एक रेखा $A(4, -6, -2)$ और $B(16, -2, 4)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ पर स्थित बिंदु $P(a, b, c)$,जहाँ $a, b, c$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं,बिंदु $A$ से $21$ इकाई की दूरी पर है। बिंदुओं $P(a, b, c)$ और $Q(4, -12, 3)$ के बीच की दूरी ........... है।

कथन-$1$: दो समांतर रेखाओं $\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $\frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ के बीच की दूरी $\sqrt{2}$ है।
कथन-$2$: दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा की लंबवत दूरी के बराबर होती है।

मान लीजिए कि एक रेखा $L$,दोनों रेखाओं $L_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z+5}{7}$ और $L_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-4}{4} = \frac{z-6}{7}$ के लंबवत है। यदि $\theta$,रेखाओं $L$ और $L_3: \frac{x-7}{2} = \frac{y-7}{1} = \frac{z}{2}$ के बीच का न्यून कोण है,तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात कीजिए:

$2, 1, 2$ के समानुपाती दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा,$(0, -1, 0)$ से गुजरने वाली और $1, 1, 1$ दिक्-अनुपात वाली रेखा $L_1$ को $A(x, y, z)$ पर मिलती है और दूसरी रेखा $L_2$ को $B(1, 1, 1)$ पर मिलती है,तो $x+y+z=$

यदि किसी रेखा के दिक्-अनुपात $2 : 1 : 2$ के अनुपात में हैं और यह रेखाओं $x = y + a = z$ और $x + a = 2y = 2z$ को प्रतिच्छेद करती है,तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

दो विषम तलीय रेखाओं $r=(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $r=(-4 \hat{i}-\hat{k})+s(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी है