TS EAMCET 2007 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને અભિગમના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$e = \frac{v_{\text{sep}}}{v_{\text{app}}}$
પ્રથમ અથડામણ માટે,આપણને આપેલ છે કે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ કરતા બમણો છે:
$v_{\text{app}, 1} = 2 v_{\text{sep}, 1} \implies e_1 = \frac{v_{\text{sep}, 1}}{v_{\text{app}, 1}} = \frac{1}{2}$
આપણને પુનઃપ્રાપ્તિના ગુણાંકનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે:
$e_2 = \frac{e_1}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
કારણ કે $e_2 = \frac{v_{\text{sep}, 2}}{v_{\text{app}, 2}} = \frac{1}{6}$,તેથી બીજી અથડામણમાં અભિગમના સાપેક્ષ વેગ અને અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{\text{app}, 2}}{v_{\text{sep}, 2}} = \frac{1}{e_2} = 6 = 6: 1$

(D) ગોળીઓ દ્વારા રાઈફલ પર લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
રાઈફલનું દળ $M = 20 \,kg$
દર સેકન્ડે ગોળીઓની સંખ્યા $n = 4$
દરેક ગોળીનું દળ $m = 35 \times 10^{-3} \,kg$
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 400 \,ms^{-1}$
રાઈફલને સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ ગોળીઓ દ્વારા લાગતા રિકોઈલ બળ જેટલું હોય છે.
રિકોઈલ બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = n \times (m \times v)$
$F = 4 \times (35 \times 10^{-3} \,kg) \times (400 \,ms^{-1})$
$F = 4 \times 35 \times 0.4$
$F = 140 \times 0.4 = 56 \,N$
રાઈફલને પાછળની તરફ ખસતી અટકાવવા માટે,ગોળીઓની ગતિની દિશામાં $56 \,N$ નું બાહ્ય બળ લગાડવું આવશ્યક છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને $R_p = \frac{R_e}{4}$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_e/2}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/4}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 4} = \sqrt{2}$.
તેથી,$v_p = v_e \times \sqrt{2} = 11 \times 1.414 = 15.55 \ km \ s^{-1}$.

(A) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,પ્રક્રિયા ન કરતા વાયુઓના મિશ્રણ દ્વારા લાગતું કુલ દબાણ એ દરેક વાયુના વ્યક્તિગત આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
વાયુ $A$ માટે,જ્યારે તે $T$ તાપમાને $V$ કદ રોકે છે ત્યારે દબાણ $P$ છે.
વાયુ $B$ માટે,જ્યારે તે $T$ તાપમાને $V$ કદ રોકે છે ત્યારે દબાણ $P$ છે.
જ્યારે બંને વાયુઓને સમાન તાપમાન $T$ પર સમાન કદ $V$ માં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $P_{mix}$ એ વ્યક્તિગત દબાણોનો સરવાળો થાય છે.
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(D) પુનઃપ્રાપ્તિનો સહગુણક $e$ એ અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગ અને અભિગમના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}}$
પ્રથમ અથડામણ માટે,આપણને આપેલ છે કે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ એ અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગ કરતા બમણો છે:
$v_{app,1} = 2 v_{sep,1} \implies e_1 = \frac{v_{sep,1}}{v_{app,1}} = \frac{1}{2}$
આપણને પુનઃપ્રાપ્તિના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $e_2 = \frac{e_1}{3}$.
$e_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$e_2 = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
કારણ કે $e_2 = \frac{v_{sep,2}}{v_{app,2}} = \frac{1}{6}$,તેથી બીજી અથડામણમાં અભિગમના સાપેક્ષ વેગ અને અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{app,2}}{v_{sep,2}} = \frac{1}{e_2} = \frac{6}{1}$

(C) આપેલ છે,$m_1 = 6 \,kg, m_2 = 4 \,kg$ અને $\overrightarrow{v}_1 = 5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}, \overrightarrow{v}_2 = 10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\overrightarrow{v}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{6(5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}) + 4(10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k})}{6 + 4}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{(30 \hat{i}-12 \hat{j}+60 \hat{k}) + (40 \hat{i}-8 \hat{j}+20 \hat{k})}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{70 \hat{i}-20 \hat{j}+80 \hat{k}}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = 7 \hat{i}-2 \hat{j}+8 \hat{k}$

