उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है जो बिंदुओं $(3,0)$ और $(3\sqrt{2}, 2)$ से होकर गुजरता है?

यदि $x-y=1$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ की एक स्पर्श रेखा है,तो स्पर्श बिंदु है

अतिपरवलय $H : x^2-y^2=1$ और केंद्र $N(x_2, 0)$ वाले वृत्त $S$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $H$ और $S$ एक-दूसरे को बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श करते हैं जहाँ $x_1 > 1$ और $y_1 > 0$ है। $P$ पर $H$ और $S$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को बिंदु $M$ पर काटती है। यदि $(l, m)$ त्रिभुज $\triangle PMN$ का केंद्रक है,तो सही कथन है/हैं:
$(A) \frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(B) \frac{dm}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2-1}}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(C) \frac{dl}{dx_1} = 1 + \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(D) \frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$ जहाँ $y_1 > 0$

मान लीजिए $A(\theta_1)$ और $B(\theta_2)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर दो बिंदु हैं और $S$ अतिपरवलय की नाभि है। यदि $A, S, B$ संरेख हैं और $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ है,तो $k=$

अतिपरवलय $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$ के अनुप्रस्थ (transverse) और संयुग्मी (conjugate) अक्षों के समीकरण हैं

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक नाभि $(\sqrt{10}, 0)$ पर है और संगत नियता $x = \frac{9}{\sqrt{10}}$ है। यदि $e$ और $l$ क्रमशः $H$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं,तो $9(e^2 + l)$ का मान ज्ञात कीजिए: