एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो $\left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{100}\right] + \left[\frac{1}{2} + \frac{2}{100}\right] + \left[\frac{1}{2} + \frac{3}{100}\right] + \ldots + \left[\frac{1}{2} + \frac{99}{100}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित तालिका में लुप्त पद है
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y=f(x) & 1 & 3 & 9 & ? & 81 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $S = \{(m, n): m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}\}$ है। यदि $S$ में उन अवयवों $(m, n)$ की संख्या,जिनके लिए $6^{m} + 9^{n}$,$5$ का गुणज है,$p$ है और $S$ में उन अवयवों $(m, n)$ की संख्या,जिनके लिए $m + n$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग है,$q$ है,तो $p + q$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $S = \{1, 2, 3, 4\}$ है। $S$ के असंयुक्त (disjoint) उपसमुच्चयों के अव्यवस्थित युग्मों (unordered pairs) की कुल संख्या क्या है?

मान लीजिए $x_k$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $1 \leq k \leq 2018$ के लिए $x_k \geq k^4+k^2+1$ है। $N=\sum_{k=1}^{2018} k$ को निरूपित करें। निम्नलिखित असमानताओं पर विचार करें।
$I$. $\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k\right)^2 \leq N\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k^2\right)$
$II$. $\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k\right)^2 \leq N\left(\sum_{k=1}^{2018} k^2 x_k^2\right)$
तो,

मान लीजिए $A$ उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $x^3-[x]^3=(x-[x])^3$,जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। तो,