k के उन सभी संभावित मानों के वर्गों का योग,जि | vedclass

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Question

(D) दिए गए परवलय $2y^2 = kx$ और $ky^2 = 2(y - x)$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{2y^2}{k}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:$

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$8$

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(D) दिए गए परवलय $2y^2 = kx$ और $ky^2 = 2(y - x)$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{2y^2}{k}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$$ky^2 = 2y - \frac{4y^2}{k}$$y^2(k + \frac{4}{k}) = 2y$$y(y(k + \frac{4}{k}) - 2) = 0$अतः,$y = 0$ या $y = \frac{2}{k + \frac{4}{k}} = \frac{2k}{k^2 + 4}$।क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (x_2 - x_1) dy = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} ((y - \frac{ky^2}{2}) - \frac{2y^2}{k}) dy$$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (y - (\frac{k}{2} + \frac{2}{k})y^2) dy$$A = [\frac{y^2}{2} - (\frac{k^2 + 4}{2k}) \frac{y^3}{3}]_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}}$$A = \frac{1}{2}(\frac{2k}{k^2 + 4})^2 - \frac{k^2 + 4}{6k} (\frac{2k}{k^2 + 4})^3 = \frac{1}{6} (\frac{2k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} (\frac{k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} \frac{1}{(k + \frac{4}{k})^2}$।क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हर $(k + \frac{4}{k})^2$ को न्यूनतम होना चाहिए।$AM \geq GM$ के अनुसार,$k + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{4}{k}} = 4$ ($k > 0$ के लिए) या $k + \frac{4}{k} \leq -4$ ($k $(k + \frac{4}{k})^2$ का न्यूनतम मान $16$ है,जो तब होता है जब $k = \frac{4}{k}$,अर्थात $k^2 = 4$,इसलिए $k = 2$ या $k = -2$।इन मानों के वर्गों का योग $2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$ है।

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