(A) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,પ્રક્રિયા ન કરતા વાયુઓના મિશ્રણ દ્વારા લાગતું કુલ દબાણ એ દરેક વાયુના વ્યક્તિગત આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
વાયુ $A$ માટે,$V$ કદ અને $T$ તાપમાને દબાણ $P$ છે.
વાયુ $B$ માટે,$V$ કદ અને $T$ તાપમાને દબાણ $P$ છે.
જ્યારે તેમને $V$ કદના પાત્રમાં $T$ તાપમાને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $P_{mix}$ એ વ્યક્તિગત દબાણોના સરવાળા જેટલું થાય છે:
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે. માણસનું વજન $w = mg$ છે. માણસ પર લાગતા બળો નીચેની તરફ તેનું વજન $mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $F$ છે.
માણસ $a = g/4$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરી રહ્યો હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$mg - F = ma$
$a = g/4$ મૂકતા:
$mg - F = m(g/4)$
$mg - F = mg/4$
$F = mg - mg/4$
$F = 3mg/4$
$w = mg$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F = 3w/4$

(C) આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ (જ્યાં ઊંચાઈ $h_1 = h_2$ છે):
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
આપેલ છે:
$P_1 = 50 \ kPa = 50 \times 10^3 \ Pa$
$v_1 = 1 \ m/s$
$v_2 = 2 \ m/s$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \ kg/m^3 = 10^3 \ kg/m^3$
$P_2$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + \frac{1}{2} \times 10^3 \times (1^2 - 2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (1 - 4)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (-3)$
$P_2 = 50 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3$
$P_2 = 48.5 \times 10^3 \ Pa = 48.5 \ kPa$

(D) જો સંપર્કકોણ ગુરુકોણ એટલે કે $90^{\circ}$ કરતા વધારે હોય,તો પ્રવાહી ઘન સપાટીને ભીંજવતું નથી.
આ સ્થિતિમાં,પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેનું સસંજક બળ (cohesive force) એ પ્રવાહી અને ઘન સપાટી વચ્ચેના આસંજક બળ (adhesive force) કરતા વધારે હોય છે.
પરિણામે,પ્રવાહી સપાટી સાથેનો સંપર્ક ઘટાડવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જેના કારણે પ્રવાહી ઘન સપાટીને ભીંજવતું નથી.

(A) પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma) = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\text{રેખીય વિકૃતિ}}$.
આપેલ પાર્શ્વ વિકૃતિ $= 0.01 \times 10^{-3} \ m$.
$\sigma = \frac{\text{પાર્શ્વ વિકૃતિ}}{\Delta L / L} = 0.4$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01 \times 10^{-3}}{0.4} = 0.025 \times 10^{-3} = 2.5 \times 10^{-5}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$.
$Y = \frac{100 \ N}{0.025 \ m^2 \times (2.5 \times 10^{-5})} = \frac{100}{0.0625 \times 10^{-5}} = \frac{100}{6.25 \times 10^{-7}} = 16 \times 10^7 = 1.6 \times 10^8 \ N/m^2$.

(C) પદાર્થનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = u \cos \theta$ છે. આપેલ છે કે $\sin \theta = 3/5$,તેથી $\cos \theta = 4/5$. આમ,$u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ $0$ છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $80 \ m/s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ તંત્રનું વેગમાન $P = (2m) \times 80 = 160m$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,પ્રથમ ટુકડો $(m)$ સ્થિર થાય છે,તેથી તેનો વેગ $0$ છે. ધારો કે બીજા ટુકડા $(m)$ નો વેગ $v$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $160m = m(0) + m(v)$,જે આપણને $v = 160 \ m/s$ આપે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = (u \sin \theta) / g = (100 \times 3/5) / 10 = 6 \ s$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_1 = u_x \times t = 80 \times 6 = 480 \ m$ છે.
બીજો ટુકડો મહત્તમ ઊંચાઈથી જમીન સુધી $t = 6 \ s$ સમયમાં $160 \ m/s$ ના અચળ સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. કાપેલું વધારાનું સમક્ષિતિજ અંતર $x_2 = v \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી કુલ અંતર $x_1 + x_2 = 480 + 960 = 1440 \ m$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા દોલકનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ પ્રવેગનું મૂલ્ય મહત્તમ વેગ કરતા $\pi$ ગણું છે:
$a_{max} = \pi \cdot v_{max}$
સૂત્રો મૂકતા:
$\omega^2 A = \pi \cdot \omega A$
બંને બાજુ $\omega A$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $\omega, A \neq 0$):
$\omega = \pi$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$\omega = \pi$ મૂકતા:
$\pi = \frac{2\pi}{T}$
$T = 2 \text{ s}$.

(B) આપેલ છે કે બે નક્કર ગોળાઓના દળ સમાન છે,$m_A = m_B$.
દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$
$\Rightarrow \frac{R_A^3}{R_B^3} = \frac{\rho_B}{\rho_A} \Rightarrow \frac{R_A}{R_B} = \left(\frac{\rho_B}{\rho_A}\right)^{1/3}$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
$m_A = m_B$ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} m_B R_B^2}{\frac{2}{5} m_A R_A^2} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{I_B}{I_A} = \left[ \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right)^{1/3} \right]^2 = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right)^{2/3}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ અનુસાર,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત થતી વિકિરણ ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E \propto T^4$
ધારો કે $T_1 = T$ તાપમાને $E_1 = E$ છે.
ધારો કે $T_2 = \frac{T}{2}$ તાપમાને નવી વિકિરણ ઊર્જા $E_2$ છે.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E} = \left(\frac{T/2}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{E_2}{E} = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{E}{16}$

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવર્તકાળમાં થતો સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
અહીં $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ અને $\Delta \theta = 40^{\circ} C - 20^{\circ} C = 20^{\circ} C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$.
એક દિવસમાં $(T = 86400 ~s)$ ગુમાવેલ કે મેળવેલ સમય $\Delta T = T \times \frac{\Delta T}{T} = 86400 \times 1.2 \times 10^{-4} \approx 10.368 ~s$.
તાપમાન વધવાથી લોલકની લંબાઈ વધે છે,તેથી આવર્તકાળ વધે છે અને ઘડિયાળ સમય ગુમાવે છે.

(D) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_p = \frac{5}{2}R$ છે।
સિલિન્ડર $B$ માં, પિસ્ટન સ્થિર છે, તેથી પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે। આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T_B = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B$ થાય।
સિલિન્ડર $A$ માં, પિસ્ટન મુક્ત છે, તેથી પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) છે। આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T_A = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$ થાય।
બંને કિસ્સામાં આપેલી ઉષ્મા સમાન હોવાથી, $n (\frac{3}{2}R) \Delta T_B = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_A$।
$\Delta T_A = 42 \,K$ આપેલ હોવાથી, કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{2} \Delta T_B = \frac{5}{2} \times 42$।
$3 \Delta T_B = 5 \times 42 = 210$।
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 \,K$।

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે કરતું નથી,તેથી $Q = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$Q = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = -W$ મળે છે.
એડિયાબેટિક વિસ્તરણમાં,વાયુ આસપાસ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $W > 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta U < 0$,જેનો અર્થ છે કે તંત્રની આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી તંત્રનું તાપમાન ઘટે છે.

