यदि lim _{x rightarrow 0} frac{a x^2 e^x - b | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$. टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $e^x = 1 + x +

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$81$

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(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$. टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$,$\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$,$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots$,और $\sin x \approx x$. व्यंजक बनता है $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a x^2(1+x+\dots) - b(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) + c x(1 - x + \frac{x^2}{2} - \dots)}{x^3} = 1$. $x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(c-b)x + (a + \frac{b}{2} - c)x^2 + (a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2})x^3 + \dots}{x^3} = 1$. सीमा के अस्तित्व और $1$ के बराबर होने के लिए,$x$ और $x^2$ के गुणांक $0$ होने चाहिए: $c - b = 0 \implies c = b$. $a + \frac{b}{2} - c = 0 \implies a + \frac{b}{2} - b = 0 \implies a = \frac{b}{2}$. $x^3$ का गुणांक $1$ होना चाहिए: $a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 1$. $a = \frac{b}{2}$ और $c = b$ रखने पर: $\frac{b}{2} - \frac{b}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies b - \frac{b}{3} = 1 \implies \frac{2b}{3} = 1 \implies b = \frac{3}{2}$. अतः,$c = \frac{3}{2}$ और $a = \frac{3}{4}$. इसलिए $16(a^2 + b^2 + c^2) = 16((\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2) = 16(\frac{9}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}) = 9 + 36 + 36 = 81$.

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$ है,तो $16(a^2 + b^2 + c^2)$ का मान ........................... है।

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