TS EAMCET 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (माना).
तब,$x = \log_a k$,$y = \log_b k$,$z = \log_c k$,$w = \log_d k$.
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{x} = \log_k a$,$\frac{1}{y} = \log_k b$,$\frac{1}{z} = \log_k c$,$\frac{1}{w} = \log_k d$.
हमें $x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$x\left(\log_k b + \log_k c + \log_k d\right) = x \log_k(bcd)$.
चूंकि $x = \log_a k$,व्यंजक $\log_a k \cdot \log_k(bcd)$ हो जाता है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log_a k \cdot \log_k(bcd) = \log_a(bcd)$.

(B) दिया गया है,$\frac{3x}{(x-a)(x-b)} = \frac{2}{x-a} + \frac{1}{x-b}$
दोनों पक्षों को $(x-a)(x-b)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x = 2(x-b) + 1(x-a)$
$3x = 2x - 2b + x - a$
$3x = 3x - (a + 2b)$
दोनों पक्षों में अचर पदों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = -(a + 2b)$
$a + 2b = 0$
$a = -2b$
अतः,$\frac{a}{b} = -2$,जिसका अर्थ है कि $a:b = -2:1$।

(D) सबसे पहले,$8$ पुरुषों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$8$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीके $(8-1)! = 7!$ हैं।
पुरुषों को व्यवस्थित करने के बाद,उनके बीच $8$ स्थान बनते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $4$ महिलाओं को इन $8$ स्थानों में व्यवस्थित करना होगा।
$8$ स्थानों में $4$ महिलाओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके ${}^{8}P_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $7! \times {}^{8}P_{4}$ है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $275$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2200}}{2} = \frac{3 \pm 47}{2}$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{50}{2} = 25$ है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 25$ है।

(B) दी गई श्रेणी $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,
श्रेणी में $\frac{3}{4}$ जोड़ने और घटाने पर:
$S = \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है और $5 \tan \theta = 4$ है।
व्यंजक के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$
$\tan \theta = \frac{4}{5}$ रखने पर:
$\frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{\frac{4}{5} + 2} = \frac{4 - 3}{\frac{4 + 10}{5}} = \frac{1}{\frac{14}{5}} = \frac{5}{14}$.

(D) दिया गया है,$\cos (A-B)=3/5$ और $\tan A \tan B=2$.
हम जानते हैं कि $\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \frac{2+1}{2-1}$.
यह $\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = 3$ में सरल होता है।
$\cos (A-B) = 3/5$ रखने पर:
$\frac{3/5}{\cos (A+B)} = 3$.
$\cos (A+B) = -1/5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$\sin A+\sin B=\sqrt{3}(\cos B-\cos A)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin A+\sqrt{3}\cos A=\sqrt{3}\cos B-\sin B$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2}\sin A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B$ प्राप्त होता है।
इसे $\sin A \cos \frac{\pi}{3}+\cos A \sin \frac{\pi}{3}=\sin \frac{\pi}{3} \cos B-\cos \frac{\pi}{3} \sin B$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सूत्र $\sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$ और $\sin(x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$ का उपयोग करने पर,$\sin(A+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3}-B)$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-B$,जिसका अर्थ है $A=-B$.
अब,$\sin 3A+\sin 3B = \sin 3(-B)+\sin 3B = -\sin 3B+\sin 3B = 0$.

(C) शीर्ष $A(6,3), B(-6,3)$ और $C(-6,-3)$ हैं। $AB$ क्षैतिज है और $BC$ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B(-6,3)$ पर है।
$1$. $P, BC$ का मध्यबिंदु है। $P = (\frac{-6-6}{2}, \frac{3-3}{2}) = (-6,0)$। अतः,$i \rightarrow D$।
$2$. रेखा $AC$ का समीकरण $x = 2y$ है। $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(y=0)$ $Q(0,0)$ है। अतः,$ii \rightarrow A$।
$3$. समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र $R$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। यहाँ,$R = B(-6,3)$। अतः,$iii \rightarrow F$।
$4$. केंद्रक $S = (\frac{6-6-6}{3}, \frac{3+3-3}{3}) = (-2,1)$। अतः,$iv \rightarrow C$।
सही क्रम $D, A, F, C$ है।

(B) ध्रुवीय निर्देशांक $(r_1, \theta_1)$,$(r_2, \theta_2)$ और $(r_3, \theta_3)$ वाले शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) + r_2 r_3 \sin(\theta_3 - \theta_2) + r_3 r_1 \sin(\theta_1 - \theta_3)|$
दिए गए मानों $(1, 0)$,$(2, \frac{\pi}{3})$ और $(3, \frac{2\pi}{3})$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |1 \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{3} - 0) + 2 \cdot 3 \sin(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + 3 \cdot 1 \sin(0 - \frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |2 \sin(\frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \sin(-\frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}| = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ वर्ग इकाई}$

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
चूंकि रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ को रेखा $5x+\lambda y-8=0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $20 + 2\lambda - 24 = 0$.
$2\lambda - 4 = 0$.
$2\lambda = 4$.
$\lambda = 2$.

(B) दी गई सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{\sin x}}{2(x-\sin x)}$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}(e^{x-\sin x}-1)}{2(x-\sin x)}$
मानक सीमा $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x - \sin x$:
जैसे $x \rightarrow 0$,$u = x - \sin x \rightarrow 0$.
अतः,सीमा हो जाती है: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}}{2} \times \lim _{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u}$
$L = \frac{e^0}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

(A) माना कि $yz$-समतल,बिंदुओं $A(-3, 4, -2)$ और $B(2, 1, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$k: 1$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
चूंकि बिंदु $P$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ है।

(A) दिए गए त्रिघात समीकरण $x^3-2x^2+3x-4=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
हमें $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(3)^2 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 2(4)(2)$
$9 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 16$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9 - 16 = -7$

(C) दिया गया है कि $1, 2, 3, 4$ समीकरण $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं।
अतः,हम बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$((x-1)(x-4))((x-2)(x-3)) = (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
माना $y = x^2-5x$. तब व्यंजक $(y+4)(y+6) = y^2+10y+24$ हो जाता है।
$y = x^2-5x$ वापस रखने पर:
$(x^2-5x)^2 + 10(x^2-5x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$.
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = -10, b = 35, c = -50, d = 24$.
अब,$a+2b+c$ की गणना करने पर:
$a+2b+c = -10 + 2(35) - 50 = -10 + 70 - 50 = 10$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
माना $p x^2+q x+r=0$ के मूल $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ और $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ हैं।
तब $\alpha = \frac{1}{1+\gamma}$ और $\beta = \frac{1}{1+\delta}$.
चूंकि $\alpha$,$a x^2+b x+c=0$ का एक मूल है,इसलिए $a(\frac{1}{1+x})^2 + b(\frac{1}{1+x}) + c = 0$.
$a + b(1+x) + c(1+x)^2 = 0$.
$a + b + bx + c(1 + 2x + x^2) = 0$.
$c x^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$.
इसे $p x^2+q x+r=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $r = a+b+c$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} - \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \ldots$ है।
हम जानते हैं कि लघुगणकीय विस्तार: $\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
दी गई श्रेणी की तुलना विस्तार से करने पर,हम $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं।
$x = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log _e\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^4}{4} + \ldots$
$= \log _e\left(\frac{3}{2}\right)$.

(A) दिया गया है,$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^n=1$।
हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $(e^{i\pi/6})^n = 1$ हो जाता है,जो $e^{in\pi/6} = 1$ है।
$e^{i\theta} = 1$ के लिए,$\theta$ को $2\pi$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
इस प्रकार,किसी पूर्णांक $k$ के लिए $\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$।
$n = 12k$।
$k=1$ के लिए,$n=12$।
अतः,$n=12$ वह मान है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) दिया गया है $a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
तब $\bar{a} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(i)$ $a \bar{a} = |a|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right) = \arg(a) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ $a - \bar{a} = \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -i \sqrt{3}$. यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ $\frac{4}{3a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3} + i \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} + i \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः, $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. यह $(F)$ से मेल खाता है।
इसलिए, सही मिलान $(i)-D, (ii)-A, (iii)-B, (iv)-F$ है।

(A) दिया है,$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
यह $x$-अक्ष को दर्शाता है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $AP$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
चूंकि $b-a, c-b, a$ $GP$ में हैं,हमारे पास $(c-b)^2 = (b-a)a$ है।
$AP$ में,$b-a = c-b = d$ (सार्व अंतर)।
$GP$ की शर्त में $c-b = b-a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(b-a)^2 = (b-a)a$।
यदि $b \neq a$ है,तो हमें $b-a = a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2a$।
$2b = a + c$ में $b = 2a$ रखने पर,हमें $2(2a) = a + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $4a = a + c$,जिसका अर्थ है $c = 3a$।
अतः,$a: b: c = a: 2a: 3a = 1: 2: 3$।

(B) माना कि श्रेणी $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \ldots$ है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots$ का उपयोग करते हुए,
$n = -1/2$ के लिए,$(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \ldots$
इस श्रेणी का योग $\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$ और $T_n = \sum_{k=1}^{n} k$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ होता है।
$S_n$ के व्यंजक में $T_n$ का मान रखने पर,हमें $S_n = (T_n)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $S_n = T_n^2$ है।

(A) हमारे पास $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ है।
$e^x$ को $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में विस्तारित करने पर:
$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$ प्राप्त होता है।
$x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
प्रथम पद से गुणांक $\frac{1}{k!}$ है।
दूसरे पद से $n+1=k$ रखने पर,गुणांक $-2 \times \frac{1}{(k-1)!}$ है।
तीसरे पद से $n+2=k$ रखने पर,गुणांक $-1 \times \frac{1}{(k-2)!}$ है।
कुल गुणांक: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$।

(D) हमारे पास है,$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_{2n}x^{2n}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + 2na_{2n}x^{2n-1}$।
अब,$x=1$ रखने पर:
$n(1+1+1)^{n-1}(1+2(1)) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$।
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$।
अतः,$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n} = n \cdot 3^n$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
अतः,$\tan A - \tan B = \tan(A-B)(1 + \tan A \tan B)$.
$A = 80^{\circ}$ और $B = 10^{\circ}$ रखने पर:
$\tan 80^{\circ} - \tan 10^{\circ} = \tan(80^{\circ}-10^{\circ})(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}) = \tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})$.
अब,$\frac{\tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} = \frac{\tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})}{\tan 70^{\circ}} = 1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}$.
चूंकि $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ}$,इसलिए $1 + \cot 10^{\circ} \tan 10^{\circ} = 1 + 1 = 2$.

