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Question

(D) माना $L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)}$.यह $\frac{0}{0}$ रूप है।लेबनीज़ नियम का उप

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(D) माना $L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)}$.यह $\frac{0}{0}$ रूप है।लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $\frac{d}{dx} \int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt = (x-1)^{2} \cos((x-1)^{4}) \cdot 2(x-1) = 2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})$ है।हर का अवकलन $\frac{d}{dx} ((x-1) \sin(x-1)) = \sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)$ है।एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})}{\sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)}$.अंश और हर को $(x-1)$ से विभाजित करने पर:$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{2} \cos((x-1)^{4})}{\frac{\sin(x-1)}{x-1} + \cos(x-1)}$.जैसे ही $x \rightarrow 1$,$(x-1) \rightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin(x-1)}{x-1} \rightarrow 1$ और $\cos(x-1) \rightarrow 1$.$L = \frac{2(0)^{2} \cdot \cos(0)}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$.

$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ सभी $x \in R - \{0\}$ के लिए सत्य है,तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y = \int\limits_{x^2}^{x^3} \sqrt{5 - t^2} \, dt$ और $x$-अक्ष के बीच का प्रतिच्छेदन कोण (जहाँ $x \neq 0$) ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ है,तो:

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x=$

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