જો $1, 2, 3$ અને $4$ એ સમીકરણ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ હોય,તો $a+2b+c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)=ax^2+bx+c$ ના સહગુણકો $a, b, c$ ધન છે અને $b-a=c-b$ છે. જો $p(x)=0$ ના પૂર્ણાંક બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો જો $0 \leq \alpha+\beta+\alpha\beta \leq 8$ હોય,તો $\alpha+\beta+\alpha\beta$ ની શક્ય કિંમત શું હોઈ શકે?

જો $x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2-kx+c=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય,તો બિંદુઓ $A(x_1, 0)$ અને $B(x_2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

કયું સમીકરણ એવું છે જેના બીજ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સમીકરણના બીજના વર્ગ હોય?

જો $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, c$ એ $a^2(a + p) = b^2(b + p) = c^2(c + p)$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $p \in \mathbb{R}$,તો $bc + ca + ab$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-x-1=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $\alpha>\beta$. તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$ અને $b_1=1$ તથા $b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_{n+2}-1$ તમામ $n \geq 1$ માટે
$(2)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$
$(3)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{10^n} = \frac{8}{89}$
$(4)$ $b_n = \alpha^n+\beta^n$ તમામ $n \geq 1$ માટે