यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है,तो $|\alpha|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$ है। जब $P(x^{12})$ को $P(x)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{n}$,$n \in N$,$0 \leq r \leq n$ के द्विपद विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक है। यदि $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ है,तो $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $(x+3)^{n-1}+(x+3)^{n-2}(x+2)+(x+3)^{n-3}(x+2)^2+\ldots+(x+2)^{n-1}$ के विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक $\alpha_{r}$ है। यदि $\sum_{r=0}^{n-1} \alpha_{r}=\beta^{n}-\gamma^{n}$,जहाँ $\beta, \gamma \in N$,तो $\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक है। यदि $\alpha, \beta \in R$ है और $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ पदों तक) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ पदों तक) $)$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

संख्या $(512)^3 - (253)^3 - (259)^3$ के भिन्न अभाज्य विभाजकों की संख्या है