मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$.$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e^{2(1-x)}}{e^{2(1-x)} + e}$ पर विचार करें।दू

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$99$

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(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$.$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e^{2(1-x)}}{e^{2(1-x)} + e}$ पर विचार करें।दूसरे पद के अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2e^{2-2x} \cdot e^{2x}}{e^{2-2x} \cdot e^{2x} + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e^2}{e^2 + e^{2x+1}} = \frac{2e^2}{e^2 + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e}{e + e^{2x}}$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e}{e^{2x} + e} = \frac{2(e^{2x} + e)}{e^{2x} + e} = 2$.योग $S = \sum_{k=1}^{99} f\left(\frac{k}{100}ight)$ है।पदों को युग्मित करने पर $f\left(\frac{k}{100}ight) + f\left(1 - \frac{k}{100}ight) = f\left(\frac{k}{100}ight) + f\left(\frac{100-k}{100}ight) = 2$.ऐसे $49$ युग्म हैं ($k=1$ से $49$ तक) और मध्य पद $f\left(\frac{50}{100}ight) = f\left(\frac{1}{2}ight)$ है।$f\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{2e^{2(1/2)}}{e^{2(1/2)} + e} = \frac{2e}{e + e} = 1$.इसलिए,$S = 49 	imes 2 + 1 = 98 + 1 = 99$.

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\sinh x$	$(I)$ प्रांत $(-1, 1)$ है,सम फलन
$(B)$ $\text{sech } x$	$(II)$ प्रांत $[1, \infty)$ है,न तो सम न ही विषम फलन
$(C)$ $\tanh x$	$(III)$ सम फलन
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x$	$(IV)$ परिसर $\mathbb{R}$ है,विषम फलन
	$(V)$ परिसर $(-1, 1)$ है,विषम फलन

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समीकरण $2{e^{\left| x \right|}}{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = 1$ के हलों की संख्या है

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