int_0^1 tan^{-1}(1-x+x^2) dx का मान है | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^1 	an^{-1}(1-x+x^2) dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^1 	an^{-1}(1-(1-x)+(1-x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}-\log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^1 	an^{-1}(1-x+x^2) dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^1 	an^{-1}(1-(1-x)+(1-x)^2) dx$ $I = \int_0^1 	an^{-1}(x^2-x+1) dx$. हम जानते हैं कि $	an^{-1}(1-x+x^2) = 	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(1-x)$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $I = \int_0^1 	an^{-1}(x) dx + \int_0^1 	an^{-1}(1-x) dx$. चूंकि $\int_0^1 	an^{-1}(x) dx = \int_0^1 	an^{-1}(1-x) dx$,इसलिए: $I = 2 \int_0^1 	an^{-1}(x) dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 	an^{-1}(x) dx = x 	an^{-1}(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)$. $0$ से $1$ तक सीमाएं रखने पर: $I = 2 [x 	an^{-1}(x) - \frac{1}{2} \log(1+x^2)]_0^1$ $I = 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2) - 0 ] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

$\int_0^1 \tan^{-1}(1-x+x^2) dx$ का मान है

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