int_0^{frac{pi}{6}} (2+3x^2) cos 3x , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx$ है। खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = 2+3x^2$ और $dv

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{9} + \frac{\pi^2}{36}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx$ है। खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = 2+3x^2$ और $dv = \cos 3x \, dx$ लें। तब $du = 6x \, dx$ और $v = \frac{\sin 3x}{3}$ प्राप्त होता है। $I = \left[ (2+3x^2) \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin 3x}{3} (6x) \, dx$। $I = \left[ (2+3(\frac{\pi^2}{36})) \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{3} - 0 \right] - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx$। $I = \frac{1}{3} (2 + \frac{\pi^2}{12}) - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx$। दूसरे समाकलन के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करें: $u = x, dv = \sin 3x \, dx \implies du = dx, v = -\frac{\cos 3x}{3}$। $\int_0^{\frac{\pi}{6}} x \sin 3x \, dx = \left[ -\frac{x \cos 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} -\frac{\cos 3x}{3} \, dx$। $= (0 - 0) + \frac{1}{3} \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{9} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{9}$। मान प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{2}{3} + \frac{\pi^2}{36} - 2(\frac{1}{9}) = \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \frac{\pi^2}{36} = \frac{6-2}{9} + \frac{\pi^2}{36} = \frac{4}{9} + \frac{\pi^2}{36}$।

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx =$

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