अवकल समीकरण y frac{dx}{dy} = x(log_e x - log_ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.$y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.माना $v

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$|\log_e \frac{x}{y}| = y$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.$y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.माना $v = \frac{x}{y}$,तो $x = vy$. $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.समीकरण में मान रखने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = v(\ln v + 1) = v \ln v + v$.$y \frac{dv}{dy} = v \ln v$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \ln v} = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \ln v} = \int \frac{dy}{y}$.माना $u = \ln v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन होगा: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dy}{y}$.$\ln|u| = \ln|y| + C \Rightarrow \ln|\ln v| = \ln y + C$.$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y + C$.बिंदु $(e, 1)$ से गुजरने पर: $\ln|\ln(\frac{e}{1})| = \ln(1) + C \Rightarrow \ln(1) = 0 + C \Rightarrow C = 0$.अतः,$\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y$.दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|\ln(\frac{x}{y})| = y$.

अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = x(\log_e x - \log_e y + 1)$,$x > 0, y > 0$ का हल वक्र जो बिंदु $(e, 1)$ से गुजरता है,है

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