मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4/4^x}{4/4^x+2} = \frac{4^x}{4^x

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$5$

Vedclass · Answer

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4/4^x}{4/4^x+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4}{4+2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{2}{2+4^x} = \frac{4^x+2}{4^x+2} = 1.$मान लीजिए $M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx.$ गुणधर्म $\int_A^B g(x) dx = \int_A^B g(A+B-x) dx$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि $A+B = f(a) + f(1-a) = 1,$ हमें प्राप्त होता है:$M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} (1-x) \sin^4((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{f(a)}^{f(1-a)} (1-x) \sin^4((1-x)x) dx.$अतः,$M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx - \int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx.$इसका अर्थ है $M = N - M,$ जो सरल होकर $2M = N$ हो जाता है.दिया गया है कि $\alpha M = \beta N,$ अतः $\alpha M = \beta (2M),$ जिससे $\alpha = 2\beta$ प्राप्त होता है.चूंकि $\alpha, \beta \in N,$ सबसे छोटे मान $\beta = 1$ और $\alpha = 2$ हैं.अतः $\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ होगा।

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यदि $\alpha = 1$ और $\beta = 1 + i\sqrt{2}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हैं,जहाँ $a, b, c \in R$,तो $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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