मान लीजिए $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt, x \in R$. तो $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 } \frac{{\left( {\log \left( {1 + x} \right) - \log 2} \right)\left( {3 \cdot 4^{x - 1} - 3x} \right)}}{{\left( {{{\left( {7 + x} \right)}^{1/3}} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^{1/2}}} \right)\sin \pi x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक भार एक स्प्रिंग से लटका हुआ है और उसे एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) बल द्वारा कंपन कराया जाता है। समय $t$ पर इसका विस्थापन $s(t)$ समीकरण $s(t) = \frac{A}{c^2 - k^2} (\sin kt - \sin ct)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A, c,$ और $k$ धनात्मक स्थिरांक हैं और $c \neq k$ है। तब $c \to k$ होने पर विस्थापन का सीमांत मान क्या होगा?

$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\alpha - \frac{\pi }{4}}} = $

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{3 \sin x-\sqrt{3} \cos x}{6 x-\pi}$

मान लीजिए $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है और $k \geq 2$ एक पूर्णांक है। तो $\lim_{x \rightarrow k} \frac{\sin \left(2 \pi\left([x]-\left[\frac{x}{k}\right]\right)-x\right)+\sin k}{x-k} = $