(B) माना बिंदुओं $(1, -2)$ और $(3, 2)$ को जोड़ने वाली रेखा $L_1$ है। $L_1$ की ढाल $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
दूसरी रेखा $L_2$ का समीकरण $x + 2y - 7 = 0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
अब,ढालों का गुणनफल: $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) माना $A = (2, -1)$ और $B = (6, 5)$ है। रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{5 - (-1)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $3x - 2y - 8 = 0$ है।
लंब रेखा $PD$ की ढाल $m' = -\frac{2}{3}$ है।
$P(4, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $PD$ का समीकरण $2x + 3y - 11 = 0$ है।
गणना के अनुसार,लंब का पाद $AB$ को $5: 8$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2+4xy+5y^2-4x-22y+7=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=2, b=5, g=-2, f=-11, c=7$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ को उस बिंदु $(h', k')$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए जो आंशिक अवकलन $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ का हल हो।
$\frac{\partial}{\partial x} = 4x+4y-4 = 0 \implies x+y=1$
$\frac{\partial}{\partial y} = 4x+10y-22 = 0 \implies 2x+5y=11$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$x = 1-y$।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(1-y)+5y=11 \implies 2-2y+5y=11 \implies 3y=9 \implies y=3$।
तब $x = 1-3 = -2$।
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है और रेखा $y=3x+c$ है,जिसे $\frac{y-3x}{c}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करते हैं:
$x^2+y^2=4(1)^2$
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$.
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$.

(A) दिया गया है,त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त चौथे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(h, k) = (3, -3)$ होगा।
वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$।
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$।
विस्तार करने पर: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 9$।
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 18 = 9$।
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 = 0$।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ के लिए,केंद्र $C = (2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $P(1, 2)$ के लिए ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
केंद्र $C(2, 3)$ और $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = x + 1$ है।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है,जो अभीष्ट प्रतिलोम बिंदु है।

(D) कोएक्सियल सिस्टम का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2 \lambda x+c=0$ है।
लिमिटिंग पॉइंट्स सिस्टम के पॉइंट सर्कल के केंद्र होते हैं।
पॉइंट सर्कल तब प्राप्त होता है जब त्रिज्या $r=0$ होती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$g=\lambda$,$f=0$,और अचर पद $c$ है।
अतः,$r = \sqrt{\lambda^2-c}$।
लिमिटिंग पॉइंट्स के अलग होने के लिए,त्रिज्या काल्पनिक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda^2-c < 0$,या $c > \lambda^2$।
हालाँकि,सिस्टम के पास वास्तविक और अलग लिमिटिंग पॉइंट्स होने के लिए शर्त $c > 0$ है।

(B) दिया गया परवलय $y^2+6y-2x+5=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9-9-2x+5=0$
$(y+3)^2-4-2x=0$
$(y+3)^2=2(x+2)$।
$(y-k)^2=4a(x-h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $I$ सही है।
नियता के लिए,$4a=2 \implies a=\frac{1}{2}$।
नियता का समीकरण $x = h-a$ है।
$x = -2 - \frac{1}{2} = -2.5$,या $2x+5=0$।
चूंकि कथन $II$ में दी गई नियता $y+3=0$ है,इसलिए कथन $II$ गलत है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $\frac{x_1 x_2}{a^2} + \frac{y_1 y_2}{b^2} = 1$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (k, -1)$,$a^2 = 3$,और $b^2 = 2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{(1)(k)}{3} + \frac{(2)(-1)}{2} = 1$
$\frac{k}{3} - 1 = 1$
$\frac{k}{3} = 2$
$k = 6$.

(C) रेखा का समीकरण $lx + my - 1 = 0$ है,इसलिए $n = -1$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,रेखा $lx + my + n = 0$ के अभिलंब होने की शर्त $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{n^2}$ है।
$n = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{(-1)^2} = (a^2 + b^2)^2$.

(B) हमें फलन $f(x) = \frac{\sin(1+[x])}{[x]}$ दिया गया है,जहाँ $[x] \neq 0$ है।
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $0$ से थोड़ी छोटी $x$ के मानों पर विचार करते हैं।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = -1$ होता है।
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(1+[x])}{[x]} = \frac{\sin(1+(-1))}{-1} = \frac{\sin(0)}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$.

(B) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{\sin x}}{2(x-\sin x)}$
अंश में $e^{\sin x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}(e^{x-\sin x}-1)}{2(x-\sin x)}$
मानक सीमा $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x - \sin x$:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{\sin x}}{2} \cdot \frac{e^{x-\sin x}-1}{x-\sin x} \right)$
जैसे ही $x \rightarrow 0$,$e^{\sin x} \rightarrow e^0 = 1$ और $\frac{e^{x-\sin x}-1}{x-\sin x} \rightarrow 1$.
अतः,सीमा का मान $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ है।

(A) त्रिभुज $\triangle ABC$ में,निम्नलिखित मानक सर्वसमिकाएँ सत्य हैं:
$1$. अंतःत्रिज्या $r$ और बाह्यत्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ का गुणनफल $r r_1 r_2 r_3 = \Delta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$2$. बाह्यत्रिज्याओं के दो-दो के गुणनफल का योग $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = s^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
अतः,दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं।

(A) हम जानते हैं कि $a+b+c = 2s$,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
सूत्र $\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{r}{s-b}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
अतः,$(a+b+c)\left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right) = 2s \left(\frac{r}{s-a} + \frac{r}{s-b}\right)$.
$= 2sr \left(\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)}\right) = 2sr \left(\frac{c}{(s-a)(s-b)}\right)$.
चूँकि $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$,इसे हल करने पर परिणाम $2c \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\triangle ABC$ के कोण $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ हैं,अतः $C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$ है।
सबसे छोटा कोण $A = 45^{\circ}$ और सबसे बड़ा कोण $C = 75^{\circ}$ है,इसलिए ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार सबसे छोटी भुजा $a$ और सबसे बड़ी भुजा $c$ का अनुपात $\frac{a}{c} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ होगा।
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\frac{a}{c} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$।
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(D) माना $y = \operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta)$.
अतः,$\operatorname{sech} y = \sin \theta$.
चूंकि $\operatorname{sech} y = \frac{1}{\cosh y}$,इसलिए $\cosh y = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$.
अतः,$y = \cosh^{-1}(\operatorname{cosec} \theta)$.
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करते हुए,$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta - 1})$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$,इसलिए:
$y = \log(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर:
$y = \log\left(\frac{1 + \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \log\left(\frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}\right) = \log(\cot(\theta/2))$.
अतः,$\operatorname{sech}^{-1}(\sin \theta) = \log \cot \frac{\theta}{2}$.

(C) दिया गया है,$f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$,जहाँ $\frac{p}{q} \in Q$.
यदि $p < q$ है,तो $p^2 - q^2 < 0$ होगा।
चूंकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता है,इसलिए कथन $I$ असत्य है।
हालाँकि,ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक सम्मिश्र संख्या (काल्पनिक संख्या) होती है,इसलिए कथन $II$ सत्य है।
अतः,$I$ असत्य है और $II$ सत्य है।

(D) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है। माना $B$ जमीन पर वह बिंदु है जो वस्तु $A$ के ठीक नीचे है,और $C$ तथा $D$ जमीन पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि $CD = d$ और $BD = x$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{x+d} \Rightarrow x+d = h \cot \alpha$ $(i)$
$\triangle ABD$ में,$\tan \beta = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot \beta$ (ii)
(ii) से $x$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$h \cot \beta + d = h \cot \alpha$
$d = h \cot \alpha - h \cot \beta$
$d = h(\cot \alpha - \cot \beta)$
$h = \frac{d}{\cot \alpha - \cot \beta}$

(B) हम सबसे अंदर के मूल से बाहर की ओर व्यंजक को सरल करते हैं:
$\sqrt{14-6 \sqrt{5}} = \sqrt{9+5-2(3)(\sqrt{5})} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = 3-\sqrt{5}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{6-3 \sqrt{5} + (3-\sqrt{5})} = \sqrt{9-4 \sqrt{5}}$.
हम $\sqrt{9-4 \sqrt{5}}$ को $\sqrt{9-2(2)(\sqrt{5})} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2$ के रूप में सरल करते हैं।
अब,इस मान को मुख्य व्यंजक में रखने पर:
$\sqrt{2+\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)} = \sqrt{2+\sqrt{5}-\sqrt{5}+2} = \sqrt{4} = 2$.

(A) दिया गया है,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (माना कि).
आधार $a$ के साथ लघुगणक लेने पर:
$x = y \log_a b = z \log_a c = w \log_a d$.
अतः,$\frac{1}{y} = \frac{\log_a b}{x}$,$\frac{1}{z} = \frac{\log_a c}{x}$,और $\frac{1}{w} = \frac{\log_a d}{x}$.
अब,$x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right) = x\left(\frac{\log_a b}{x} + \frac{\log_a c}{x} + \frac{\log_a d}{x}\right)$.
$= x \cdot \frac{1}{x} (\log_a b + \log_a c + \log_a d)$.
$= \log_a(bcd)$.

(D) दी गई असमिकाएँ हैं:
$1$) $x^2 - 3x - 10 < 0$
$(x - 5)(x + 2) < 0$
इसका अर्थ है $x \in (-2, 5)$.
$2$) $10x - x^2 - 16 > 0$
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$x^2 - 10x + 16 < 0$
$(x - 2)(x - 8) < 0$
इसका अर्थ है $x \in (2, 8)$.
उन $x$ के मानों को ज्ञात करने के लिए जो दोनों असमिकाओं को एक साथ संतुष्ट करते हैं,हम दोनों समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेते हैं:
$x \in (-2, 5) \cap (2, 8) = (2, 5)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) $yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ है।
मान लीजिए कि $yz$-समतल $A(-3, 4, -2)$ और $B(2, 1, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
चूंकि बिंदु $P$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0
\implies 2k = 3
\implies k = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ है।

