मान लीजिए कि y अवकल समीकरण (1-x^{2}) dy = (xy | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ है।इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \fr

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} = xy + (x^{3}+2) \sqrt{1-x^{2}}$ है।इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^{2}} y = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{-x}{1-x^{2}}$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{-x}{1-x^{2}} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^{2})} = \sqrt{1-x^{2}}$.$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (y \sqrt{1-x^{2}}) = \frac{x^{3}+2}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sqrt{1-x^{2}} = x^{3}+2$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sqrt{1-x^{2}} = \int (x^{3}+2) dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C$.चूंकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 0 + 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$\sqrt{1-x^{2}} y(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x$.हमें $k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{4}}{4} + 2x) dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $2x$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 2x dx = 0$.अतः,$k = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{4} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{320}$.इस प्रकार,$k^{-1} = 320$.

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