मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण sec^2 x dx + (e^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x dx + (e^{2y} 	an^2 x + 	an x) dy = 0$.$dy$ से भाग देने पर: $\sec^2 x \frac{dx}{dy} + e^{2y} 	an^2 x + 	an x =

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$9$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x dx + (e^{2y} 	an^2 x + 	an x) dy = 0$.$dy$ से भाग देने पर: $\sec^2 x \frac{dx}{dy} + e^{2y} 	an^2 x + 	an x = 0$.माना $t = 	an x$,तो $\frac{dt}{dy} = \sec^2 x \frac{dx}{dy}$.समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dy} + t = -e^{2y} t^2$.$t^2$ से भाग देने पर: $t^{-2} \frac{dt}{dy} + t^{-1} = -e^{2y}$.माना $u = t^{-1} = \frac{1}{	an x}$,तो $\frac{du}{dy} = -t^{-2} \frac{dt}{dy}$.इस मान को समीकरण में रखने पर: $-\frac{du}{dy} + u = -e^{2y}$,या $\frac{du}{dy} - u = e^{2y}$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।हल: $u e^{-y} = \int e^{2y} e^{-y} dy = \int e^y dy = e^y + C$.अतः,$\frac{1}{	an x} e^{-y} = e^y + C$.चूँकि $y(\frac{\pi}{4}) = 0$ दिया गया है,$\frac{1}{	an(\pi/4)} e^0 = e^0 + C \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$.इस प्रकार,$\frac{1}{	an x} e^{-y} = e^y \Rightarrow e^{2y} = \frac{1}{	an x} = \cot x$.$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$e^{2\alpha} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.अतः,$e^{8\alpha} = (e^{2\alpha})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$.

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