(D) $10$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{10}C_2 = 45$ हैं।
$6$ सफेद गेंदों में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $^{6}C_2 = 15$ हैं।
$4$ काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें चुनने के तरीके $^{4}C_2 = 6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $15 + 6 = 21$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{21}{45} = \frac{7}{15}$ है।

(C) $40$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_4 = 91390$ हैं।
$4$ क्रमागत संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $\{k, k+1, k+2, k+3\}$ के रूप के समुच्चयों की संख्या है,जहाँ $1 \le k \le 37$ है।
यह संख्या $37$ है।
$4$ संख्याओं के क्रमागत होने की प्रायिकता $= \frac{37}{91390} = \frac{1}{2470}$ है।
उनके क्रमागत न होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{1}{2470} = \frac{2469}{2470}$ है।

(A) अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
यादृच्छिक चर के वर्ग का अपेक्षित मान $E(X^2)$ है:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ का प्रसरण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$

(A) दिया गया समीकरण: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(B) दिया गया है,$y=\frac{1}{4} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \tanh ^{-1} x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{1}{4} (2 \tanh ^{-1} x) - \frac{1}{2} \tan ^{-1} x = \frac{1}{2} \tanh ^{-1} x - \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\tanh ^{-1} x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\tan ^{-1} x)$.
चूंकि $\frac{d}{d x}(\tanh ^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$ और $\frac{d}{d x}(\tan ^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,अतः:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)$.
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \left(\frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2x^2}{1-x^4}\right) = \frac{x^2}{1-x^4}$.

(D) दिया गया है,$x=\cos \theta$ और $y=\sin 5 \theta$.
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta$ और $\frac{d y}{d \theta}=5 \cos 5 \theta$.
अतः,$\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = \frac{5 \cos 5 \theta}{-\sin \theta} = -5 \cos 5 \theta \csc \theta$.
अब,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d \theta}{d x}$ ज्ञात करें।
$\frac{d}{d \theta} (-5 \cos 5 \theta \csc \theta) = -5 [(-5 \sin 5 \theta) \csc \theta + \cos 5 \theta (-\csc \theta \cot \theta)] = 25 \sin 5 \theta \csc \theta + 5 \cos 5 \theta \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{d \theta}{d x} = \frac{1}{-\sin \theta} = -\csc \theta$ से गुणा करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -25 \sin 5 \theta \csc^2 \theta - 5 \cos 5 \theta \csc^2 \theta \cot \theta$.
अब व्यंजक $\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}$ में मान रखने पर:
चूंकि $1-x^2 = \sin^2 \theta$ और $x = \cos \theta$:
$\sin^2 \theta (-25 \sin 5 \theta \csc^2 \theta - 5 \cos 5 \theta \csc^2 \theta \cot \theta) - \cos \theta (-5 \cos 5 \theta \csc \theta)$
$= -25 \sin 5 \theta - 5 \cos 5 \theta \cot \theta + 5 \cos 5 \theta \cot \theta$
$= -25 \sin 5 \theta = -25 y$.

(B) दिया गया है $z = \log(\tan x + \tan y)$।
सबसे पहले,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष $z$ के आंशिक अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y}$
अब,इन मानों को $(\sin 2x) \frac{\partial z}{\partial x} + (\sin 2y) \frac{\partial z}{\partial y}$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin 2x \left( \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y} \right) + \sin 2y \left( \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y} \right)$
$= \frac{(2 \sin x \cos x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (2 \sin y \cos y) \cdot \frac{1}{\cos^2 y}}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2 \tan x + 2 \tan y}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2(\tan x + \tan y)}{\tan x + \tan y} = 2$.

(D) दिया गया वक्र $y = x^2 + x - 1$ और बिंदु $(1, 1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
किसी बिंदु $(x, y)$ पर ढाल $m$ वाले वक्र के लिए:
स्पर्शरेखा की लंबाई $a = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |1| \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
उप-स्पर्शरेखा की लंबाई $b = |\frac{y}{m}| = |\frac{1}{3}| = 0.333$.
अभिलंब की लंबाई $c = |y| \sqrt{1 + m^2} = |1| \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
उप-अभिलंब की लंबाई $d = |ym| = |1 \times 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $b = 0.333$,$a = 1.054$,$d = 3$,$c = 3.162$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $b < a < d < c$ है।

(C) वृत्त की दी गई परिधि $S = 2 \pi r = 56 \text{ cm}$ है।
इससे,त्रिज्या $r = \frac{56}{2 \pi} = \frac{28}{\pi} \text{ cm}$ प्राप्त होती है।
परिधि में त्रुटि $\delta S = 2 \pi \delta r = 0.02 \text{ cm}$ दी गई है।
अतः,$\delta r = \frac{0.02}{2 \pi} \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\delta A}{A} = 2 \frac{\delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\frac{\delta A}{A} = 2 \times \frac{\frac{0.02}{2 \pi}}{\frac{28}{\pi}} = 2 \times \frac{0.02}{2 \pi} \times \frac{\pi}{28} = \frac{0.02}{28} = \frac{2}{2800} = \frac{1}{1400}$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{1400} \times 100 = \frac{1}{14} \%$.
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $1/14 \%$ है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
अंश को $A(\text{हर}) + B(\frac{d}{dx}(\text{हर}))$ के रूप में लिखने पर:
$\sin x+8 \cos x = A(4 \sin x+6 \cos x) + B(4 \cos x-6 \sin x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\sin x$ के लिए: $4A - 6B = 1$.
$\cos x$ के लिए: $6A + 4B = 8$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = 1$ और $B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{(4 \sin x+6 \cos x) + \frac{1}{2}(4 \cos x-6 \sin x)}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
$I = \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \frac{4 \cos x-6 \sin x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
$I = x + \frac{1}{2} \log |4 \sin x+6 \cos x| + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 1 = e^{x+y}$ है।
माना $x + y = z$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dz}{dx} = e^z$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$e^{-z} dz = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-z} dz = \int dx$।
इससे $-e^{-z} = x + c$ प्राप्त होता है।
$z = x + y$ वापस रखने पर,$-e^{-(x+y)} = x + c$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x + e^{-(x+y)} + c = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,जो $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P = -1$ और $Q = y+1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$.
$\int y e^{-y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
$e^y$ से गुणा करने पर,हमें $x = -(y+2) + ce^y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j} = a_3 \hat{j} - a_2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{j} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{j} = a_1(\hat{i} \times \hat{j}) + a_3(\hat{k} \times \hat{j}) = a_1 \hat{k} - a_3 \hat{i}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{k} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{k} = a_1(\hat{i} \times \hat{k}) + a_2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a_1 \hat{j} + a_2 \hat{i} = a_2 \hat{i} - a_1 \hat{j}$.
अतः,तर्क $(R)$ सत्य है।
अब,परिमाणों के वर्गों की गणना करते हैं:
$|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2 = a_3^2 + (-a_2)^2 = a_3^2 + a_2^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + (-a_3)^2 = a_1^2 + a_3^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = a_2^2 + (-a_1)^2 = a_2^2 + a_1^2$.
इनका योग करने पर: $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\overrightarrow{a}|^2$.
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(A) मान लीजिए कि $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $7 \hat{i}-\hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा को $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ द्वारा $\lambda: 1$ के अनुपात में विभाजित किया जाता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{r} = \frac{\lambda \vec{b} + 1 \vec{a}}{\lambda+1}$
$\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} = \frac{\lambda(7 \hat{i}-\hat{k})+(-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\lambda+1}$
$(\lambda+1)(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (7 \lambda-2) \hat{i}+3 \hat{j}+(5-\lambda) \hat{k}$
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\lambda+1 = 7 \lambda-2$
$3 = 6 \lambda$
$\lambda = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $\lambda: 1 = 1: 2$ है।

(B) सदिश $\overrightarrow{a}$ पर सदिश $\overrightarrow{b}$ के लंबवत प्रक्षेप का सूत्र $\frac{(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}$ है।
यहाँ $\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (\lambda)(1) + (-3)(-1) + (1)(-1) = \lambda + 3 - 1 = \lambda + 2$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$|\overrightarrow{a}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{(\lambda + 2)}{3} (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ होगा।
दिए गए प्रक्षेप $\frac{4}{3}(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{\lambda + 2}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda + 2 = 4$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 2$।

(B) भुजा $AB$ के दिक-अनुपात $(6-1, 11-(-1), 2-2) = (5, 12, 0)$ हैं।
भुजा $AC$ के दिक-अनुपात $(1-1, 2-(-1), 6-2) = (0, 3, 4)$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच के कोण $A$ का कोसाइन निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\cos A = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos A = \frac{(5)(0) + (12)(3) + (0)(4)}{\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos A = \frac{0 + 36 + 0}{\sqrt{25 + 144 + 0} \sqrt{0 + 9 + 16}}$
$\cos A = \frac{36}{\sqrt{169} \sqrt{25}}$
$\cos A = \frac{36}{13 \times 5} = \frac{36}{65}$.

(C) फलन $f(x) = \begin{cases} x-5 & \text{for } x \leq 1 \\ 4x^2-9 & \text{for } 1 < x < 2 \\ 3x+4 & \text{for } x \geq 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है।
$x = 2$ पर दायां अवकलज $f^{\prime}(2^{+})$ ज्ञात करने के लिए:
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{f(x) - f(2)}{x-2}$
$x \geq 2$ के लिए,$f(x) = 3x+4$ है। अतः,$f(2) = 3(2) + 4 = 10$ है।
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(3x+4) - 10}{x-2}$
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{3x-6}{x-2}$
$f^{\prime}(2^{+}) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{3(x-2)}{x-2}$
$f^{\prime}(2^{+}) = 3$.

