$x$ ના મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો જેના માટે અસમતાઓ $x^2-3x-10 < 0$ અને $10x-x^2-16 > 0$ એકસાથે સંતોષાય છે:

જો $x^2+2px-2p+8>0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે હોય,તો $p$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ કયો છે?

જો અસમતા $kx^2 - 2x + k \geq 0$ ઓછામાં ઓછા એક વાસ્તવિક $x$ માટે સાચી હોય,તો $k$ ની કિંમતોનો સંપૂર્ણ ગણ કયો છે?

જો $\left( mx - 1 + \frac{1}{x} \right)$ પદાવલિ,$x$ ની બધી જ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે ઋણ ન હોય,તો $m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી હોવી જોઈએ?

$m$ ના કેટલા પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે $\{x\}^2 + 5m\{x\} - 3m + 1 < 0$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે? (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 - (t^2 - 5t + 6)x + 1 = 0$ ના ભિન્ન બીજ છે,જ્યાં $t \in \mathbb{R}$,અને $a_n = \alpha^n + \beta^n$. તો $\frac{a_{2023} + a_{2025}}{a_{2024}}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.