(D) $(1)$ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu \implies [h] = [E]/[\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$. જે (iii) સાથે મેળ ખાય છે.
$(2)$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$: $F = G(m_1 m_2)/r^2 \implies [G] = [F r^2] / [M^2] = [MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$. જે (iv) સાથે મેળ ખાય છે.
$(3)$ બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$: $B = \text{સ્ટ્રેસ} / \text{સ્ટ્રેન} = [ML^{-1} T^{-2}] / [M^0 L^0 T^0] = [ML^{-1} T^{-2}]$. જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(4)$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = \eta A (dv/dx) \implies [\eta] = [F] / ([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}] / ([L^2][LT^{-1}/L]) = [MLT^{-2}] / [L^2 T^{-1}] = [ML^{-1} T^{-1}]$. જે (ii) સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $(1)$-(iii),$(2)$-(iv),$(3)$-$(i)$,$(4)$-(ii) છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ઉદગમનો વેગ $v_s = r \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 2 m$ અને $\omega = 15 rad/s$ આપેલ છે,તેથી $v_s = 2 \times 15 = 30 m/s$.
સ્થિર શ્રોતા અને ગતિશીલ ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ છે.
જ્યારે ઉદગમ સીધું શ્રોતા તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે મહત્તમ આવૃત્તિ સંભળાય છે,જે $\theta = 0^\circ$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $\cos \theta = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 540 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 540 \left( \frac{330}{300} \right) = 540 \times 1.1 = 594 Hz$.

(A) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
એક જ તાર માટે $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, આપણને $f \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તેથી, આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 450 \,Hz$, $T_1 = 9 \,kg-wt$, અને $f_2 = 900 \,Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{900}{450} = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{9}$.
$T_2 = 4 \times 9 = 36 \,kg-wt$.

(C)
ડોલમાંથી પાણી બહાર ન ઢોળાય તે માટે, ડોલે શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે।
સૌથી ઉપરના બિંદુએ, જરૂરી લઘુત્તમ વેગ:
$v_{top} = \sqrt{gR}$
સૌથી નીચેના બિંદુ (bottom) અને સૌથી ઉપરના બિંદુ (top) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} m v_{bottom}^2 = \frac{1}{2} m v_{top}^2 + mg(2R)$
$v_{bottom}^2 = v_{top}^2 + 4gR$
$v_{bottom}^2 = gR + 4gR = 5gR$
$v_{bottom} = \sqrt{5gR}$
અહીં $g = 10 \,m/s^2$ અને $R = 0.5 \,m$ આપેલ છે:
$v_{bottom} = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$

(A) જ્યારે બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય છે,ત્યારે બ્લોકની ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2$
જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગમાં થતું મહત્તમ સંકોચન છે.
$x$ માટે ગણતરી કરતા:
$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = \sqrt{\frac{25 \times (3)^2}{100}} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \sqrt{2.25} = 1.5 \ m$
જ્યારે બ્લોક તેના મૂળ સ્થાને પાછો ફરે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા ફરીથી બ્લોકની ગતિઊર્જામાં સંપૂર્ણપણે રૂપાંતરિત થાય છે. સપાટી લીસી હોવાથી (ઘર્ષણ રહિત),ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ બ્લોક સ્પ્રિંગથી દૂર જતો હોવાથી તેની દિશા ઉલટાય છે.
તેથી,બ્લોકનો વેગ $v = -3 \ ms^{-1}$ થશે.

(D) દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ચાકમાત્રા છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
આપેલ કિંમતો:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$
$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$
$T = 8.8 \,s$
આ કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$

(C) રેમ્સડેન આઈપીસમાં,બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ સમાન $f$ હોય છે અને તેઓ $d = \frac{2f}{3}$ અંતરે અલગ હોય છે.
આપેલ અંતર $d = 12 \ cm$ પરથી,આપણે $f$ શોધી શકીએ છીએ:
$d = \frac{2f}{3} \implies 12 = \frac{2f}{3} \implies f = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \ cm$.
બે લેન્સ કે જેમની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને $f_2$ છે અને જે $d$ અંતરે રહેલા છે,તેમની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ નું સૂત્ર:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$.
રેમ્સડેન આઈપીસ માટે,$f_1 = f_2 = f$ અને $d = \frac{2f}{3}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} - \frac{2f/3}{f^2} = \frac{2}{f} - \frac{2}{3f} = \frac{6-2}{3f} = \frac{4}{3f}$.
તેથી,$f_{eq} = \frac{3f}{4}$.
$f = 18 \ cm$ મૂકતા:
$f_{eq} = \frac{3 \times 18}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \ cm$.

(C) $L-C$ સર્કિટની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.
જ્યારે કેપેસિટર $C$ ને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમવાળા કેપેસિટર $C'$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = f - 25 \text{ kHz} = 125 \text{ kHz} - 25 \text{ kHz} = 100 \text{ kHz}$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{C}{C'}} = \sqrt{\frac{C}{KC}} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100}{125} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.
$\frac{4}{5} = \frac{1}{\sqrt{K}} \implies \sqrt{K} = \frac{5}{4} = 1.25$.
તેથી,$K = (1.25)^2 = 1.5625 \approx 1.56$.

(D) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$1$. સળગતી મીણબત્તી વિશાળ તરંગલંબાઇમાં પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે,જેના પરિણામે સતત વર્ણપટ મળે છે.
$2$. સોડિયમની વરાળ,જ્યારે ઉત્તેજિત થાય છે,ત્યારે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે,જેના પરિણામે રેખીય વર્ણપટ મળે છે.
$3$. બુનસેન જ્યોત (જેમાં ઘણીવાર આણ્વિય પ્રજાતિઓ હોય છે) બેન્ડ વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. સૌર વર્ણપટમાં ઘેરી રેખાઓ (ફ્રૉનહોફર રેખાઓ) સૂર્યના વાતાવરણમાં રહેલા વાયુઓ દ્વારા ચોક્કસ તરંગલંબાઇના શોષણને કારણે રચાય છે,જે શોષણ વર્ણપટ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચી જોડ $1-(ii), 2-(i), 3-(iii), 4-(iv)$ છે.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે, $l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
આપેલ છે: $R = 4 \Omega$, $\rho = 2.2 \times 10^{-8} \Omega \cdot m$, અને વ્યાસ $d = 1.4 \text{ mm} = 1.4 \times 10^{-3} \text{ m}$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.7 \times 10^{-3} \text{ m}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.7 \times 10^{-3})^2 \text{ m}^2$.
લંબાઈ $l$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $l = \frac{R A}{\rho}$.
કિંમતો મૂકતા: $l = \frac{4 \times \pi \times (0.7 \times 10^{-3})^2}{2.2 \times 10^{-8}}$.
$l = \frac{4 \times 3.14159 \times 0.49 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} = \frac{6.1575 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} \approx 280 \text{ m}$.

(D) મીટર બ્રિજમાં,સિદ્ધાંત $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ડાબી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે અને $S$ એ જમણી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R}{S} = \frac{2}{3}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(100 - l_1) = 3l_1$.
$200 - 2l_1 = 3l_1$.
$200 = 5l_1$.
$l_1 = \frac{200}{5} = 40 \,cm$.
તેથી,ડાબા છેડાથી સંતુલન લંબાઈ $40 \,cm$ છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન બિંદુ માટેની શરત નીચે મુજબ છે: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,જ્યાં $P$ એ ડાબી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે,$Q$ એ જમણી બાજુના ગેપનો અવરોધ છે અને $l$ એ ડાબી બાજુથી સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{2}{3}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(100-l) = 3l$
$200 - 2l = 3l$
$200 = 5l$
$l = \frac{200}{5} = 40 \ cm$.
તેથી,ડાબી બાજુથી સંતુલન બિંદુ $40 \ cm$ અંતરે છે.

(A) સૂર્યમાં,ઉર્જાનો મુખ્ય સ્ત્રોત પ્રોટોન-પ્રોટોન ચક્ર છે.
આ ચક્રમાં,હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયસ હિલિયમના ન્યુક્લિયસ બનાવવા માટે શ્રેણીબદ્ધ ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રતિક્રિયાઓમાંથી પસાર થાય છે.
આ ફ્યુઝન પ્રક્રિયા દરમિયાન,આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ મુજબ નોંધપાત્ર પ્રમાણમાં દળનું ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $e V_0 = h \nu - h \nu_0$,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $\nu_0 = \nu - \frac{e V_0}{h}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$,તેથી $\nu_0 = \frac{c}{\lambda} - \frac{e V_0}{h}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $c = 3 \times 10^8 \,m/s$,$\lambda = 2 \times 10^{-7} \,m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,$V_0 = 2.5 \,V$,અને $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J-s$.
$\nu_0 = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} - \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.5}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = 1.5 \times 10^{15} - 0.606 \times 10^{15} \approx 0.894 \times 10^{15} \,Hz$.
આમ,$\nu_0 \approx 9.0 \times 10^{14} \,Hz$ મળે છે.

(C) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e V_0 = K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે:
વર્ક ફંક્શન $\phi = 5 \text{ eV} = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-19} \text{ J}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 2000 \text{ Å} = 2 \times 10^{-7} \text{ m}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.67 \times 10^{-34} \text{ J-s}$.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જાની ગણતરી:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.67 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
હવે,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$e V_0 = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J} - 8 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{2.005 \times 10^{-19} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \approx 1.25 \text{ V}$.

(A) ધારો કે બે એકમ ઋણ વિદ્યુતભારો $q_1 = q_2 = -1 \text{ C}$ છે જે એકબીજાથી $d$ અંતરે રહેલા છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે. તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બિંદુ $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ પર $B$ પરના $q$ અને $C$ પરના $q_2$ ને કારણે લાગતું બળ ધ્યાનમાં લો:
$F_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q}{(d/2)^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q_1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{q}{(d/2)^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$\frac{4q}{d^2} + \frac{q_2}{d^2} = 0$
$4q = -q_2$
અહીં $q_2 = -1 \text{ C}$ હોવાથી,$4q = -(-1) = 1$.
તેથી,$q = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ C}$.

(B) વિદ્યુતભારો $x=0$ $(q/2)$,$x=a$ $(-q)$,અને $x=2a$ $(q/2)$ પર સ્થિત છે. બિંદુ $P$ એ $x=a$ પરના $-q$ વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે છે. તેથી $P$ નો યામ $x = a + r$ થશે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$q/2$ સામાન્ય લેતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} - \frac{2}{r} + \frac{1}{r-a} \right]$
પદોને જોડતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right]$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2-a^2)} \right]$
જ્યારે $r \gg a$ હોય,ત્યારે $r^2 - a^2 \approx r^2$ લેતા:
$V \approx \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2a^2}{r^3} = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $x = a + r$ પર છે. $P$ થી વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$x=0$ પરના $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_1 = (a+r) - 0 = r+a$
$x=a$ પરના $-q$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_2 = (a+r) - a = r$
$x=2a$ પરના $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_3 = |(a+r) - 2a| = |r-a| = r-a$ (કારણ કે $r >> a$)
કુલ સ્થિતિમાન $V_P$ છે:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2(r+a)} - \frac{1}{r} + \frac{1}{2(r-a)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{2r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r(r^2-a^2)}$
કારણ કે $r >> a$,તેથી $r^2 - a^2 \approx r^2$.
તેથી,$V_P = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$.

(A) જ્યારે ચુંબકને ખૂબ જ નાના ખૂણે $\theta$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -M B_H \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ નિશાની ટોર્કના પુનઃસ્થાપક સ્વભાવને દર્શાવે છે.
કારણ કે $\tau = I \alpha$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે,તેથી $I \alpha = -M B_H \sin \theta$ થાય.
નાના કોણીય સ્થાનાંતર માટે,$\sin \theta \approx \theta$ લઈ શકાય.
તેથી,$I \alpha = -M B_H \theta$.
આમ,કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય $\alpha = \frac{M B_H \theta}{I}$ થાય છે.

