lim_{x rightarrow 1} frac{(x^{2}-1) sin^{2}(p | vedclass

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Question

(D) माना $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}$ है।सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^{4}-2x^{3}+2x-1 = (x^{4}

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$\pi^{2}$

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(D) माना $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}$ है।सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^{4}-2x^{3}+2x-1 = (x^{4}-1) - 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1) - 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}-2x+1) = (x^{2}-1)(x-1)^{2}$।इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $L = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{(x^{2}-1)(x-1)^{2}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(\pi x)}{(x-1)^{2}}$।गुणधर्म $\sin(\pi x) = \sin(\pi - \pi x) = \sin(\pi(1-x))$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$L = \lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)} \cdot \pi \right)^{2} = \pi^{2} \cdot \left( \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)} \right)^{2} = \pi^{2} \cdot (1)^{2} = \pi^{2}$।

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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