1$ અને $Q = y+1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$.
$\int y e^{-y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
$e^y$ વડે ગુણતા,આપણને $x = -(y+2) + ce^y$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j} = a_3 \hat{j} - a_2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{j} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{j} = a_1(\hat{i} \times \hat{j}) + a_3(\hat{k} \times \hat{j}) = a_1 \hat{k} - a_3 \hat{i}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{k} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{k} = a_1(\hat{i} \times \hat{k}) + a_2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a_1 \hat{j} + a_2 \hat{i} = a_2 \hat{i} - a_1 \hat{j}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
હવે,માનના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2 = a_3^2 + (-a_2)^2 = a_3^2 + a_2^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + (-a_3)^2 = a_1^2 + a_3^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = a_2^2 + (-a_1)^2 = a_2^2 + a_1^2$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\overrightarrow{a}|^2$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ માટેનું સાચું કારણ છે.

(A) ધારો કે $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $7 \hat{i}-\hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓને જોડતી રેખાનું $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ દ્વારા $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = \frac{\lambda \vec{b} + 1 \vec{a}}{\lambda+1}$
$\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} = \frac{\lambda(7 \hat{i}-\hat{k})+(-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\lambda+1}$
$(\lambda+1)(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (7 \lambda-2) \hat{i}+3 \hat{j}+(5-\lambda) \hat{k}$
$\hat{i}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\lambda+1 = 7 \lambda-2$
$3 = 6 \lambda$
$\lambda = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda: 1 = 1: 2$ છે.

(B) સદિશ $\overrightarrow{a}$ પર સદિશ $\overrightarrow{b}$ ના લંબ પ્રક્ષેપનું સૂત્ર $\frac{(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}$ છે.
અહીં $\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (\lambda)(1) + (-3)(-1) + (1)(-1) = \lambda + 3 - 1 = \lambda + 2$ શોધો.
ત્યારબાદ,$|\overrightarrow{a}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$ શોધો.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{(\lambda + 2)}{3} (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ થશે.
આપેલ પ્રક્ષેપ $\frac{4}{3}(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ સાથે સરખાવતા,$\frac{\lambda + 2}{3} = \frac{4}{3}$ મળે.
તેથી,$\lambda + 2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2$.

(B) બાજુ $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(6-1, 11-(-1), 2-2) = (5, 12, 0)$ છે.
બાજુ $AC$ ના દિકગુણોત્તર $(1-1, 2-(-1), 6-2) = (0, 3, 4)$ છે.
સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેના ખૂણા $A$ નો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\cos A = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos A = \frac{(5)(0) + (12)(3) + (0)(4)}{\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos A = \frac{0 + 36 + 0}{\sqrt{25 + 144 + 0} \sqrt{0 + 9 + 16}}$
$\cos A = \frac{36}{\sqrt{169} \sqrt{25}}$
$\cos A = \frac{36}{13 \times 5} = \frac{36}{65}$.

(C) વિધેય $f(x) = \begin{cases} x-5 & \text{for } x \leq 1 \\ 4x^2-9 & \text{for } 1 < x < 2 \\ 3x+4 & \text{for } x \geq 2 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x = 2$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલિત $f^{\prime}(2^{+})$ શોધવા માટે:
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{f(x) - f(2)}{x-2}$
$x \geq 2$ માટે,$f(x) = 3x+4$. તેથી,$f(2) = 3(2) + 4 = 10$.
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(3x+4) - 10}{x-2}$
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{3x-6}{x-2}$
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{3(x-2)}{x-2}$
$f^{\prime}(2^{+}) = 3$.

(A) આપેલ વક્રો $y=x^2$ અને $y=x^3$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x^2 = x^3$ લો,જેનો અર્થ છે $x^2(1-x) = 0$.
આમ,વક્રો $x=0$ અને $x=1$ આગળ છેદે છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x^2 \ge x^3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|A(\operatorname{adj} A)| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$.
$|AB| = |A||B|$ હોવાથી,$|A| |\operatorname{adj} A| = 4^3 = 64$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે. અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$|A| \cdot |A|^2 = 64$,જેનો અર્થ છે કે $|A|^3 = 64$.
તેથી,$|A| = \sqrt[3]{64} = 4$.
અંતે,$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 4^2 = 16$.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ સમપરિમાણીય (homogeneous) છે,જેને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = O$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.
સમપરિમાણીય સંહતિ $AX = O$ માટે,જો $|A| \neq 0$ હોય,તો સંહતિનો માત્ર તુચ્છ ઉકેલ $(x=0, y=0, z=0)$ જ મળે.
તેથી,અ-તુચ્છ ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર હોય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6\end{array}\right]$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક ગણતા:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$

(B) આપેલ છે કે,$\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(\frac{1}{x}) = \cos^{-1}(x)$.
તેથી,$\tan(\cos^{-1}(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
વળી,$\tan^{-1}(2) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{1+2^2}}) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$.
તેથી,$\sin(\sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})) = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1-x^2}{x^2} = \frac{4}{5}$.
$5 - 5x^2 = 4x^2$.
$9x^2 = 5$.
$x^2 = \frac{5}{9}$.
$x>0$ હોવાથી,$x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{2 - \cos 3x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in R$ માટે,$-1 \leq \cos 3x \leq 1$.
$-1$ વડે ગુણતા,$-1 \leq -\cos 3x \leq 1$.
બધી બાજુ $2$ ઉમેરતા,$2 - 1 \leq 2 - \cos 3x \leq 2 + 1$,જે $1 \leq 2 - \cos 3x \leq 3$ થાય છે.
વ્યસ્ત લેતા,અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \cos 3x} \leq \frac{1}{1}$.
આમ,$\frac{1}{3} \leq f(x) \leq 1$.
તેથી,$f$ નો વિસ્તાર $[1/3, 1]$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=x-[x]$ અને $g(x)=[x]$ જ્યાં $x \in R$.
આપણે $f(g(x))$ શોધવાનું છે.
$f(x)$ માં $g(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f(g(x)) = f([x])$.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$f([x]) = [x] - [[x]]$.
કારણ કે $[x]$ એ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી પૂર્ણાંકનો મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય તે પોતે જ પૂર્ણાંક થાય,એટલે કે $[[x]] = [x]$.
તેથી,$f(g(x)) = [x] - [x] = 0$.

(D) આપેલ છે,$x=\cos \theta$ અને $y=\sin 5 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta$ અને $\frac{d y}{d \theta}=5 \cos 5 \theta$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d \theta}{d x}$ મેળવતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right) \cdot \left( -\frac{1}{\sin \theta} \right) = \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta}$.
આ કિંમતોને $(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x}$ માં મૂકતા:
$(1-\cos^2 \theta) \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) - \cos \theta \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right)$
$= \sin^2 \theta \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta} + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
આ પદાવલીનું સાદું રૂપ આપતા,$y = \sin(n \cos^{-1} x)$ માટેનું સૂત્ર $(1-x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0$ મુજબ,
અહીં $n=5$ હોવાથી,$(1-x^2) y'' - x y' = -25 y$ મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર $y=x^2+x-1$ અને બિંદુ $(x_1, y_1)=(1,1)$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
$(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 2(1)+1 = 3$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
અસ્પર્શકની લંબાઈ $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
અભિલંબની લંબાઈ $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.162$.
અભિલંબના અસ્પર્શકની લંબાઈ $D = |y_1 m| = |1 \times 3| = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $B (0.333) < A (1.054) < D (3) < C (3.162)$.
આમ,ચડતો ક્રમ $B, A, D, C$ છે.

