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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. चूँकि समाकल्य एक सम फलन है,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.लाइबनीज के नि

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$8$

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(C) दिया गया है $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. चूँकि समाकल्य एक सम फलन है,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.लाइबनीज के नियम के अनुसार,$f'(x) = 2(x - x^2) e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$.दिया गया है $g(x) = \int_{0}^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$. मान लीजिए $t = u^2$,तो $dt = 2u du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t=x^2, u=x$.अतः,$g(x) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} (2u) du = 2 \int_{0}^{x} u^2 e^{-u^2} du$.लाइबनीज के नियम के अनुसार,$g'(x) = 2x^2 e^{-x^2}$.अब,$f'(x) + g'(x) = (2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}) + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$f(x) + g(x) = \int 2xe^{-x^2} dx = -e^{-x^2} + C$.चूँकि $f(0) = 0$ और $g(0) = 0$,हमारे पास $f(0) + g(0) = 0$ है,इसलिए $C = 1$.अतः,$f(x) + g(x) = 1 - e^{-x^2}$.$x = \sqrt{\log_{e} 9}$ के लिए,$x^2 = \log_{e} 9$.तब $f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}) = 1 - e^{-\log_{e} 9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.नोट: दिए गए विकल्प $9$ के गुणक में प्रतीत होते हैं। यदि प्रश्न $9(f+g)$ का मान पूछता है,तो उत्तर $8$ है।

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$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx = ka^4$ है,तो $k : \pi =$ क्या होगा ($:8$ में)?

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