मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} [x] & x < 0 \\ |1-x| & x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} e^x - x & x < 0 \\ (x-1)^2 - 1 & x \geq 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो,फलन $(f \circ g)(x)$ ठीक कितने बिंदुओं पर असतत है?

माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $X$,$S$ से $S$ तक के उन सभी संबंधों $R$ का समुच्चय है जो निम्नलिखित दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
$i$. $R$ में ठीक $6$ अवयव हैं।
$ii$. प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$|a-b| \geq 2$ है।
माना $Y = \{R \in X : R \text{ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है}\}$ और $Z = \{R \in X : R, S \text{ से } S \text{ तक एक फलन है}\}$।
माना $n(A)$,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।
$(1)$ यदि $n(X) = {}^{m}C_{6}$ है,तो $m$ का मान . . . . है।
$(2)$ यदि $n(Y) + n(Z)$ का मान $k^{2}$ है,तो $|k|$ का मान . . . . है।

$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,मान लीजिए $f(\theta) = \sin(\cos \theta)$ और $g(\theta) = \cos(\sin \theta)$ है। मान लीजिए $a = \max_{0 \leq \theta \leq \pi} f(\theta)$,$b = \min_{0 \leq \theta \leq \pi} f(\theta)$,$c = \max_{0 \leq \theta \leq \pi} g(\theta)$,और $d = \min_{0 \leq \theta \leq \pi} g(\theta)$ है। $a, b, c, d$ द्वारा संतुष्ट सही असमिकाएँ हैं:

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{1, 4, 9, 16\}$ है। तो $1 \in f(A)$ वाले अनेक-एक (many-one) फलनों $f: A \rightarrow B$ की संख्या ज्ञात कीजिए:

तीन प्रकार के तरल $X, Y, Z$ हैं। तीन जार $J_1, J_2, J_3$ में क्रमशः $100 \, ml$ तरल $X, Y, Z$ हैं। एक ऑपरेशन में निम्नलिखित क्रम में तीन चरण शामिल हैं:
- $J_1$ में तरल को हिलाएं और $J_1$ से $10 \, ml$ तरल $J_2$ में स्थानांतरित करें।
- $J_2$ में तरल को हिलाएं और $J_2$ से $10 \, ml$ तरल $J_3$ में स्थानांतरित करें।
- $J_3$ में तरल को हिलाएं और $J_3$ से $10 \, ml$ तरल $J_1$ में स्थानांतरित करें।
ऑपरेशन को चार बार करने के बाद,मान लीजिए कि $J_1$ में $X, Y, Z$ की मात्रा क्रमशः $x, y, z$ है। तब,

मान लीजिए कि $f$ और $g$ क्रमशः $[0, \infty)$ से $[0, \infty)$ तक वर्धमान और ह्रासमान फलन हैं। मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है। यदि $h(0) = 0$ है,तो $h(x) - h(1)$ है: