int_1^4 log [x] dx का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ [x | vedclass

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Question

(B) हमें समाकलन $I = \int_1^4 \log [x] dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं $x=2$ और $x=3$ पर वि

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$\log 6$

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(B) हमें समाकलन $I = \int_1^4 \log [x] dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं $x=2$ और $x=3$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int_1^2 \log [x] dx + \int_2^3 \log [x] dx + \int_3^4 \log [x] dx$. $x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $\log [x] = \log 1 = 0$. $x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,इसलिए $\log [x] = \log 2$. $x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,इसलिए $\log [x] = \log 3$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_1^2 0 dx + \int_2^3 \log 2 dx + \int_3^4 \log 3 dx$. $I = 0 + [x \log 2]_2^3 + [x \log 3]_3^4$. $I = (3-2) \log 2 + (4-3) \log 3$. $I = 1 \cdot \log 2 + 1 \cdot \log 3 = \log 2 + \log 3$. गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \log(2 	imes 3) = \log 6$ प्राप्त होता है।

$\int_1^4 \log [x] dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से कम या उसके बराबर है।

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माना $x \in R$ के लिए,$S_0(x) = x$,$S_k(x) = C_k x + k \int_0^x S_{k-1}(t) dt$,जहाँ $C_0 = 1$,$C_k = 1 - \int_0^1 S_{k-1}(x) dx$,$k = 1, 2, 3, \ldots$. तो $S_2(3) + 6C_3$ का मान $...........$ है।

यदि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{x} dx$ और $J = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

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