मान लीजिए alpha और beta समीकरण (bar{z})^2+|z| | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $\bar{z} = x - iy$ और $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।दिया गया समीकरण: $(x - iy)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।$(x^2 - y^

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$4$

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(B) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $\bar{z} = x - iy$ और $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।दिया गया समीकरण: $(x - iy)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।$(x^2 - y^2 - 2ixy) + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर रखने पर: $-2xy = 0 \implies x = 0$ या $y = 0$ है।स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $-y^2 + |y| = 0 \implies |y|^2 = |y|$ है। चूँकि $z 
eq 0$,इसलिए $|y| = 1$,अतः $y = 1$ या $y = -1$ है। इस प्रकार,$z_1 = i$ और $z_2 = -i$ हैं।स्थिति $2$: यदि $y = 0$,तो $x^2 + |x| = 0 \implies |x|^2 + |x| = 0$ है। चूँकि $|x| \geq 0$,यह दर्शाता है कि $|x| = 0$,अतः $x = 0$ है,जो $z = 0$ देता है (जो शून्येतर हल नहीं है)।शून्येतर हल $z_1 = i$ और $z_2 = -i$ हैं।योग $\alpha = i + (-i) = 0$ है।गुणनफल $\beta = i 	imes (-i) = -i^2 = 1$ है।अतः,$4(\alpha^2 + \beta^2) = 4(0^2 + 1^2) = 4(1) = 4$ है।

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

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