यदि फलन f(x) = x(x+3) e^{-frac{x}{2}},[-3, 0] | vedclass

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Question

(C) रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,हमारे पास $f(-3) = f(0)$ होना चाहिए।$f(-3) = (-3)(-3+3) e^{3/2} = 0$.$f(0) = (0)(0+3) e^{0} = 0$.चूंकि $f(-3

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$-2$

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(C) रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,हमारे पास $f(-3) = f(0)$ होना चाहिए।$f(-3) = (-3)(-3+3) e^{3/2} = 0$.$f(0) = (0)(0+3) e^{0} = 0$.चूंकि $f(-3) = f(0) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।हमें $c \in (-3, 0)$ ज्ञात करना है ताकि $f'(c) = 0$ हो।दिया गया है $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$.गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}} \left(-\frac{1}{2}\right)$.$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right)$.$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \right)$.$f'(c) = 0$ रखने पर,$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$.$-2$ से गुणा करने पर,हमें $c^2 - c - 6 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(c - 3)(c + 2) = 0$.अतः,$c = 3$ या $c = -2$.चूंकि $c$ को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए,इसलिए हम $c = -2$ चुनते हैं।

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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