(A) વિધેય $f(x)$ ને કોઈ પણ અંતિમ મૂલ્ય ન હોય તે માટે,તેનું વિકલન $f'(x)$ પોતાની નિશાની બદલવું જોઈએ નહીં. આનો અર્થ એ છે કે $f'(x)$ કાં તો હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) અથવા હંમેશા અ-ધન (non-positive) હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$.
તેનું વિકલન $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ છે.
જો $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી ન હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 2px + q = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય અથવા સમાન ઉકેલ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે વિવેચક (discriminant) $D \le 0$ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$.
$D \le 0$ લેતા,આપણને $4p^2 - 12q \le 0$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,$p^2 - 3q \le 0$ અથવા $p^2 \le 3q$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,શરત $p^2 < 3q$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) આપેલ છે,$f(x)=x e^{-x}$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$.
આગળ,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-1-1) = e^{-x}(x-2)$.
$x=1$ આગળ મૂલ્ય તપાસો:
$f^{\prime \prime}(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$.
જેથી $f^{\prime}(1) = 0$ અને $f^{\prime \prime}(1) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ માટેનું સાચું કારણ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x$.
$x = \cos 2\theta$ આદેશ લેતા,$dx = -2\sin 2\theta d\theta$ મળે.
તેથી $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
આમ,$I = \int \theta (-2\sin 2\theta) d\theta = -2 \int \theta \sin 2\theta d\theta$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I = -2 \left[ \theta \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \right] = \theta \cos 2\theta - \int \cos 2\theta d\theta = \theta \cos 2\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + c$.
અહીં $x = \cos 2\theta$ હોવાથી,$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ અને $\sin 2\theta = \sqrt{1-x^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1}{2} \cos^{-1} x \cdot x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c = \frac{1}{2} (x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1} dx$ છે.
અંશને $(e^x + 1) - 2$ તરીકે લખતા,
$I = \int \frac{(e^x + 1) - 2}{e^x + 1} dx = \int \left( 1 - \frac{2}{e^x + 1} \right) dx$.
$\int 1 dx = x$ અને $\int \frac{2}{e^x + 1} dx$ માટે,અંશ અને છેદને $e^{-x}$ વડે ગુણતા:
$\int \frac{2e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.
ધારો કે $v = 1 + e^{-x}$,તો $dv = -e^{-x} dx$.
તેથી,$\int \frac{2}{e^x + 1} dx = -2 \log (1 + e^{-x}) = -2 \log \left( \frac{e^x + 1}{e^x} \right) = -2 \log (e^x + 1) + 2x$.
આમ,$I = x - (-2 \log (e^x + 1) + 2x) + c = 2 \log (e^x + 1) - x + c$.
$f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 2 \log (e^x + 1) - x$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય,તો આપણે $f(x) = \sin^6 x \cos^5 x$ ચકાસીએ.
અહીં $f(2\pi - x) = \sin^6(2\pi - x) \cos^5(2\pi - x) = (-\sin x)^6 (\cos x)^5 = \sin^6 x \cos^5 x = f(x)$ હોવાથી,$I = 2 \int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$ થાય.
હવે,ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = 0$ જો $f(a-x) = -f(x)$ હોય,તો આપણે $f(\pi - x)$ ચકાસીએ.
$f(\pi - x) = \sin^6(\pi - x) \cos^5(\pi - x) = (\sin x)^6 (-\cos x)^5 = -\sin^6 x \cos^5 x = -f(x)$.
તેથી,$\int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx = 0$.
આમ,$I = 2 \times 0 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$.
અહીં વિધેય $g(x) = \frac{e^{-|x|}}{2}$ એ યુગ્મ વિધેય છે (એટલે કે $g(-x) = g(x)$),તેથી આપણે લખી શકીએ:
$f(t) = 2 \int_0^t \frac{e^{-x}}{2} dx = \int_0^t e^{-x} dx$.
સંકલન કરતા:
$f(t) = [-e^{-x}]_0^t = -e^{-t} - (-e^0) = 1 - e^{-t}$.
હવે,$t \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy = ae^x + be^{-x}$ છે.
પ્રથમ,ડાબી બાજુએ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
પદને સરળ બનાવતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
કારણ કે $ae^x + be^{-x} = xy$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$.
આમ,અંતિમ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{(vx)^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2 x^2}{x^2(v - 1)} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{v - 1}{v} d v = \frac{d x}{x}$.
$(1 - \frac{1}{v}) d v = \frac{d x}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (1 - \frac{1}{v}) d v = \int \frac{d x}{x}$.
$v - \ln |v| = \ln |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\frac{y}{x} - \ln |\frac{y}{x}| = \ln |x| + C$.
$\frac{y}{x} = \ln |\frac{y}{x}| + \ln |x| + C = \ln |y| + C$.
$e^{y/x} = e^{\ln |y| + C} = e^C \cdot y = ky$ (જ્યાં $k = e^C$ એક અચળાંક છે).
આમ,$e^{y/x} = ky$.

(B) આપેલ છે,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,જે $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P = -1$ અને $Q = y+1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$
$\int y e^{-y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
બંને બાજુ $e^y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x = -(y+2) + ce^y$.

(B) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$,અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ ધાર ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
અહીં,$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ આ સદિશો દ્વારા બનતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 1((-1)(-1) - (1)(2)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(2) - (-1)(1))$
$= 1(1 - 2) - 1(-1 - 1) + 1(2 + 1)$
$= 1(-1) - 1(-2) + 1(3)$
$= -1 + 2 + 3 = 4$.
આમ,ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ઘન એકમ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 6\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = 14\hat{i} - 5\hat{j} + p\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (6-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (14-6)\hat{i} + (-5 - (-1))\hat{j} + (p-2)\hat{k} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
સમરેખતા માટે,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{BC} = k\vec{AB}$ થાય.
$8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k} = k(4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$4k = 8 \Rightarrow k = 2$
$-2k = -4 \Rightarrow k = 2$
$k = p-2$
$k=2$ મૂકતા: $2 = p-2 \Rightarrow p = 4$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
$A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$ હોવાથી,$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
તેથી,$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - 0 = P(A)$.
વળી,$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{3}{4}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ મળે.
$np = 4$ માં $p = \frac{1}{4}$ મૂકતા,$n(\frac{1}{4}) = 4$,તેથી $n = 16$ મળે.
આપણે $P(X \geq 1)$ શોધવાનું છે. પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
તેથી,$P(X = 0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{16} = 1 \times 1 \times (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$.
આમ,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$.