(A) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=x^3$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = x^3$ रखें,जिसका अर्थ है $x^2(1-x) = 0$।
अतः,वक्र $x=0$ और $x=1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2 \ge x^3$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A(\operatorname{adj} A)| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|AB| = |A||B|$ होता है,इसलिए $|A| |\operatorname{adj} A| = 4^3 = 64$ होगा।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$|A| \cdot |A|^2 = 64$,जिसका अर्थ है कि $|A|^3 = 64$ है।
अतः,$|A| = \sqrt[3]{64} = 4$ होगा।
अंत में,$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 4^2 = 16$ होगा।

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय समघात (homogeneous) है,जिसे आव्यूह रूप $AX = O$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
हलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
एक समघात निकाय $AX = O$ के लिए,यदि $|A| \neq 0$ है,तो निकाय का केवल तुच्छ हल $(x=0, y=0, z=0)$ ही होता है।
अतः,गैर-तुच्छ हलों की संख्या $0$ है।

(C) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6\end{array}\right]$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$

(B) दिया गया है,$\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$.
हम जानते हैं कि $\sec^{-1}(\frac{1}{x}) = \cos^{-1}(x)$.
अतः,$\tan(\cos^{-1}(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
साथ ही,$\tan^{-1}(2) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{1+2^2}}) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$.
इसलिए,$\sin(\sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})) = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1-x^2}{x^2} = \frac{4}{5}$.
$5 - 5x^2 = 4x^2$.
$9x^2 = 5$.
$x^2 = \frac{5}{9}$.
चूँकि $x>0$,इसलिए $x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(B) दिया है,$f(x) = \frac{1}{2 - \cos 3x}$.
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$-1 \leq \cos 3x \leq 1$.
$-1$ से गुणा करने पर,$-1 \leq -\cos 3x \leq 1$.
सभी पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$2 - 1 \leq 2 - \cos 3x \leq 2 + 1$,जो $1 \leq 2 - \cos 3x \leq 3$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका का चिह्न बदल जाता है: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \cos 3x} \leq \frac{1}{1}$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq f(x) \leq 1$.
इसलिए,$f$ का परिसर $[1/3, 1]$ है।

(B) दिया गया है,$f(x)=x-[x]$ और $g(x)=[x]$ जहाँ $x \in R$ है।
हमें $f(g(x))$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(g(x)) = f([x])$.
$f(x)$ की परिभाषा के अनुसार,$f([x]) = [x] - [[x]]$.
चूँकि $[x]$ एक पूर्णांक है,इसलिए किसी पूर्णांक का महत्तम पूर्णांक फलन वह पूर्णांक स्वयं होता है,अर्थात $[[x]] = [x]$.
अतः,$f(g(x)) = [x] - [x] = 0$.

(D) दिया गया है,$x=\cos \theta$ और $y=\sin 5 \theta$.
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta$ और $\frac{d y}{d \theta}=5 \cos 5 \theta$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta}$.
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d \theta}{d x}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right) \cdot \left( -\frac{1}{\sin \theta} \right) = \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta}$.
इन मानों को $(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x}$ में रखने पर:
$(1-\cos^2 \theta) \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) - \cos \theta \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right)$
$= \sin^2 \theta \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta} + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
मानक सूत्र $y = \sin(n \cos^{-1} x)$ के लिए $(1-x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0$ का उपयोग करने पर,
यहाँ $n=5$ है,इसलिए $(1-x^2) y'' - x y' = -25 y$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x-1$ और बिंदु $(x_1, y_1)=(1,1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
$(1,1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1)+1 = 3$.
स्पर्शरेखा की लंबाई $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
उपस्पर्शरेखा की लंबाई $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
अभिलंब की लंबाई $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.162$.
उपअभिलंब की लंबाई $D = |y_1 m| = |1 \times 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $B (0.333) < A (1.054) < D (3) < C (3.162)$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $B, A, D, C$ है।

(A) किसी फलन $f(x)$ का कोई चरम मान न होने के लिए,इसके अवकलज $f'(x)$ को अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए। इसका अर्थ है कि $f'(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होना चाहिए या हमेशा गैर-धनात्मक (non-positive) होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$.
इसका अवकलज $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ है।
यदि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,तो द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए या समान मूल होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$.
$D \le 0$ रखने पर,हमें $4p^2 - 12q \le 0$ प्राप्त होता है।
$4$ से विभाजित करने पर,$p^2 - 3q \le 0$ या $p^2 \le 3q$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,शर्त $p^2 < 3q$ सही विकल्प है।

(A) दिया गया है,$f(x)=x e^{-x}$।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-1-1) = e^{-x}(x-2)$।
$x=1$ पर मान ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$।
चूंकि $f^{\prime}(1) = 0$ और $f^{\prime \prime}(1) < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(A) माना $I = \int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x$.
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -2\sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}} = \tan \theta$.
अतः,$I = \int \theta (-2\sin 2\theta) d\theta = -2 \int \theta \sin 2\theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = -2 \left[ \theta \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \right] = \theta \cos 2\theta - \int \cos 2\theta d\theta = \theta \cos 2\theta - \frac{\sin 2\theta}{2} + c$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ और $\sin 2\theta = \sqrt{1-x^2}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} \cos^{-1} x \cdot x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c = \frac{1}{2} (x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1} dx$ है।
अंश को $(e^x + 1) - 2$ के रूप में लिखने पर,
$I = \int \frac{(e^x + 1) - 2}{e^x + 1} dx = \int \left( 1 - \frac{2}{e^x + 1} \right) dx$.
$\int 1 dx = x$ और $\int \frac{2}{e^x + 1} dx$ के लिए,अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर:
$\int \frac{2e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.
माना $v = 1 + e^{-x}$,तो $dv = -e^{-x} dx$.
अतः,$\int \frac{2}{e^x + 1} dx = -2 \log (1 + e^{-x}) = -2 \log \left( \frac{e^x + 1}{e^x} \right) = -2 \log (e^x + 1) + 2x$.
इस प्रकार,$I = x - (-2 \log (e^x + 1) + 2x) + c = 2 \log (e^x + 1) - x + c$.
$f(x) + c$ से तुलना करने पर,$f(x) = 2 \log (e^x + 1) - x$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^6 x \cos ^5 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो हम $f(x) = \sin^6 x \cos^5 x$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $f(2\pi - x) = \sin^6(2\pi - x) \cos^5(2\pi - x) = (-\sin x)^6 (\cos x)^5 = \sin^6 x \cos^5 x = f(x)$,इसलिए $I = 2 \int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx$ होगा।
अब,गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = 0$ यदि $f(a-x) = -f(x)$ हो,तो हम $f(\pi - x)$ की जाँच करते हैं।
$f(\pi - x) = \sin^6(\pi - x) \cos^5(\pi - x) = (\sin x)^6 (-\cos x)^5 = -\sin^6 x \cos^5 x = -f(x)$।
अतः,$\int_0^{\pi} \sin^6 x \cos^5 x \, dx = 0$।
इसलिए,$I = 2 \times 0 = 0$।

(A) दिया गया है $f(t) = \int_{-t}^t \frac{e^{-|x|}}{2} dx$.
चूंकि फलन $g(x) = \frac{e^{-|x|}}{2}$ एक सम फलन है (अर्थात $g(-x) = g(x)$),हम लिख सकते हैं:
$f(t) = 2 \int_0^t \frac{e^{-x}}{2} dx = \int_0^t e^{-x} dx$.
समाकलन करने पर:
$f(t) = [-e^{-x}]_0^t = -e^{-t} - (-e^0) = 1 - e^{-t}$.
अब,$t \rightarrow \infty$ सीमा लेने पर:
$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1$.

(A) दिया गया समीकरण $xy = ae^x + be^{-x}$ है।
सबसे पहले,बाईं ओर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$.
चूंकि $ae^x + be^{-x} = xy$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$.
अतः अंतिम अवकल समीकरण है:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$.

(B) दिया गया है,$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{(vx)^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2 x^2}{x^2(v - 1)} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{d v}{d x} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{v - 1}{v} d v = \frac{d x}{x}$.
$(1 - \frac{1}{v}) d v = \frac{d x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int (1 - \frac{1}{v}) d v = \int \frac{d x}{x}$.
$v - \ln |v| = \ln |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{y}{x} - \ln |\frac{y}{x}| = \ln |x| + C$.
$\frac{y}{x} = \ln |\frac{y}{x}| + \ln |x| + C = \ln |y| + C$.
$e^{y/x} = e^{\ln |y| + C} = e^C \cdot y = ky$ (जहाँ $k = e^C$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$e^{y/x} = ky$.

(B) दिया गया है,$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = x+y+1$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - x = y+1$,जो $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P = -1$ और $Q = y+1$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int (y+1) e^{-y} dy + c$
$\int y e^{-y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$x e^{-y} = [y(-e^{-y}) - \int 1 \cdot (-e^{-y}) dy] + \int e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -(y+2) e^{-y} + c$
दोनों पक्षों को $e^y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = -(y+2) + ce^y$.

(B) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$,और $\vec{c}$ द्वारा निरूपित किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
यहाँ,$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणन इन सदिशों द्वारा गठित आव्यूह का सारणिक है:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$.
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 1((-1)(-1) - (1)(2)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(2) - (-1)(1))$
$= 1(1 - 2) - 1(-1 - 1) + 1(2 + 1)$
$= 1(-1) - 1(-2) + 1(3)$
$= -1 + 2 + 3 = 4$.
अतः,आयतन $V = \frac{1}{6} |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ घन इकाइयाँ है।

(B) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 6\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{c} = 14\hat{i} - 5\hat{j} + p\hat{k}$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (6-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (14-6)\hat{i} + (-5 - (-1))\hat{j} + (p-2)\hat{k} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
संरेखता के लिए,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{BC} = k\vec{AB}$ होना चाहिए।
$8\hat{i} - 4\hat{j} + (p-2)\hat{k} = k(4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
घटकों की तुलना करने पर:
$4k = 8 \Rightarrow k = 2$
$-2k = -4 \Rightarrow k = 2$
$k = p-2$
$k=2$ रखने पर: $2 = p-2 \Rightarrow p = 4$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
चूँकि $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$,इसलिए $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
अतः,$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - 0 = P(A)$.
साथ ही,$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
इसलिए,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$.

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $q = \frac{3}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$np = 4$ में $p = \frac{1}{4}$ रखने पर,$n(\frac{1}{4}) = 4$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \geq 1)$ ज्ञात करना है। पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$।
द्विपद वितरण के लिए,$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$।
अतः,$P(X = 0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{16} = 1 \times 1 \times (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$।
इसलिए,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$।