परवलय (y-2)^2=x-1,रेखा x-2y+4=0 और धनात्मक नि | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ और $x = 2y-4$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,रेखा के समीकरण से $x$ का मान परवलय के समीकरण में रखने पर:$(y-2

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$5$

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(A) दिए गए समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ और $x = 2y-4$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,रेखा के समीकरण से $x$ का मान परवलय के समीकरण में रखने पर:$(y-2)^2 = (2y-4)-1$$(y-2)^2 = 2(y-2)-1$माना $u = y-2$,तो $u^2 = 2u-1$,जिससे $u^2-2u+1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(u-1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $u=1$.इस प्रकार,$y-2 = 1$,अतः $y=3$. तब $x = 2(3)-4 = 2$.प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$x$-अक्ष $(y=0)$,रेखा $x = 2y-4$ और परवलय $x = (y-2)^2+1$ द्वारा घिरा है।क्षेत्रफल $= \int_0^3 ((y-2)^2+1) dy - 	ext{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$.क्षेत्रफल $= \int_0^3 (y^2-4y+5) dy - \frac{1}{2} 	imes 2 	imes 1 = [\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_0^3 - 1 = (9-18+15) - 1 = 6-1 = 5$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

परवलय $(y-2)^2=x-1$,रेखा $x-2y+4=0$ और धनात्मक निर्देशांक अक्षों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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