अवकल समीकरण (y^3+y)(x^2+1) dy = (xy^4+2y^2x) | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(y^3+y)(x^2+1) dy = x(y^4+2y^2) dx$ है। चरों को अलग करने पर: $\frac{y^3+y}{y^4+2y^2} dy = \frac{x}{x^2+1} dx$. बाईं ओर के अं

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$y^2(y^2+2) = C(x^2+1)^2$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $(y^3+y)(x^2+1) dy = x(y^4+2y^2) dx$ है। चरों को अलग करने पर: $\frac{y^3+y}{y^4+2y^2} dy = \frac{x}{x^2+1} dx$. बाईं ओर के अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{2y^3+2y}{y^4+2y^2} dy = \int \frac{x}{x^2+1} dx$. माना $u = y^4+2y^2$,तो $du = (4y^3+4y) dy = 2(2y^3+2y) dy$,इसलिए $(2y^3+2y) dy = \frac{1}{2} du$. इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \int \frac{1}{2u} du = \int \frac{x}{x^2+1} dx$. $\frac{1}{4} \ln|y^4+2y^2| = \frac{1}{2} \ln|x^2+1| + \ln|C_1|$. $4$ से गुणा करने पर: $\ln|y^4+2y^2| = 2 \ln|x^2+1| + 4 \ln|C_1| = \ln|(x^2+1)^2| + \ln|C_1^4|$. दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y^4+2y^2 = C(x^2+1)^2$,जहाँ $C = C_1^4$. $y^2(y^2+2) = C(x^2+1)^2$.

अवकल समीकरण $(y^3+y)(x^2+1) dy = (xy^4+2y^2x) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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