(A) તાર $A$ માટે,વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ છે.
તાર $A$ ની લંબાઈ $40 \ cm$ આપેલ છે,તેથી પરિઘ $2\pi r = 40 \ cm$,એટલે કે $r = \frac{40}{2\pi}$.
તાર $B$ માટે,$r$ ત્રિજ્યાના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta$ હોય તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$ છે.
તાર $B$ ની લંબાઈ $30 \ cm$ છે,તેથી ચાપની લંબાઈ $s = r\theta = 30 \ cm$.
આમ,$\theta = \frac{30}{r} = \frac{30}{40/2\pi} = \frac{3}{2}\pi$.
$B_1 = B_2$ લેતા:
$\frac{\mu_0 i_1}{2r} = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$
$\frac{i_1}{2} = \frac{i_2 \theta}{4\pi} = \frac{i_2 (3\pi/2)}{4\pi} = \frac{3i_2}{8}$
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$.
તેથી,$i_1: i_2$ નો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર:
$r = \frac{mv}{qB}$
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \ T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$
$r = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-20}}$
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. વર્તુળાકાર માર્ગ પર,વેગ સદિશ હંમેશા માર્ગને સ્પર્શક હોય છે અને પ્રવેગ સદિશ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેથી,કોઈપણ સમયે વેગ અને પ્રવેગ સદિશો એકબીજાને લંબ હોય છે.
આપેલ છે,$\overrightarrow{v}=2 \hat{i}+c \hat{j}$ અને $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$.
જેহেতু $\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{a}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a} = 0$
$(2 \hat{i} + c \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 0$
$(2)(3) + (c)(4) = 0$
$6 + 4c = 0$
$4c = -6$
$c = -1.5$

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ચાકમાત્રા છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$,$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$,$T = 8.8 \,s$,અને $\pi \approx 3.14$:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$.

(C) રેમ્સડેન આઈપીસ માટે,બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{2f}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $d = 12 \ cm$,તેથી દરેક લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$12 = \frac{2f}{3} \implies f = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \ cm$.
રેમ્સડેન આઈપીસની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f_{eq}$ નું સૂત્ર:
$f_{eq} = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - d}$.
$f_1 = f_2 = f$ અને $d = \frac{2f}{3}$ મૂકતા:
$f_{eq} = \frac{f^2}{2f - \frac{2f}{3}} = \frac{f^2}{\frac{4f}{3}} = \frac{3f}{4}$.
$f = 18 \ cm$ મૂકતા:
$f_{eq} = \frac{3 \times 18}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \ cm$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5$ અને $f = 5 \,cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{5} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$
$\frac{1}{5} = 0.5 \times \frac{2}{R}$
$\frac{1}{5} = \frac{1}{R}$
તેથી, $R = 5 \,cm$.

(A) $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ડોનર અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ઉમેરવાથી કન્ડક્શન બેન્ડની બરાબર નીચે અલગ ઉર્જા સ્તરો રચાય છે.
આ ડોનર સ્તરોને કારણે કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઈલેક્ટ્રોનની સાંદ્રતા વધતી હોવાથી,ફર્મી એનર્જી લેવલ ફોર્બિડન ગેપની મધ્યમાંથી ઉપરની તરફ ખસે છે.
તેથી,$n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ફર્મી એનર્જી લેવલ ફોર્બિડન એનર્જી ગેપમાં કન્ડક્શન બેન્ડની નજીક હોય છે.

(B) ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$,તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ અને કોલ્ડ જંકશનના તાપમાન $(T_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T_n = \frac{T_i + T_0}{2}$
$T_i$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$T_i = 2T_n - T_0$
આપેલ કિંમતો $T_0 = 10^{\circ} C$ અને $T_n = 270^{\circ} C$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_i = 2 \times 270^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 540^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 530^{\circ} C$
તેથી,ઇન્વર્ઝન તાપમાન $530^{\circ} C$ છે.

(B) હ્યુજેન્સ આઈપીસ એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે કે બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર તેમની કેન્દ્રલંબાઈના સરવાળાના અડધા જેટલું હોય. આ વિશિષ્ટ ગોઠવણી એક્રોમેટિઝમ (રંગવિપથનનું નિવારણ) માટેની શરતને સંતોષે છે અને ગોલીય વિપથનને પણ ઘટાડે છે.